Strona główna

Algebra macierzy r – zbiór liczb rzeczywistych. Elementy zbioru r skalary ☼ Definicja 1


Pobieranie 41.62 Kb.
Data18.06.2016
Rozmiar41.62 Kb.
Algebra macierzy

R – zbiór liczb rzeczywistych. Elementy zbioru R - skalary

Definicja 1.



Macierzą wymiaru mn, gdzie m, n N, o elementach ze zbioru R nazywamy prostokątną tablicę o m wierszach i n kolumnach złożoną z mn elementów zbioru R postaci:
A = .
aij R - elementy macierzy.
A = [aij]mn lub A = [aij] - macierz A o wymiarach m n.
m - liczba wierszy macierzy

n - liczba kolumn macierzy

Mm n ( R ) - zbiór wszystkich macierzy o wymiarach m n z elementami ze zbioru R


Przykłady.


1. Wektor kolumnowy (n = 1)
A = .
2. Wektor wierszowy (m = 1)
A = .

3. Jeśli m = n, to A - macierz kwadratowa stopnia n:


A = .
a11, a22, ..., ann - przekątna główna macierzy A.
4. 0mn lub 0 – macierz zerowa
0mn = .
5. En lub E - macierz jednostkowa:
En = .

6. Macierz diagonalna:


A = .
A = diag(a11, a22, ..., ann).
7. A = diag (a, a, ..., a) - macierz skalarna.
8. Macierz trójkątna górna:
A = .
9. Macierz trójkątna dolna:
A = .

Działania na macierzach
Równość macierzy:
A = B

gdy mają jednakowe wymiary i odpowiedni elementy są równe.


1. Iloczynem macierzy A = [aij]mn przez skalar  nazywamy macierz

B = [bij]mn = [aij] = A.
2. (1)A - macierzą przeciwną do macierzy A i oznaczamy przez –A.
3. Suma macierzy

A = [aij]mn i B = [bij]mn
A + B = [aij + bij] mn

4. Różnicą macierzy


A B = [aij - bij] mn

1. A + B = B + A (prawo przemienności sumy)

2. (A + B) + C = A + (B + C) (prawo łączności sumy)

3. A + O = O + A = A

4. A + (A) = O.


  1. (A + B) = A + B

  2. ( + )A = A + A

  3. 1A= A

  4. ()A =  (A)

  5. A = A

5. Iloczynem macierzy A = [aij]mk przez macierz B = [bij] kn nazywamy macierz C = AB = [cij]mn,


cij = ,

Przykłady.

1. A = i B = .
Niech C = AB. Wtedy
c11 = 26 + 44 = 28

c12 = 2(2) + 4 (5) = 24

c21 = 06 + (3)4 = 12

c22 = 0(2) + (3)( 5) = 15

i

AB = .


2. A = i B = .
Niech C = AB. Wtedy

c11 = 97 + (4)( 2) + 03 = 71

c21 = 77 + (3)( 2) + ( 2) 3 = 49

i

AB = .


3. A = i B = .
Niech C = AB. Wtedy
c11 = 32 + (2)( 1) + 03 = 8

c12 = 34 + (2)0 + 0(2) = 12

c21 = 52 + (4)( 1) + (1) 3 = 11

c22 = 54 + (4)0 + (1)( 2) = 22

c31 = 02 + 6(1) + 3 3 = 3

c32 = 04 + 60 + 3(2) = 6

i

AB = .


Przykład.

A = i B = .

Wtedy AB = i BA = ,

a więc ABBA.


  1. (AB)C = A(BC) (prawo łączności mnożenia)

  2. A(B + C) = AB + AC (prawo rozdzielności )

  3. (A + B)C = AC + BC (prawo rozdzielności )



Działanie na macierzach kwadratowych

Iloczyn macierzy kwadratowych jest macierzą kwadratową.




Potęgowanie macierzy kwadratowych



A0 = E, A1 = A, A2 = AA, ... , Ak+1 = AkA

dla kN.


AmAk = Am+k dla  m, nN.

Transpozycja macierzy i jej własności
Definicja.

Macierzą transponowaną do prostokątnej macierzy A = [aij]  Mmn(K) nazywamy macierz prostokątną AT = [bij]  Mnm(K), gdzie

bij = aji

dla i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.


Przykłady.


1. Jeśli A = , to AT = .

2. Jeżeli A =, to AT =



  1. Jeżeli A = , to AT =

2. Macierz kwadratową A = [aij]nn stopnia n, której wszystkie elementy spełniają warunek aij = aji dla i, j = 1, 2, ..., n,

tzn.

AT = A,

nazywamy macierzą symetryczną.


Przykład.
Macierze A = , B = są macierzami symetrycznymi.





©snauka.pl 2016
wyślij wiadomość