Strona główna

5. Modele systemów i ich zachowanie Nasze myślenie to operacja na modelach- mapach rzeczywistości, rzadko zaś pamiętamy że mapa to nie teren !


Pobieranie 146.35 Kb.
Strona1/4
Data20.06.2016
Rozmiar146.35 Kb.
  1   2   3   4
5. Modele systemów i ich zachowanie
Nasze myślenie to operacja na modelach- mapach rzeczywistości,

rzadko zaś pamiętamy że mapa to nie teren !
5.1 Wstęp

5.2 Modele, modelowanie, symulacja

5.3 Typy modeli obiektów i procesów

5.4 Modele wzrostu systemów

5.5 Modele zachowania systemów z ograniczeniami strukturalnymi

5.6 Modele interakcji – systemy konfliktowe

5.7 Modele systemów złożonych

5.8 Prognozowanie ewolucji systemów – planowanie strategiczne

5.9 Podsumowanie

5.10 Problemy



5.1 Wstęp

Jak już wiemy podejście systemowe do powoływania nowych systemów charakteryzuje się intensywnym użyciem symulacji zachowania się przyszłych systemów, by przewidzieć zawczasu ich możliwy ewolucyjnie zakres niesterowalności (ryzyko funkcjonalne), dalekosiężne efekty uboczne (ryzyko środowiskowe) i stopniową utratę efektywności systemu na skutek zużycia (ryzyko awarii). Zatem, przed przejściem do koncepcyjnego projektowania systemów celowym jest zbadanie ich zachowania się w trakcie życia i/ lub działania. Bowiem jak stwierdziliśmy poprzednio niejednokrotnie, system optymalny musi zachować swą optymalność w ciągu całego cyklu życia, od koncepcji poprzez fizyczną realizację, aż do jego kasacji i recyklingu. Zatem na ile się da, należy ilościowo i jakościowo przebadać zachowanie się systemu w całym cyklu jego istnienia. Wymaga to posiadania pewnych (sprawdzonych – walidacja) modeli ewolucji systemów, najlepiej zaś modeli ilościowych. Jeśli zaś ich nie posiadamy to zawsze jest jeszcze możliwość prognozowania zachowania się systemów metodą odpytywania ekspertów (Delphi), lub metoda scenariuszy. Załóżmy jednak tutaj, że dysponujemy ilościowymi modelami zachowania się systemów co dla systemów względnie prostych jest możliwe. Będziemy zatem niżej badać zachowanie prostych systemów obserwując je przez pryzmat wielkości sterujących, bądź tylko przez ich wielkości wejściowo - wyjściowe, bądź inne wielkości proporcjonalne do nich, tzw. symptomy - jeśli system nie jest bezpośrednio obserwowalny. Czasami jednak, jak zobaczymy niżej, znajomość struktury systemu pozwoli wydedukować jego zachowanie.



5.2 Modele, modelowanie, symulacja

Upraszczając nieco zagadnienie, dla pokazania istoty problemu, można powiedzieć, iż żyjemy w świecie modeli często nie wiedząc o tym. O czymkolwiek myślimy, mówimy, zawsze mamy na myśli pewne nasze wyobrażenie rzeczywistości fizycznej i / lub symbolicznej, czyli jej model. A warto na początku podkreślić, że model do realnego systemu ma się tak jak mapa do terenu, a do tego w naszej głowie są same takie ‘mapy’ świata w którym żyjemy zamiast rzeczywistego ‘terenu’. Czym zatem jest model systemu ?

Przypomnijmy sobie wpierw naszą najlepszą definicję systemu, system jest to byt przejawiający egzystencję przez synergiczną interakcję swych elementów, system działa w czasie i w przestrzeni. Zatem,

model jest uproszczoną reprezentacją systemu, w czasie i przestrzeni, stworzoną w zamiarze zrozumienia zachowania systemu rzeczywistego [Principia].

Modele, z którymi mamy do czynienia w życiu i pracy mogą być rzeczywiste – fizyczne, jak np. w skali 1 : 10, i modele abstrakcyjne. Te ostatnie warto podzielić znów na dwie klasy; jakościowe (opisowe i wyjaśniające) i ilościowe – prognostyczne. W modelach jakościowych możemy zaledwie powiedzieć wstępnie co jest jakie (model opisowy), bądź lepiej co od czego zależy (model wyjaśniający – relacyjny). Modele ilościowe (kwantytatywne) są marzeniem każdego badacza systemów i z grubsza można je podzielić na deterministyczne, rozmyte i probabilistyczne, zależnie od pewności wiedzy jaką o nich posiadamy. Poprzednio, w połowie poprzedniego stulecia, dużą role odgrywały modele analogowe bazujące na podobieństwie opisu matematycznego różnych zjawisk, np. linii sił pola elektrycznego i linii prądu przepływu cieczy. Stosowano zatem często i badano modele analogowe procesów i zjawisk.

A co to jest modelowanie ? Wiąże się ono zawsze z określonym celem modelowania, jeden konkretny system może reprezentować wiele modeli. W sposób zwięzły modelowanie to wyszukiwanie w systemie cech i związków istotnych ze względu na dany cel. Nie jest to proste zadanie i często nazywa się to sztuką modelowania, jak tytuł ostatniej książki F. Morrisona, ‘Sztuka Modelowania Układów Dynamicznych’ [Morrison96].

Jeszcze jedno rozróżnienie sposobów modelowania byłoby to właściwe na tym etapie. Wiąże się to co z charakterem podejścia do problemu, z góry na dół (top down ) czy też z dołu do góry (bottom up). W terminologii amerykańskiej najnowszej analizy systemowej nazywa się to odpowiednio podejściem; Macro to micro (Mtm), oraz micro to Macro (mtM) Boyd [Boyd01]. W podejściu z dołu do góry (mtM) rozważamy wpierw działanie mikromodułów, używając na ogół rachunku różniczkowego lub różnicowego i odpowiedni całkując jeśli chodzi o ogląd większego obszaru lub całego systemu. W podejściu z góry na dół rozważamy cały system, układając dla niego warunki równowagi, przepływu, itd., a jeśli chodzi nam o podsystemy i moduły to w miarę potrzeby wyodrębniamy je i stosujemy te same sposoby kalkulacji równowagi i przepływów i oddziaływań kontrolno sterujących. Dając tu najprostszy z możliwych przykładów weźmy kinematykę ruchu jednostajnego punktu. W szkole podstawowej uczono nas, że przy stałej prędkości droga jest proporcjonalna do czasu ruchu, czyli s = v t jest to podejście Makro. Natomiast w szkole wyższej uczyli nas obliczać elementarny przyrost drogi w elementarnym przyroście czasu; ds. = v dt, jest to podejście mikro. Obecnie wiemy iż w pierwszym przypadku trzeba zróżniczkować relację wejściową i dostaniemy ją na poziomie mikro. W drugim natomiast przypadku trzeba scałkować (np. przy zerowych warunkach początkowych) i będziemy na poziomie makro. Innym przykładem podejścia mikro może być metoda elementów skończonych (MES ang. FEM), podejścia w skali makro Metoda Elementów Brzegowych (ang. BEM), lub analizy modalnej. W wielu przypadkach wybór poziomu startowego jest kwestią preferencji, ale w niektórych przypadkach nie ma takiego wyboru z uwagi na braki metodologiczne.

Jeśli popatrzymy na rysunek 3.3 objaśniający nam sposób zdobywania wiedzy o świecie to widzimy wzajemnie udokładniającą się spiralę diady ‘eksperyment - teoria’. Tak było do lat 70 – tych, a od tego czasu zwolna rolę przejmuje triada ‘ eksperyment – teoria – symulacja’, symulacja z użyciem modeli ilościowych , prognostycznych, tak jak na rysunku 5.1.

Rysunek 5.1 Trójkąt ‘eksperyment – teoria – symulacja’ umożliwiający przyspieszone badania jak i projektowanie systemów złożonych [Kleiber99].

Ale znowu napotykamy tu barierę naszej niewiedzy, co to jest symulacja, czy to o czym już słyszeliśmy w dzieciństwie, gdy rodzice posądzali nas o symulację (udawanie) choroby by nie iść do szkoły ? Coś w tym sensie też, jest to udawanie że badając model badamy system realny. Tak więc;

Symulacja jest to manipulowanie modelem w taki sposób że działa on w zmienionej skali w czasie i / lub w czasoprzestrzeni, umożliwiając nam uchwycenie oddziaływań i zachowań, które w innym przypadku byłyby nieuchwytne z tytułu ich oddalenia w czasie i przestrzeni.
Ta kompresja (ekspansja) skali daje nam także stosowną perspektywę, aby uchwycić co zdarzy się w systemie, a co z tytułu jego złożoności byłoby w innym przypadku niemożliwe do obserwacji [Bellinger02]. Jest to dość długa definicja, lecz jedna z najlepszych oddająca istotę symulacji , podobnie jak definicja modelu i systemu, warto więc przytoczyć, że źródło jest Internetowe [Bellinger02], podobnie dobre jak dla szukania zagadnień teorii systemów i cybernetyki pod Internetowym adresem [Principia].

Wiemy już jakim narzędziem jest dobry model skojarzony z możliwościami symulacji1. Jak dalece jest to słuszne może przekona nas nowa szersza nazwa symulacji, inżynieria wirtualna, stosowana zwłaszcza do badań stosowanych i projektowania wszystkiego co ma działać, w całym cyklu życia od koncepcji do reutylizacji. Są już bowiem programy komputerowe optymalizujące proces rozbiórki i reutylizacji starych samochodów, zarówno z punktu widzenia czasu jak i energii potrzebnej do rozbiórki.

Wiedząc tyle o symulacji - możliwej jeśli posiadamy dobry model, zapoznajmy się zatem z niektórymi typami modeli, a potem z przekrojami modeli systemów złożonych.


5.3 Typy modeli obiektów i procesów

Nasza ogólna definicja systemu ujmuje całe spektrum możliwości; od systemów materialnych przez symboliczne aż do systemów pojęciowych, których elementami są pojęcia i idee. Jak zatem mówić i jak tworzyć modele takich systemów ?. Wpierw ułóżmy sobie dobrze w głowie tę rozmytą klasyfikację czemu na pewno sprzyja poniższy rysunek 6.2.


systemy pojęciowe systemy rozmyte systemy strukt. określ.

Rys. 5.2. Ilustracja spektrum egzystencji systemów jako wstęp do ich modelowania


Z prawej strony mamy w pełni określone systemy, określone co do ich struktury i funkcji jakie wykonują. Zatem ich wektory wejścia i wyjścia i/lub interfejsy2 są w pełni zdefiniowane i mierzalne. Idąc dalej na lewo napotykamy systemy z atrybutami (wielkości charakterystyczne opisujące system) zdefiniowanymi, lecz nie zawsze mierzalnymi (np. bioenergia). Wreszcie z prawej strony spektrum mamy systemy, które nie są w pełni obiektywnie zdefiniowane, ich definicje podsystemów i atrybutów są jeszcze w głowie projektanta lub lidera, nie zawsze nawet są w pełni wyartykułowane, świadomie lub nie. Do tej grupy nalezą również tzw. modele mentalne będące niejednokrotnie metaforami pomocnymi w myśleniu indywidualnym, zbiorowym i reprezentacji informacji i wiedzy.

Przechodząc do przykładów to można stwierdzić, że większość systemów inżynierskich, hardwarowych czy softwarowych, mieści się z prawej strony, w środku będziemy mieli systemy antropotechniczne, np. człowiek – maszyna, czy nawet socjotechniczne, przedsiębiorstwo i wyżej gospodarka, gdzie nie wszystko jest zdefiniowane i mierzalne. Z lewej zaś strony będą idee i wartości wyznawane przez uczestników systemu socjotechnicznego, np. w danym przedsiębiorstwie i/lub w gospodarce.

Pod pojęciem modelu wielu autorów umieszcza różne procesy i byty, np. sieci czynności, grafy i /lub diagramy aktywności, PERT (Program Evaluation and Review Technique), CPM (Critical Path Method) i inne służące do usprawnienia zarządzania operacjami, projektami, czy też produkcją (patrz np. [Mingus02], [Caposi01]). My jednak zawężymy pojecie modelu do takich systemów i procesów w których da się wyróżnić wielkości obserwowalne podlegające ewolucji, na ogół ciągłej, co w procesie dalszej analizy może być poddane dyskretyzacji.

W sensie analitycznym, matematycznym, modele systemów lewostronnych (rys. 6.2) na razie trudno sobie wyobrazić, aczkolwiek widziałem już prace modelujące matematycznie system przekonań i wierzeń, np. człowieka, robota autonomicznego, androida, itp. Popatrzmy zatem na modele systemów ze środka i prawej strony rysunku 6.2, których to będziemy coraz bardziej potrzebowali i używali w inżynierii systemów. Para takich modeli jest nakreślona na kolejnym rysunku 6.3.



Obserwabla
A) B)


System

strukturalnie określony

(np. sterownik)


System rozmyty

(np. gospodarka)

Rys.5.3. Modele systemów rozmytego i w pełni określonego


Model systemu A z lewej strony nie jest w pełni zdefiniowany, jego granice i struktura są rozmyte jak np. w gospodarce, gdzie niektórzy aktorzy deklarują płacenie podatków na "Kajmanach". W takich systemach wielkich mamy niejednokrotnie możliwość obserwacji pewnych procesów, np. przepływ towarów, pieniądza, wskaźniki giełdowe, w ekonomii lub wskaźniki i indeksy jak w psychologii i marketingu. Wtedy wcale nie jesteśmy pewni czy to co obserwujemy jest zmienną systemową, czy jest to wielkość wejściowa, czy wyjściowa, i czy daje możliwość sterowania3 systemem. Stąd też wielkość obserwowaną w takich systemach lepiej nazwać obserwablą, zamiast używać pojęcia zmiennej, zależnej, niezależnej czy zmiennej stanu4, co w matematyce i naukach inżynierskich ma jasno określone znaczenie.

Natomiast model systemu lewostronnego B ma w pełni określoną funkcję i strukturę, lub co najmniej dobrze określoną funkcję przejścia5, a jego wektory wejścia i wyjścia są zdefiniowane i mierzalne. Są to np. hardwarowe części maszyn i urządzeń, lub też ich układy sensomotoryczne łącznie z oprogramowaniem, gdzie warunek niezawodnego6 działania wymusza pełną obserwowalność i pełną sterowalność systemu.

Odnośnie modeli systemów strukturalnie określonych niezbędne jest jeszcze kilka uwag o ich strukturze wewnętrznej. Otóż jeśli nasza znajomość wnętrza systemu kończy się na jego funkcji przejścia to mówimy o systemie typu czarna skrzynka (black box), Jeśli znamy pewne fragmenty struktury i funkcję przejścia to mówimy o szarej skrzynce (gray box), jeśli natomiast znamy całą strukturę wnętrza, to możemy znaleźć wynikowa funkcje przejścia, a typ modelu to biała skrzynka (white box).

Mając już za sobą wszystkie generalia modelowe popatrzmy obecnie na spektrum możliwych modeli systemów, od najprostszych typu modelu stanu konta, do najbardziej złożonych jak np. model ekosystemu lub cywilizacji światowej.



5.4 Modele wzrostu systemów

W wielu przypadkach badań systemów mamy jeden system ulokowany w swym otoczeniu, a jedyną obserwablą (wielkością obserwowaną) jest stan jego wyjścia w kolejnych chwilach czasu. Wówczas na tej podstawie budujemy modele prognostyczne przyszłego zachowania się systemu dla czasu; t = k+1 na podstawie zbioru danych obserwacji poprzednich t = 1, 2, ... k. Prowadzi to do kilku interesujących modeli jak niżej.



5.4.1 Wzrost geometryczny systemu

Załóżmy że wielkość opisująca wyjście systemu x (stan konta, liczność populacji, itp.) jest odczytywana w dyskretnych chwilach czasu t = 1, 2,,...,k,... np. co godzinę, co miesiąc, rok, przy czym t = 1 nie musi oznaczać początku życia systemu, lecz jedynie początek obserwacji. Niech wartości kolejno odczytywane różnią się od poprzedniej o wartość stałą ‘a’ tak że



x(t + 1) = a x(t ), a > 0.

(5.1)

Łatwo z powyższego zauważyć , że jeśli a = 1 to nie notujemy żadnych zmian i możemy powiedzieć, iż obserwowany system jest statyczny. Jeśli a < 1 to następuje stopniowe zmniejszanie obserwowanej wielkości , zaś najbardziej interesujący jest przypadek wzrostu wyjścia systemu jeśli a > 1. Model taki może odzwierciedlać zachowanie się różnych systemów, np. wzrost populacji ludzi, zwierząt, roślin, wzrost publikacji danej dziedziny wiedzy, konsumpcji materiałów, wzrost długu lub przyrost konta w banku. W tym ostatnim np. przypadku przyszła wartość konta -F (future) w porównaniu z obecną - P (present) przy rocznym oprocentowaniu 100i % będzie

F = (1 + i) P,

co w porównaniu do pierwotnej wartości Po po n krokach będzie

Fn = (1 + i)n Po .




Ten typ wzrostu, tzn. przyrost o stały iloczyn, nazywamy wzrostem geometrycznym. Jak widać model ten może być bardzo użyteczny jeśli przyrost zmiennej niezależnej (np. czasu) jest dyskretny, co w dobie digitalizacji obliczeń ma często miejsce.

5.4.2 Model stada - demografia

Uwzględnienie przyrostu cechy systemu, np. ilości zwierząt czy ludzi w danym obszarze, podług modelu (5.1) jest zbyt uśrednione, lub inaczej grube. Czasami więc dogodnie jest przyjąć, że przyrost taki dla różnych grup wiekowych stada jest różny, a to z tytułu zróżnicowanej ich funkcji, np. rozrodczości i umieralności. Załóżmy dla prostoty, że rozkład samców i samic w każdej grupie wiekowej 0, 1, 2, ..., m, (np w grupie do jednego roku, do 5 -ciu lat, itd.),jest taki sam. Pozwala nam to prowadzić rozważania tylko dla samic, a będzie to reprezentatywne dla całego stada. Oceńmy wpierw śmiertelność grupy przy jej przejściu do drugiej, np. i do i + 1 - jako i. Takie zmniejszenie populacji jest słuszne dla każdej grupy wiekowej k, przy jej przejściu do następnej grupy ilość osobników zmniejsza się o współczynnik przeżycia i , tak więc



xi+1(k + 1) = i xi( k ), i = 0,1,2,...n-1,

(5.2)

gdzie i < 1 można oszacować z badań statystycznych, lub też wziąć z odpowiednich tabel. Jedyna grupa wiekowa, dla której nie ingeruje współczynnik przeżycia jest to najmłodsza grupa wiekowa (początkowa) w każdym etapie tzn. xo(k+1) . Dla tej grupy wiekowej oddaje swój przyrost każda inna grupa przez stosowny współczynnik rozrodczości i. Tak więc stan tej grupy możemy opisać równaniem

xo(k + 1) = o xo(k) + 1 x1(k) + ... +n xn(k).

(5.3)

Mając dane współczynniki śmiertelności i i rozrodczości i możemy wyliczyć stan każdej grupy wiekowej stada wg (5.3) a potem grupy nowonarodzonych xo(k+1) i wreszcie dla całego wielowarstwowego stada wg formuły:

x =

n

i=0



xi(k+1). (5.4)

Pouczająca może być tu symulacja liczności całego stada ‘x’ przy różnych współczynnikach śmiertelności i oraz rozrodczości i . Będzie to z pewnością lepsze przybliżenie sytuacji rzeczywistej niż uśredniony wzrost wg modelu geometrycznego, czy też eksponencjalnego, itp.

5.4.3 Różnicowy modele gospodarki

Istnieje wiele prostych modeli dynamiki wzrostu gospodarczego (np..[Findeisen85], [Rappaport86]), tutaj zaś rozważymy model dyskretny, np. kwartalny lub roczny. Do tego celu musimy zdefiniować cztery zmienne opisujące system jak niżej.

Y(k) - dochód narodowy lub korporacji,

C(k) - konsumpcja w danym okresie,

I(k) - inwestycje w danym okresie,

G(k) - wydatki państwa (korporacji ) w danym okresie.


  1   2   3   4


©snauka.pl 2016
wyślij wiadomość