Strona główna

1. Rachunek procentowy


Pobieranie 0.6 Mb.
Strona1/9
Data19.06.2016
Rozmiar0.6 Mb.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9




I. Podstawy matematyki finansowej.
1. Rachunek procentowy.

jeden procent : 1% =

Wskaźnik procentowy (r%) jest ilorazem wartości bezwzględnych dwu wielkości

(A,B) pomnożonych przez 100:



r% =

gdzie:


A - suma procentowa (część całości),

O - całość (zasada, podstawa) procentowa.



____________________________________________________________________
Zadania.

1.1. Towar zakupiony w hurtowni kosztował 30000. Marża hurtownika wynosi 8%.

Podaj kwotową marżę hurtownika oraz cenę zakupu towaru przez hurtownika (P).

8% = P = = 27777.78

marża hurtownika: O = 30000-P = 2222.22

................................................................................................................................

1.2. Producent kupuje surowiec za 1000 zł. Koszt własny wynosi 40% ceny surowca.

Podatek akcyzowy wynosi 40% ceny sprzedaży, podatek VAT jest równy 22%

tejże ceny. Producent chce osiągnąć zysk w wysokości 15% kosztu własnego.

Oblicz cenę sprzedaży (K) produktu.

K = 1000+0.41000+0.4K+0.22K+0.150.41000

0.38K = 1460

K = 3842.11

................................................................................................................................



1.3. Towar kupiono za 15 zł. Przy zakupie udzielono 20% rabatu. Jaka jest jego cena

katalogowa (K) ?

20% = K = = 18.75 zł.

................................................................................................................................



1.4. Cena towaru (P) w kolejnych miesiącach zmieniała się następująco:

w pierwszym miesiącu zdrożał o 15% i cena była równa K1,

w drugim miesiącu zdrożał o 10% i cena była równa K2,

w trzecim miesiącu staniał o 25% i cena była równa K3.

O ile procent zmieniła się cena towaru w trzecim miesiącu (K3) w porównaniu

z ceną początkową (P) ?

15% = K1 = 1.15P

10% = K2 = 1.15K1 = 1.265P

25% = K3 = 0.75K2 = 0.94875P

r = = 0.05125 = 5.125%

lub:

K3 = (1+0.15)(1+0.1)(1-0.25)P = 0.94875P



Towar staniał (K3

................................................................................................................................



  1. Cena towaru z marżą 20% - ową jest równa 18000 zł. Jaka jest cena towaru

(Cs) bez marży.

Cs = 15000 zł.

................................................................................................................................


  1. Jaka powinna być cena sprzedaży towaru, którego koszt własny produkcji

wynosi 500 zł., aby udzielając 5% rabatu i 2.5% upustu gatunkowego osiągnąć

10% zysku w stosunku do kosztu własnego.

Cs = 593.79 zł.

___________________________________________________________________



2. Obecna i przyszła ilość pieniądza.
2.1. Rachunek odsetek prostych.

0 t T


gdzie:

P - ilość obecna (w chwili obecnej) pieniądza,

K - ilość przyszła pieniądza (końcowa), po upływie czasu t=T,

Kt - ilość przyszła pieniądza, po upływie czasu równym t,

O - odsetki (przrost ilości kapitału) naliczane po upływie czasu t=T.

Ot - odsetki naliczane po upływie czasu t,



r = =

r - stopa procentowa (rentowność) dla okresu czasu t=T

(stopa procentowa dostosowana).



O = Pr

K = P(1+r) = P+O

P = K

- współczynnik dyskontujący.

Dla okresu czasu 0  t  T jest:



O = Pr

P = K = P+Ot = P(1+r)

Dla okresu czasu t = nT jest:

O = Pnr

K = P(1+nr) = P+O

P = K
Przyjmując T=360 dni kwotę odsetek można zapisać następująco:

O =

gdzie:

L% - liczby procentowe: L% =


2.1.1. Średnia stopa procentowa.

Niech ni oznacza liczbę okresów czasu w których obowiązuje stopa procentowa



ri (i=1l).

Średnia (przeciętna) stopa procentowa (rs) w okresie czasu N = :

rs =

Średnia stopa procentowa (rw) przy uwzględnieniu kwot kapitału Ai :

rw =

____________________________________________________________________

2.2. Oprocentowanie nominalne.

Stopę procentową którą stosuje się do wyznaczenia odsetek przy wykorzystaniu

rachunku odsetek prostych nazywać będziemy dalej nominalną stopą procentową

(nominalnym oprocentowaniem).

Oprocentowanie nominalne określone jest na ogół dla jednego roku.

Wzory wiążące wartość obecną (P), wartość końcową (K) oraz stopę procentową r

podano w I.2.1.

Dla okresu czasu t = stopa procentowa (rm) jest równa: rm =

rm - zgodna (dostosowana) stopa procentowa dla okresu czasu t, przy

stopie oprocentowania nominalnego r (dla okresu czasu = T).

O = P rm = P



K = P(1+ rm) = P(1+) = P+O

P = =

____________________________________________________________________
Zadania.

2.1.1. Ulokowano 1000 na trzy miesiące przy stopie procentowej 17% w skali roku.

Jaka kwota będzie do dyspozycji po powyższym okresie utrzymywania lokaty?

Kt = 1000(1+0.17) = 1042.50

................................................................................................................................



2.1.2. Zaciągnięto pożyczki w czterech bankach:

- w banku A 2000 na 3 miesiące, oprocentowanie (stopa procentowa) 17%

(w skali roku),

- w banku B 4000 na 4 miesiące, stopa procentowa: 16%,

- w banku C 3000 na 6 miesiące, stopa procentowa: 18%,

- w banku D 1000 na 1 miesiące, stopa procentowa: 19%.Wyznacz średnie oprocentowanie.

rs = = 17.29%

rw = = 17.10%

Kwota odsetek od zaciągniętych pożyczek:

O = 20000.17+40000.16+30000.18+10000.19 = 584.14

................................................................................................................................

2.1.3. Po uwzględnieniu skonta (zmniejszenie należności z tytułu wcześniejszej niż usta-

lono realizacji zapłaty) zwrócono 300 zł. za zrealizowanie zapłaty o 7 dni wcześniej.

Skonto obliczono według stopy procentowej 12% w skali roku.

Jaka była uzgodniona kwota zapłaty (P)?

Stopa procentowa dostosowana (dla siedmiu dni) r : r = = 0.2(3)%

Skonto (s): s = = 0.23279%

sK = 300

K = 128871.43

................................................................................................................................

2.1.4. Obroty na rachunku bankowym przedstawiały się jak poniżej:


daty

wpłaty

wypłaty

saldo

dni

dni
















kalend.

1.I

-

-

700

15

15

15.I

-

200

500

46

45

1.III

600

-

1100

96

98

7.VI

-

300

800

23

23

1.VII

-

-

800

45

46

15.VIII VIII

-

1200

-400

36

37

21.IX

800

-

400

84

85

15.XII

300

-

700

15

16

Oblicz odsetki na koniec roku przyjmując, że:

- w pierwszym półroczu stopa procentowa wynosi 13% w skali roku,

w drugim - 12%,

- oprocentowanie kredytu (debet, ujemny stan konta) jest, odpowiednio,

dwa razy większe.

O = (70015+50046+110096+80023)+(80045+40084+70015)

-40036 = 56.88+26.70-9.60 = 73.98

W przypadku uwzględnienia dni kalendarzowych otrzymujemy:

O = (70015+50045+110098+80023)+(80046+40085+70016)

-40037 = 56.70+26.96-9.73 = 73.93

Naliczając odsetki co pół roku i dopisując je do rachunku otrzymujemy:

O = 56.88+(856.8845+456.8884+756.8815)-(400-56.88)36 =

= 56.88+29.43-8.23 = 78.08

oraz odpowiednio, uwzględniając dni kalendarzowe:

O = 56.70+29.71-8.35 = 78.06

................................................................................................................................

2.1.5. Kupiono urządzenie za 10000 zł. Zapłatę odroczono o 45 dni przy stopie

procentowej 27%. Jaką kwotę (K) zapłacono regulując zobowiązanie.

K = 10000(1+0.27) = 10337.50

Jeżeli odsetki liczone są od wartości końcowej to kwota do uregulowania będzie

równa:

K = = 10349.29



...............................................................................................................................

2.1.6. Zapłacono 100 odsetek za odroczenie o dwa miesiące zapłaty za zakupiony

towar, przy oprocentowaniu z góry w wysokości 24%. Ile zapłacono (K) i jaka

była cena towaru (P) w chwili jego zakupu?

K2500

P = K(1-r= K-O = 2500-100 = 2400

................................................................................................................................



2.1.7. a. Ile maksymalnie można zapłacić za weksel o wartości nominalnej 100

i terminie wykupu za trzy miesiące, przy stopie procentowej (rentowności) 24%.

P = 94.34

b. Jak wyżej, lecz przewiduje się, że weksel zostanie wykupiony z czteromiesięcznym

opóźnieniem. Odsetki karne są równe 0.14%/dzień.

K = 100(1+0.0014120) = 116.8

P = = 102.46



c. Jak w a., lecz należy wyznaczyć przez ile dni (x) weksel nie powinien być

wykupiony aby osiągnięta została założona rentowność przy cenie zakupu = 100.

100 =

x = 82



d. Jak w a., lecz weksel zostaje wykupiony dwa lata po terminie zakupu. W między-

czasie jest sprzedawany co pół roku. Kolejny nabywca odsetki nalicza od kwoty za

którą kupił weksel.

Podaj kwotę za którą weksel winien być wykupiony po w/w terminie.

K1 = 100(1+900.0014) = 112.6

K2 = K1(1+1800.0014) = 140.98

K3 = 140.98(1+1800.0014) = 176.51

K4 = 176.51(1+1800.0014) = 220.99



____________________________________________________________________

2.3. Oprocentowanie składane.

W rachunku oprocentowania składanego (złożonego) odsetki dopisywane są do kapitału początkowego (kapitalizacja odsetek). Od tak powiększonej kwoty kapitału naliczane są odsetki w kolejnym terminie.

0 1 2 .................................... n (i=1n - terminy kapitalizacji)

jeżeli:

p - stopa procentowa (stopa zmiany ilości kapitału)



to:

K1 = P(1+p)

K2 = K1(1+p) = P(1+p)2

.....................................................

Kn = K = Kn-1(1+p) = P(1+p)n = P(K/P,p,n)



P = K(1+p)-n = K(P/K,p,n)

gdzie:



(K/P,p,n) = (1+p)n

(P/K,p,n) = (1+p)-n



(1+p)-n - współczynnik dyskontujący
2.3.1. Efektywna stopa procentowa.

Jeżeli:


- stopa oprocentowania nominalnego jest równa r,

- dopisywanie (kapitalizacja) odsetek realizowane jest m razy (dla m podokresów

o równych czasach trwania) w okresie czasu równym T dla którego określona

jest stopa oprocentowania nominalnego,wtedy stopa oprocentowania kapitału dla jednego podokresu jest równa ,

dla końcowej ilości kapitału mamy więc:

K = P()m

Stopę procentową (p) określającą zmianę ilości kapitału w całym okresie

nazywamy efektywną stopą procentową :

p = (1+)m -1

stąd:


r = m[(p+1)1/m-1]

Stopa procentowa równoważna (skorygowana ) pr - jest to stopa procentowa dla każdego z m podokresów dająca tę samą efektywność (przy kapitalizacji odsetek na koniec każdego podokresu czasu) co nominalna stopa procentowa r (określona dla całego okresu czasu).

Z zależności: P(1+pr)m = P(1+r) otrzymujemy więc:

(1+pr)m = r+1

stąd:


pr = (1+r)1/m -1

Stopa procentowa równoważna dla k podokresów jest więc równa: (1+r)k/m -1


Jeżeli okres utrzymywania kapitału jest niezgodny z terminem kapitalizacji,

to znaczy:

t = nT +k T - okres kapitalizacji; k

wtedy:


K = P(1+p)n+k/T = P(K/P,p,n+k/T)

lub:


K = P(1+p)n (1+p) = P(K/P,p,n) (1+p)

Obie formuły nie są oczywiście sobie równoważne. W pierwszym przypadku przyrost kapitału wyznaczono w oparciu o stopę oprocentowania równoważnego (oprocentowanie składane),

w drugim - o stopę oprocentowania nominalnego (rachunek odsetek prostych).

2.3.2 Przeciętna stopa procentowa.

Niech w l podokresach o czasie trwania ni (jednostek czasu) stopa procentowa

wynosi (dla każdej jednostki czasu) pi.

Stopa procentowa p w całym okresie czasu N= jest równa:



p =-1

Przeciętna stopa procentowa (ps) w jednostce czasu jest równa:



ps = (p+1)1/N -1

____________________________________________________________________


2.4. Oprocentowanie ciągłe.

Oprocentowanie ciągłe (pc) jest graniczym oprocentowaniem efektywnym przy

liczbie kapitalizacji (m) dążącej do nieskończoności:

pc =m -1 = er -1

Stopa oprocentowania ciągłego dla okresu czasu t (przy oprocentowaniu nominalnym

równym r w okresie czasu T) jest równa:

pc(t) = -1 = -1

Stąd ilość końcowa (K) kapitału po okresie czasu równym t jest:



K = P(1+pc(t)) = P

dla ilości obecnej jest więc:

P = K - współczynnik dyskontujący

Jeżeli = n to: pc(n) = ern - 1

Ilość końcowa (K) kapitału przy oprocentowaniu ciągłym dla n okresów (t=nT) jest

więc równa:

K = P(1+pc(n))n = Pern

stąd, dla ilości obecnej jest:

P = Ke-rn

____________________________________________________________________


2.5. Oprocentowanie z góry.

Jeżeli jest stopą procentową przy oprocentowaniu z góry określoną następująco:



=

to wtedy:



O = K

K = P

P = K(1-)

Zależności między oprocentowaniem nominalnym (r) a stopą procentową dla oprocentowania z góry (), dającymi tę samą wartość końcową przy tej samej

wartości początkowej, są jak poniżej:

r =

=

Dla n terminów kapitalizacji odsetek jest:

K = P(1-)-n = P(K/P, , n) ( < 1)

P = K(1-)n = K(P/K, , n)

(1-)-n - współczynnik dyskontujący
Dla m terminów kapitalizacji odsetek w okresie czasu dla którego określona jest stopa

oprocentowania z góry oraz n okresów czasu zachodzi:


  1   2   3   4   5   6   7   8   9


©snauka.pl 2016
wyślij wiadomość