Strona główna

Μ § Mamy wielkość fizyczną opisana przez pewne pole, może to być


Pobieranie 133.95 Kb.
Data17.06.2016
Rozmiar133.95 Kb.
PROPOGACJA FAL
µ § Mamy wielkość fizyczną opisana przez pewne pole, może to być:

µ § - odchylenie sprćżyny,

µ § - ciśnienie w gazie,

µ § - wyd©©użenie cia©©a,

µ § - pole elektromagnetyczne
Zak©©adamy, że ta w©©asność jest w danym punkcie µ § zaburzeniem i jest funkcją czasu: µ §.

W©©asność fizyczna uk©©adu zależna od czasu opisana przy pomocy równań pola zależnego od czasu daje propagacjć zaburzenia przez materić (otoczenie).

Opis matematyczny propagacji:

Rys. 4.1 Propagacja zaburzenia, przypadek jednowymiarowy.

Krzywa przemieszcza sić z prćdkością fazową v.

Wyrażenie:


µ § (4.1)
wystarcza do opisania wćdrującego zaburzenia wzd©©uż osi x-ów, jeżeli rozchodzi sić ono bez deformacji.

Specjalnie dla procesów fizycznych interesująca jest nastćpującą forma zaburzenia:


µ § (4.2)
Wykorzystujemy relacje:
µ § (4.3)
gdzie µ § reprezentuje przestrzenną „periodyczność krzywej”, czyli krzywa odtwarza sić po µ § d©©ugości fali

Rys. 4.2
Podstawiając zależność (4.3) do równania (4.2) otrzymujemy zapis zaburzenia w postaci:

µ § (4.4)

Równanie różniczkowe ruchu falowego:

Pytanie; jak określić, czy pole zależne od czasu rozchodzi sić jak fala, bez deformacji?

Pola związane z jakimiś procesami są rządzone prawami dynamiki.

Prawa te można zapisać w formie różniczkowej. Dlatego należy znaleźć równanie różniczkowe, które by©©oby takie samo dla każdego ruchu falowego.

Równanie takie dla przypadku trójwymiarowego ma postać:

µ § (4.5)

dla jednego wymiaru mamy:

µ § (4.6)

Rozwiązaniem np. równania (4.6) jest funkcja µ § bćdąca kombinacją fal rozchodzących sić w kierunku µ § oraz µ §.

µ § (4.7)
Należy sprawdzić czy postulowane rozwiązanie (4.7) spe©©nia równanie fali (4.6).
Stosujemy podstawienie;
µ § (4.8)

wyliczamy:


µ §

µ § (4.9)


lub:
µ § (4.9a)

wyliczamy;

µ §
µ § (4.10)

Wstawiamy równanie (4.10) do (4.9a) i otrzymujemy:

µ § (4.11)

Równanie (4.11) jest identyczne z równaniem fali zapisanym wzorem (4.6)

Postulujemy rozwiązanie w postaci funkcji okresowej:

µ § (4.12)


wówczas:
µ § (4.13)

µ § (4.13a)


Wstawiamy związki (4.13) oraz (4.13a) do równania (4.11) i otrzymujemy równanie fali:

µ §
Przyk©©ad (F1):
Fala elastyczna w prćcie:

Z: prćt ma przekrój jednorodny µ § i w każdym punkcie prćta dzia©©ają si©©y zewnćtrzne µ § przeciwnie skierowane.


Rys. 4.3 Fala elastyczna w prćcie.


Zagadnienie rozpatrujemy dla obszaru, w którym obowiązuje prawo Hooke’a, są to naprćżenia normalne µ §
µ § (F1.1)
Pod dzia©©aniem si©© zewnćtrznych nastćpuje przemieszczenie µ § np. wzd©©uż osi µ §-ów. Jeżeli w każdym punkcie jest ono takie samo to mamy translacjć. Interesuje nas przypadek µ §.

Odkszta©©cenie normalne, deformacja na jednostkć d©©ugości wynosi:


µ § (F1.2)

µ § (F1.3)


gdy µ § nie zależy od µ § to µ §

Zgodnie z prawem Hooke’a mamy:


µ § (F1.4)
Gdzie µ § jest modu©©em Younga
Wykorzystując związek (F1.2) równanie (F1.4) przyjmuje postać:

µ § (F1.5)


Si©©a µ § jest wyrażona:


µ § (F1.6)
Podstawiając (F1.5) do (F1.6) otrzymujemy:

µ § (F1.7)


W przypadku, gdy prćt jest w równowadze, si©©a µ § jest taka sama w każdym jego punkcie. Natomiast , gdy prćt nie jest w równowadze, każdy element prćta poddawany jest dzia©©aniu si©©y wypadkowej, która dla elementu µ § jest wyrażona związkiem:
µ § (F1.8)
Wyrażenie (F1.7) wynika z teorii sprćżystości, wyliczona zmiana si©©y µ § dla elementu µ §, przy wykorzystaniu wzoru (F1.7) wynosi:

µ § (F1.9)


Rozważamy zagadnienie korzystając z zasad dynamiki Newtona.

Element µ § prćta o gćstości µ § ma masć:

µ § (F1.10)


Przyspieszenie tej masy wynosi:

µ § (F1.11)

Zgodnie z zasadą dynamiki Newtona mamy:
µ § (F1.12)
Wykorzystując związki (F1.10) i (F1.11) wzór (F1.12) przyjmuje postać:
µ § (F1.13)

Stąd:
µ § (F1.14)

Porównując związki (F1.9) i (F1.14) otrzymujemy:

µ § (F1.15)


Zgodnie z ogólnym równaniem fali (4.6):
µ §, stąd: µ § (F1.16)

Przy okazji uzyskaliśmy informacje od czego zależy prćdkość fali sprćżystej propagującej w określonym ośrodku.


AKUSTYKA. Propagacja zaburzenia fali w kolumnie gazu.


Propagacja zaburzenia
µ § µ § µ §

Fala w kolumnie gazu

Za©©ożenia:

p0 - ciśnienie w stanie równowagi gazu

r0 - gćstość gazu w stanie równowagi gazu

Element objćtości Adx zostaje poddany dzia©©aniu ciśnienia p, p0 (kompresja)

W efekcie wybrana powierzchnia A przesuwa sić o x, a powierzchnia A’ o odcinek x’.

Element objćtości ulega deformacji, w wyniku, której element d©©ugości dx zmienia sić na

dx + d

gdzie dx = x’- x



Korzystamy z zasady zachowania masy:

µ § (A1)


µ § (A2)

µ § (A2a)

Przyjmujemy, że µ §

I wówczas

µ § (A3)

(A3) => (A2a)

µ § (A4)

µ § (A4a)

Ogólnie ciśnienie jest funkcją gćstości:

µ §


Dla niedużych kompresji p rozwijamy w szereg Taylora wokó©© µ §

µ § (A5)


Z dok©©adnością do nieskończenie ma©©ej pierwszego rzćdu mamy:

µ § (A6)


Definiujemy wspó©©czynnik ściśliwości gazu z definicji:

µ § (A7)


(A7) => (A6)

µ § (A8)


Wstawiając wyrażenie (A4a) na rƒn= r0 do (A8) otrzymujemy

µ § (A9)


Rozważamy si©©ć dzia©©ającą wzd©©uż osi X

µ § (A10)

Przyjmując, że dp = p’ - p

Równanie ruchu dla gazu przyjmuje postać:

µ § (A11)

lub


µ § (A12)

Przedstawiamy (A9) dzieląc obustronnie przez µ § otrzymujemy:

µ § (A13)

Porównując z równaniem (A12) otrzymujemy równość:

µ § (A14)

µ § (A15)

Jest to ogólne równanie fali dla zaburzenia.

Wynika z tego, że prćdkość propagacji zaburzenia V jest równa:

µ § (A16)

Inne przekszta©©cenia równań (A9) i (A12):

Równanie A9 różniczkujemy obustronnie przez µ §

I otrzymujemy:

µ § (A17)

Równanie A12 różniczkujemy przez µ §

Jest to równanie fali dla ciśnienia (źród©©o zaburzenia).

µ § (A18)

µ § (A19)

µ § (A20)

µ § (A21)

Akustyka ¨C nauka o dźwićku:


Obecnie akustyka (gr. Akustikos ¨C dotyczy s©©uchu) jest intensywnie rozwijającą sić ga©©ćzią techniki i fizyki, w której na pierwszy plan wysuwają sić zagadnienia ultradźwićków, akustyki cia©©a sta©©ego, akustyki molekularnej, zwalczania ha©©asów oraz rozpoznawania dźwićków mowy przez urządzenia elektroniczne.

Fale dźwićkowe są pod©©użnymi falami mechanicznymi. Mogą one rozchodzić sić w cia©©ach sta©©ych, cieczach i gazach. Materialne cząstki ośrodka, w których rozchodzi sić fala, drgają wzd©©uż prostej pokrywającej sić z kierunkiem propagacji tej fali.

Zakres czćstości, jakie mogą mieć pod©©użne fale mechaniczne, jest bardzo szeroki, przy czym falami dźwićkowymi nazywamy fale o takich czćstościach, które w dzia©©aniu na ludzkie ucho i mózg wywo©©ują wrażenie s©©yszenia. Zakres tych czćstości rozciągających sić od 16 Hz do 20 kHz nazywany jest zakresem s©©yszalnym.

Czu©©ość ludzkiego ucha nie jest jednakowa dla wszystkich czćstotliwości, jest ona maksymalna dla fal o czćstotliwości 1,5 ¨C 3kHz.

Dla zwierząt:

pies fmax = 38kHz =38000Hz

nietoperze i wieloryby fmax = 100kHz = 100000Hz

Fale o czćstotliwości poniżej 16Hz nazywamy infradźwićkami (poddźwićkami), a fale o czćstotliwości wićkszej niż 20kHz ultradźwićkami (naddźwićkami).

Infradźwićki są zwykle generowane przez źród©©a o wielkich rozmiarach, są s©©abo t©©umione i mogą rozchodzić sić na duże odleg©©ości. Źród©©ami poddźwićków mogą być źród©©a naturalne (wzburzone morze, trzćsienia ziemi, wiatry, burze) i sztuczne (eksplozje atomowe i termojądrowe, niektóre urządzenia przemys©©owe).
Ultradźwićki są to bardzo szybkie drgania i mogą być wytwarzane przez przedmioty drgające, które są ma©©e i lekkie.
Hiperdźwićki to fale ultradźwićkowe o czćstotliwości rzćdu 1GHz.
Akustyczne zjawiska liniowe:
Zjawiska związane z rozchodzeniem fal sprćżystych w ośrodkach ciąg©©ych są liniowe, gdy zaburzenia są ma©©e w porównaniu z wartościami określającymi stan równowagi.

Wielkości charakteryzujące pole akustyczne są wzajemnie do siebie proporcjonalne;

W©©asności ośrodka są opisane przez wspó©©czynniki sta©©e, niezależne od wielkości zaburzenia.

Amplitudy przesunićcia cząstki akustycznej w powietrzu w zakresie dźwićków s©©yszalnych są ma©©e; od dziesićtnej czćści milimetra dla subiektywnie dużych natćżeń do miliardowych czćści milimetra dla natćżeń ledwie dostrzegalnych przez ucho (10-1-10-9)

np. gwizd lokomotywy Ţ10-3mm
Zasada liniowej superpozycji:
Interferencja ¨C zachodzi, gdy mamy koegzystencjć dwóch lub wićcej ruchów falowych w czasie i przestrzeni. Teoria interferencji jest opisana dla źróde©© synchronicznych, czyli emitujących fale o tej samej czćstotliwości i mających sta©©e w czasie przesunićcie fazowe.
Zjawisko interferencji fal dźwićkowych ma zastosowanie w holografii akustycznej, której przyk©©adem jest stereo, system Dolby Surround. Istnieje wtedy możliwość rozróżnienia miejsc z wyciszonym dźwićkiem (interferencja destruktywna) i g©©ośniejszym (interferencja konstruktywna).

Dudnienia ¨C wystćpuje w wyniku nak©©adania sić fal dźwićkowych o zbliżonych, lecz niejednakowych czćstotliwościach.


§ §
§Dyfrakcja ¨C zachodzi, gdy fala trafia na przeszkodć o wymiarach znacznie mniejszych od d©©ugości fali. Nastćpuje zjawisko ugićcia polegające na omijaniu przeszkody przez falć. Pole dyfrakcyjne jest wynikiem na©©ożenia na siebie fal, które wskutek ugićcia zmieni©©y kierunek rozchodzenia sić.
Liniowe źród©©a akustyczne:
Źród©©a są liniowe, jeśli procesy w nich zachodzące nie zależą od amplitudy drgań lub amplitudy sygna©©ów przenoszonych

Natćżenie lub si©©a dźwićku jest równe modu©©owi średniej wartości wektora gćstości strumienia energii fali akustycznej.

µ § - wektor Pointinga

W uk©©adzie SI µ §

Cechy dźwićku
Ucho ludzkie posiada wrażliwość, umożliwiającą rozróżnienie nastćpujących cech dźwićku: wysokości, barwy i natćżenia.

Natćżenie [I] jest to wartość mówiąca o ilości energii niesionej przez falć.

Czćstotliwość [f] decyduje o wysokości dźwićku (wyższy - wyższa czćstotliwość). Dźwićki o jednakowej wysokości wydawane przez różne źród©©a wywo©©ują odmienne wrażenia s©©uchowe (różnią sić barwą dźwićku).
G©©ośność dźwićku
Jest to wielkość charakteryzująca subiektywne odczuwanie natćżenia dźwićku przez cz©©owieka. G©©ośność zależy od natćżenia i czćstotliwości.
Miarą g©©ośności jest:

µ § (A22)

dla k=1 Ć jest w belach (B)

dla k=10 Ć jest w decybelach (dB)

I ¨C natćżenie badanej fali dźwićkowej w W/m2
I0 =10-12 W/m2 ¨C próg s©©yszalności (poziom zerowy)
Dla I = I0 mamy logarytm z jedynki równy zero, wićc od razu widać, że natćżenie progu s©©yszalności ma poziom natćżenia 0 dB.
Jednostką g©©ośności jest bel. Czćsto używana jest dziesićciokrotnie mniejsza jednostka zwana decybelem. Jeśli natćżenie dźwićku wynosi 1 bel, to jest ono dziesićciokrotnie wićksze od natćżenia poziomu g©©ośności zerowego Io. G©©ośność ta odpowiada s©©yszanemu przez stetoskop biciu serca. G©©ośność 12 beli, której odpowiada odg©©os silnika samolotu s©©yszany z odleg©©ości 3 do 4 m, stanowi już próg bólu, zaś g©©ośność rozmowy wynosi 4 do 5 beli.

§Miarą czu©©ości ucha ludzkiego jest próg s©©yszalności, czyli najmniejsze wyczuwalne natćżenie dźwićku, przy czym najwićksza czu©©ość odpowiada drganiom o f=1000-3000 Hz. Dźwićki o bardzo dużym natćżeniu wywo©©ują w uchu wrażenie ucisku a nawet bólu, przy czym maksymalne natćżenie dźwićku, po przekroczeniu, którego powstają te wrażenia, nosi nazwć progu bólu (najwićkszy dla f=100 500 Hz).


Okazuje sić, że cz©©owiek nie wszystkie dźwićki o tej samej g©©ośności, lecz różnej czćstotliwości, s©©yszy jednakowo dobrze. Dźwićki bardzo niskie i bardzo wysokie są s©©yszane s©©abo, za to tony o czćstotliwościach od 1kHz do 5KHz (mniej wićcej zakres mowy ludzkiej) są s©©yszane wyjątkowo dobrze.
Ton 10 dB mający czćstotliwość 1000 Hz bćdzie przez wićkszość ludzi s©©yszalny (bćdzie on odbierany jako g©©ośny), ale ton 10dB o czćstotliwości 25Hz wszyscy "odbierzemy" jako ciszć. Aby rzeczywiście dwa różne dźwićki odbierane jako tak samo g©©ośne mia©©y ten sam "atrybut g©©ośności” wprowadzono eksperymentalnie wyznaczoną jednostkć g©©ośności zwaną fonem. Poziom g©©ośności jest równy 1 fonowi, gdy poziom natćżenia dźwićku tak samo g©©ośno s©©yszanego “dźwićku wzorcowego” o f = 1000Hz jest równy 1dB.
Niektóre typowe g©©ośności dźwićków w fonach

- 20 - 30 fonów: cichy szelest liści, szum lodówki

- 50 fonów - cicha mowa

- 70 fonów - uczniowie szko©©y podstawowej w czasie przerwy

90 fonów - ruch uliczny w godzinach szczytu tuż przy ruchliwej trasie

110 -115 fonów - g©©ośna dyskoteka

130 fonów - granica bólu

150 fonów - uszkodzenie s©©uchu

190 fonów - ha©©as zabijający cz©©owieka

210 fonów - rakieta kosmiczna przy starcie

Dźwićki można również porównać badając ich ciśnienie akustyczne. W celu porównania różnych dźwićków o tej samej czćstotliwości wprowadza sić wielkość L porównanie ciśnienia akustycznego.

µ § (A23)

pe - średnie kwadratowe ciśnienie dźwićku o czćstości f

p0 - próg s©©yszalności dla tej czćstotliwości


dla k=1 L jest w belach (B)

dla k=10 L jest w decybelach (dB)


Dźwićki o jednakowej wysokości wydawane przez różne źród©©a wywo©©ują odmienne wrażenia s©©uchowe. Różnice te spowodowane są charakterystycznym dla danego źród©©a dźwićku nak©©adaniem sić na podstawowe drgania harmoniczne drgań harmonicznych o wićkszych czćstotliwościach i określane są mianem barwy dźwićku. Dźwićki wytwarzane przez źród©©a drgające ruchem harmonicznym, których wykres drgań ma kszta©©t sinusoidy, nazywają sić tonami. Miarą intensywności dźwićku, tj. cechą odróżniającą dźwićki silne od s©©abych, jest jego natćżenie. Badania wykaza©©y, że natćżenie dźwićku (o sta©©ej czćstotliwości) jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy, dlatego dźwićki s©©abe różnią sić od silnych przede wszystkim mniejszą amplitudą fali.

§


§

Prćdkość rozchodzenia sić dźwićku (źród©©o dźwićku w spoczynku)


Fale dźwićkowe są wytwarzane ze sta©©ą czćstotliwością f0. Czo©©a fali rozchodzą sić symetrycznie od źród©©a ze sta©©ą prćdkością v. Odleg©©ość mićdzy czo©©ami fal to d©©ugość fali.
Poruszające sić źród©©o dźwićku vźród©©a < vdźwićku (Mach 0.7)
Czo©©a fali rozchodzą sić z taką samą prćdkością jak poprzednio. Z powodu poruszającego sić źród©©a dźwićku w prawą stronć, środek każdego nowego czo©©a fali jest lekko przesunićty w prawo. W wyniku tego czo©©a fali zaczynają sić zagćszczać po prawej stronie a rozrzedzać po lewej. Obserwator znajdujący sić przed źród©©em dźwićku bćdzie s©©ysza©© wyższą czćstotliwość dźwićku f ´ > f0, a obserwator znajdujący sić za źród©©em dźwićku bćdzie s©©ysza©© niższą czćstotliwość f ´ < f0.
Poruszające sić źród©©o dźwićku vźród©©a = vdźwićku (Mach 1.0)
W tym przypadku źród©©o porusza sić z prćdkością dźwićku. Wszystkie czo©©a fali znajdujące sić przed źród©©em dźwićku są teraz zagćszczone w jednym miejscu. W rezultacie obserwator znajdujący sić przed źród©©em dźwićku nie us©©yszy nic, zanim źród©©o dźwićku do niego nie dotrze. Ciśnienie z przodu poruszającego sić obiektu jest wysokie. Wynika to z faktu, że wszystkie czo©©a fali dodają sić do siebie.
Różne zjawiska towarzyszące rozchodzeniu sić fal dźwićkowych
Echo ¨C dwu lub kilkakrotne s©©yszenie tego samego dźwićku powsta©©e na skutek jednego lub kilku odbić fali dźwićkowej

Pog©©os ¨C powstaje zazwyczaj w pomieszczeniu zamknićtym, w którym odleg©©ości powierzchni odbijających są na tyle ma©©e, by nie mog©©o powstać zjawisko echa, a jednocześnie na tyle duże by ucho wyczuwa©©o już istnienie odbić


Efekt Dopplera

Z doświadczenia wiadomo, że mierzona przez obserwatora f fal akustycznych jest równa f0 drgań źród©©a, gdy obserwator i źród©©o są nieruchome wzglćdem ośrodka sprćżystego.


f = f0
W pozosta©©ych przypadkach zauważamy efekt Dopplera, który polega na zmianie czćstości fali odbieranej, gdy porusza sić źród©©o lub odbiornik.
Na początku rozważmy przypadek, gdy

1) źród©©o porusza sić z prćdkością v1 a obserwator pozostaje w spoczynku


OZNACZENIA :

u - prćdkość fali akustycznej

v1 - prćdkość źród©©a

T0 - okres fali akustycznej

l0 - d©©ugość fali przy nieruchomym źródle

f0 - czćstość fali pochodzącej od nieruchomego źród©©a

f1 - czćstość rejestrowana przez nieruchomego obserwatora

l - d©©ugość fali rejestrowana przez nieruchomego obserwatora


Przyjmijmy, że v1 (prćdkość źród©©a) jest mniejsza od prćdkości fali u, ponieważ w przeciwnym przypadku powsta©©aby komplikacja związana z wytworzeniem sić fali uderzeniowej (o czym bćdzie później)

Z: v1 < u

Wiemy, że d©©ugość fali ulegnie skróceniu przed ruchomym źród©©em.

Gdy źród©©o by©©o nieruchome to d©©ugość fali wynosi©©a: l0 = u T0

Teraz d©©ugość fali skróci sić o odcinek v1T0 przebyty przez źród©©o w czasie To, wićc

l1 = u T0 - v1 T0 = (u-v1) T0 (A24)

µ § (A25)

Fala za ruchomym źród©©em bćdzie d©©uższa:

l1 = l0 + v1T0 = (u + v1)T0 (A26)

µ § (A27)

Ruch źród©©a ma wp©©yw na d©©ugość fali, natomiast nie wp©©ywa na prćdkość rozchodzenia sić fali, gdyż ta prćdkość jest uwarunkowana w©©asnościami sprćżystymi ośrodka.
f0 = 1 / T0

µ § (A28)

µ § (źród©©o sić zbliża) (A29)

µ § µ §


µ § (źród©©o sić oddala) (A30)

µ § µ §
2) źród©©o pozostaje w spoczynku, a obserwator porusza sić z prćdkością v1


D©©ugość fali pozostaje niezmieniona, gdyż źród©©o jest w spoczynku,

µ § (A31)

ale fala porusza sić wzglćdem obserwatora ze zmienioną prćdkością.
Gdy obserwator zbliża sić do źród©©a

uw = u + v2 (A32)

Gdy obserwator oddala sić od źród©©a

uw = u - v2 (A33)

Czćstość rejestrowana przez obserwatora wyniesie

µ § (A34)

µ § (A35)

µ § µ § (odbiornik sić zbliża) (A36)

µ § µ § (odbiornik sić oddala) (A37)
Widzimy, że czćstość rejestrowana przez obserwatora zmienia sić w przypadku, gdy źród©©o sić porusza a obserwator spoczywa, jak również w przypadku, gdy źród©©o spoczywa o obserwator porusza sić.
Wzory A29, A30, A36, A37 możemy po©©ączyć w jeden wzór zbiorczy (A38):

µ § µ § µ § µ §


µ § (A38)
Fala uderzeniowa

Prćdkość rozchodzenia sić fali dźwićkowej w powietrzu nieruchomym w warunkach normalnych wynosi 332 m/s, w wodzie 1450 m/s, w stali 4900 m/s, a w szkle 5600 m/s. W przypadku, gdy źród©©o fal porusza sić z prćdkością przekraczającą prćdkość rozchodzenia sić fali dźwićkowej w danym ośrodku, powstaje tzw. fala uderzeniowa.

§ §

Na rysunku powyżej bardzo dobrze widać formacjć zwaną „stożkiem Macha”. Kąt stożka zależy od stosunku prćdkości źród©©a do prćdkości dźwićku. Bardzo wysokie ciśnienie przy wierzcho©©ku stożka tworzy falć uderzeniową. Przy przekraczaniu fali uderzeniowej przez samolot ponaddźwićkowy wystćpuje charakterystyczny huk.

§

Prćdkość grupowa


Wyrażenie µ § jest prćdkością fazową. Nie zawsze jednak tć prćdkość obserwujemy w eksperymencie. Jeżeli fala jest ciąg©©a ¨C nieskończony ciąg falowy to posiada jedną prćdkość i jeden wektor falowy. Taka fala nie jest nośnikiem sygna©©u. Aby zaistnia©© sygna©© fala musi mieć „kszta©©t”.

Rys. 4.4 Paczka falowa

Przyk©©ad (F2):

rozważamy dwie fale propagujące wzd©©uż osi µ §-ów i o czćstościach: µ § i µ § oraz odpowiednio wektorach falowych µ § i µ §. Zak©©adamy, że µ § jest bardzo ma©©e oraz, że amplitudy są takie same.

Dodajemy te fale „± szukamy superpozycji:

µ § (F2.1)

µ § (F2.2)

Korzystamy ze związku trygonometrycznego:

µ §

ponadto zak©©adamy, że:



µ §
µ §

Wówczas wyrażenie (F2.2) można zapisać:


µ § (F2.3)
gdzie:

µ § (F2.4)

jest zmodulowaną amplitudą
Jest to zapis ruchu falowego z prćdkością :
µ § (F2.5)
Wyrażenie (F2.5) stanowi definicje prćdkości grupowej. Można zapisać ją inaczej:

µ § (F2.6)


gdy prćdkość µ § nie zależy od wektora falowego µ §, to µ § i wówczas:
µ §
Zgodnie z zapisem (F2.6), gdy:
µ § to µ § wówczas fala propaguje w ośrodku z dyspersją

anomalną


µ § to µ § wówczas fala propaguje w ośrodku z dyspersją

normalną.

Interferencja
Interferencja jest ważnym zjawiskiem ruchu falowego. Zachodzi gdy mamy koegzystencjć dwóch lub wićcej ruchów falowych (oscylacyjnych) w czasie i w przestrzeni. Interferencjć na przyk©©ad obserwuje sić gdy nak©©adają sić fale padająca i odbita.

Teoria opisująca sk©©adanie fal (interferencja) odnosi sić do wszystkich ruchów falowych, ale zastosowanie ma g©©ównie do fal elektromagnetycznych.

Teoria interferencji jest opisana dla źróde©© synchronicznych.

Źród©©a są spójne (synchroniczne), gdy emitują falć o tej samej czćstotliwości i mają sta©©e w czasie przesunićcie fazowe.


Przyk©©ad (F3):

Dwa źród©©a µ § i µ § oscylują w fazie z tą sama czćstotliwością i mają te same amplitudy.


Rys. 4.5 Interferencja; na przykladzie dwóch źróde©© synchronicznych

Ponieważ µ § w punkcie µ § amplitudy fal dochodzących do punktu µ § bćdą różne, gdyż amplituda świat©©a (fali, której czo©©o jest sferą) maleje jak µ §. Stąd w punkcie µ § mamy:
µ §

µ § (F3.1)


Korzystając z ilustracji wektora wirującego w ruchu harmonicznym amplitudy µ § oraz µ § traktujemy jak wektory. Również, porównując z ruchem harmonicznym argumenty µ § oraz µ §, pe©©nią rolć fazy. Różnica faz wynosi:
µ § (F3.2)
wielkość µ § nazywa sić różnicą dróg optycznych

Szukamy wypadkowej amplitudy µ § stosując metodć dodawania wektorów, jak na rysunku 4.6.


Rys. 4.6 Sk©©adanie amplitud.

µ § (F3.3)

W zależności od wartości µ § amplituda wypadkowa µ § oscyluje w granicach:

µ § dla µ §„± µ §
interferencja konstruktywna

µ § dla µ §„± µ § (F3.4)


interferencja destruktywna

Dla interferencji konstruktywnej mamy dalsze zależności:

µ § „± µ § (F3.5a)
Co znaczy, że różnica dróg optycznych jest ca©©kowitą wielokrotnością d©©ugości fali

Dla interferencji destruktywnej mamy dalsze zależności:

µ § „± µ § (F3.5b)
Co znaczy, że różnica dróg optycznych jest ca©©kowitą nieparzystą wielokrotnością po©©ówki d©©ugości fali.
Gdy źród©©a fali (świat©©a) mają różne czćstotliwości lub różnica faz jest funkcją czasu: µ § to źród©©a te nie są spójne ( synchroniczne lub koherentne)

Interferencja N źróde©© synchronicznych


Z: mamy µ § źróde©© synchronicznych umieszczonych w sta©©ej odleg©©ości µ §od siebie
µ §
Rys. 4.7 N źróde©© synchronicznych
Mićdzy dwoma kolejnymi źród©©ami istnieje sta©©a różnica faz związana z różnica dróg optycznych µ §, np. dla źród©©a S1 oraz S2:
µ § (F3.6)

Gdzie µ § jest kątem ugićcia, zdefiniowanym jako kąt zawarty mićdzy kierunkiem wiązki, a kierunkiem obserwacji (patrz rysunek)

Szukamy wypadkowej amplitudy µ § korzystając z ilustracji wektora wirującego dla opisu ruchu harmonicznego.
µ §

Rys. 4.8 Pomocnicza konstrukcja do wyliczenia amplitudy wypadkowej.


Jak wynika z rysunku wypadkowa amplituda jest równa odcinkowi OP, który stanowi bok trójkąta równoramiennego OPC:

µ § (F3.7)


Z trójkąta ORC otrzymujemy:
µ §
µ § (F3.8)
Wstawiamy wyrażenie (F3.8) do wzoru (F3.7) i otrzymujemy:

µ § (F3.9)


Korzystamy z zapisu na µ § (patrz wzór F3.6)

I wstawiamy (F3.9), otrzymujemy równanie na wypadkową amplitudć:

µ § (F3.10)

Stąd natćżenie µ § zdefiniowane jako µ § wynosi:
µ § (F3.11)
Lub po podstawieniu wyrażenia na różnicć faz, wzór (F3.6)
µ § (F3.12a)

Gdzie µ § (F3.12b)

Szukamy µ § odpowiadające maksymalnej wartości µ §.
Zgodnie z rysunkiem 4.9 nastąpi to wówczas gdy:

µ § (F3.13)


Rys. 4.9 Maksymalna amplituda.


Czyli, gdy wszystkie amplitudy µ § są do siebie równoleg©©e, wówczas zgodnie ze wzorem (F3.13) mamy:

µ § (F3.14)


µ § „±różnica dróg optycznych jest (F3.15)

ca©©kowita wielokrotnością

d©©ugości fali µ §

Wstawiając wzór (F3.14) do równania (F3.11) otrzymujemy wyrażenie na maksymalne natćżenie µ §.

µ § (F3.16)
Lub:
µ § (F3.17)

Relacjć (F3.17) otrzymujemy korzystając ze związków:


µ §
Minimalne natćżenie µ §wyliczymy, przyjmując, że licznik w równaniu (F3.11) zmierza do zera, czyli gdy:
µ § (F3.18)

Zgodnie z zapisem w równaniu (F3.6) wyrażenie (F3.18) przyjmuje postać:

µ §

µ § (F3.19)



dla µ § od µ § do µ §, µ §...µ §, µ §, wartości n’ = 0, N, 2N, 3N ... są opuszczone, gdyż wówczas mianownik wyrażenia na natćżenie I , równanie (F3.12a), zmierza do zera i otrzymujemy µ §.

Ogólnie:

Mićdzy każdymi dwoma minimami jest maksimum. Zatem dla N źróde©© synchronicznych istnieje N-2 maksimów dodatkowych pomićdzy maksimami g©©ównymi. Ich natćżenie jest ma©©e, zw©©aszcza, gdy N jest duże.
Rysunek 4.10 przedstawia rozk©©ad natćżenie dla N=2, N=4, N=8 oraz N„_„V w funkcji µ §µ §

Rys. 4.10 Rozk©©ad natćżenia dla interferencji; N=2, N=4, N=8 oraz µ §

Rys. 4.11 Rozk©©ad natćżenia dla N=4 źróde©© synchronicznych w funkcji kąta ƒá.

Dyfrakcja


Charakterystycznym zjawiskiem falowym jest dyfrakcja. Dyfrakcjć obserwujemy, gdy na drodze fali stanie przeszkoda o wymiarach porównywalnych z d©©ugością fali.

Rys. 4.12 Przejście cząstek przez przeszkodć.


Rys. 4.13 Przejście fali przez przeszkodć

Dwa szczególne rodzaje dyfrakcji:

Dyfrakcja Fraunhofera:

Promienie padające na przeszkodć są równoleg©©e, a obserwacjć prowadzimy daleko za przeszkodą, tak, że promienie ugićte są praktycznie równoleg©©e.

Dyfrakcja Fresnela:

Promienie pochodzą od źród©©a punktowego, a ugićte sa obserwowane w danym punkcie przestrzeni.

Bćdziemy analizować dyfrakcje Fraunhofera.

Z: szczelina jest wąska i d©©uga, padające promienie są normalne do powierzchni szczeliny o rozmiarze b.

Rys. 4.14. Wiązka równoleg©©a pada na szczelinć o rozmiarze b.

Zgodnie z zasadą Huygensa, każdy punkt szczeliny staje sić wtórnym źród©©em emitującym fale, które nazywa sić elementarnymi falami dyfrakcyjnymi.

Wyliczamy wypadkową amplitudć (natćżenie) fali po przejściu przez szczelinć,

µ §

(a) (b)


Rys 4.15 (a)Przekrój pod©©użny szczeliny z zaznaczonym elementem dx

emitującym falć dyfrakcyjną, (b) przekrój poprzeczny z zaznaczoną

wiązka padającą i ugićtą

Dla promieni równoleg©©ych każdy element µ § szczeliny daje falć wtórną o amplitudzie µ § propagująca w kierunku µ §.


Różnica faz dla promieni AA’ oraz CC’ wynosi :
µ § µ § (F3.20)

czyli µ § rośnie liniowo z µ § i w punkcie P odpowiadającemu elementowi µ § przy ściance B szczeliny o rozmiarach b różnica faz wynosi:

µ § (F3.21)
Aby wyliczyć wypadkową amplitudć ugićtej fali i propagującej w kierunku µ § należy graficznie znaleźć wektor wirujący odpowiadający sumie wektorów wirujących dyfrakcyjnych fal elementarnych zawartych mićdzy A i B, czyli mieszczących sić w rozmiarach b szczeliny.

Ponieważ amplitudy µ § elementarnych fal dyfrakcyjnych są ma©©e , a ich różnice fazµ §, to wektory µ § przy dodawaniu utworzą ©©uk.


Rys. 4.16 ¨C Ilustracja do wyliczania amplitudy wypadkowej
Wprowadzamy oznaczenie:
µ §, różnica faz mićdzy skrajnymi promieniami (F3.22)

Cićciwa ©©uku OP jest amplitudą wypadkową A =OP = 2OQ . Z trójkąta OQC mamy:

µ § (F3.23)

Podstawiamy wyrażenie (F3.22) do związku (F3.23) i otrzymujemy:

µ § (F3.24)

Maksymalna amplituda µ § jest równa d©©ugości ©©uku OP. Wyliczamy ją korzystając ze związku:


µ § (F3.25)
Wykorzystujemy wyrażenie (F3.22) i wówczas otrzymujemy:

µ § (F3.26)

Podstawiamy równanie (F3.26) do (F3.24) i dostajemy wzór na wypadkowa amplitudć µ §:

µ § (F3.27)

Natćżenie µ § wypadkowej fali dyfrakcyjnej jest wyrażone wzorem:

µ § (F3.28)

Lub w innym zapisie:

µ § (F3.29)

Gdzie µ §
Zera natćżenia wystćpują, gdy µ §, czyli:
µ § (F3.30)
z wyjątkiem µ §,

gdyż wówczas mamy maksimum


Rys. 4.17. Rozk©©ad natćżenia dla dyfrakcji na szczelinie o rozmiarze b.
Maksima fali dyfrakcyjnej wystćpują, gdy µ § i są coraz s©©absze. Dla µ §, pierwsze maksimum wystćpuje dwoma minimami, dla których µ §, czyli:

µ § (F3.31)


Rys. 4.18. Widmo dyfrakcyjne z zaznaczonymi po©©ożeniami pierwszych minimów.


Użyteczna definicja zdolności rozdzielczej zosta©©a wprowadzone przez Reyleigh’a ¨C jako najmniejszy kąt utworzony przez dwie fale pochodzące od dwóch oddalonych źróde©©, dla którego obrazy dyfrakcyjne mogą być rozdzielone.


Rys. 4.19. Ilustracja zdolności rozdzielczej Reyleigh’a

Przyjmuje sić, że dwa obrazy dyfrakcyjne zaczynają być rozdzielone, gdy centralne maksimum jednego pokrywa sić z pierwszym minimum drugiego obrazu dyfrakcyjnego, wówczas:

µ § (F3.32)

Wyrażenie (F3.32) stanowi definicje zdolności rozdzielczej Reyleigh’a.
Dyfrakcja Fraunhofera na dwóch identycznych równoleg©©ych szczelinach
Rys. 4.20. Dwie szczeliny o rozmiarach b oddalone o odleg©©ość a.
Dla danego kąta µ § mamy zespó©© fal ugićtych na szczelinach. Wystćpuje wićc kombinacja dyfrakcji i interferencji.

Amplitudć wypadkową µ § liczymy w funkcji kąta µ § w nastćpujący sposób:


najpierw amplitudć wypadkową µ §, µ § odpowiednio od szczeliny 1 i 2 (dyfrakcja)

potem amplitudć wypadkową µ § po interferencji dwóch źróde©© synchronicznych

Rys. 4.21. Dyfrakcja na dwóch szczelinach.

Wektory OP oraz OQ (Rys. 4.22) są amplitudami wypadkowych fal dyfrakcyjnych odpowiednio szczeliny 1 i 2 zgodnie ze wzorem (F3.27) są one wyrażone równaniem:


µ § (F3.33a)

µ § (F3.33b)

Mićdzy tymi wektorami wystćpuje różnica faz µ §, która, wyliczona z trójkąta AEC (rys.4.21) wynosi:

µ § (F3.34)

Wykorzystując związki (F3.33a), (F3.33b) oraz (F3.34) wyliczamy wypadkową amplitudćµ §, metodą dodawania wektorów, podobnie jak, przy obliczaniu amplitudy wypadkowej w zjawisku interferencji dwóch źróde©© synchronicznych:

µ § (F3.35)

Dla µ §, po przekszta©©ceniu otrzymujemy:


µ § (F3.36)
Korzystamy z relacji trygonometrycznych:
µ §
tak wićc wzór (F3.36) przyjmuje postać:

µ § (F3.37)


Wykorzystujemy związki (F3.33a-b) oraz (F3.34), przy za©©ożeniu, że µ §
µ § (F3.38)

Natćżenie jest zapisane wzorem:

µ § (F3.39)
W stosunku do dyfrakcji na jednej szczelinie mamy dodatkowy czynnik

µ § zwany czynnikiem interferencyjnym. Maksimum funkcji interferencyjnej wystćpuje gdy: µ § czyli:


µ § (F3.40)
Zera dyfrakcji powstają gdy:

µ §

µ § (F3.41)

Ponieważ µ § to zera dyfrakcji są bardziej od siebie oddalone niż maksima interferencji


Rys. 4.22 ¨C Wypadkowa amplituda dyfrakcji na dwóch szczelinach.



Rys. 4.23 ¨C Wypadkowa amplituda dyfrakcji na dwóch szczelinach.



©snauka.pl 2016
wyślij wiadomość