Algebra macierzy
R – zbiór liczb rzeczywistych. Elementy zbioru R - skalary
☼ Definicja 1.
Macierzą wymiaru mn, gdzie m, n N, o elementach ze zbioru R nazywamy prostokątną tablicę o m wierszach i n kolumnach złożoną z mn elementów zbioru R postaci:
A = .
aij R - elementy macierzy.
A = [aij]mn lub A = [aij] - macierz A o wymiarach m n.
m - liczba wierszy macierzy
n - liczba kolumn macierzy
Mm n ( R ) - zbiór wszystkich macierzy o wymiarach m n z elementami ze zbioru R
◙ Przykłady.
1. Wektor kolumnowy (n = 1)
A = .
2. Wektor wierszowy (m = 1)
A = .
3. Jeśli m = n, to A - macierz kwadratowa stopnia n:
A = .
a11, a22, ..., ann - przekątna główna macierzy A.
4. 0mn lub 0 – macierz zerowa
0mn = .
5. En lub E - macierz jednostkowa:
En = .
6. Macierz diagonalna:
A = .
A = diag(a11, a22, ..., ann).
7. A = diag (a, a, ..., a) - macierz skalarna.
8. Macierz trójkątna górna:
A = .
9. Macierz trójkątna dolna:
A = .
Działania na macierzach
Równość macierzy:
A = B
gdy mają jednakowe wymiary i odpowiedni elementy są równe.
1. Iloczynem macierzy A = [aij]mn przez skalar nazywamy macierz
B = [bij]mn = [aij] = A.
2. (1)A - macierzą przeciwną do macierzy A i oznaczamy przez –A.
3. Suma macierzy
A = [aij]mn i B = [bij]mn
A + B = [aij + bij] mn
4. Różnicą macierzy
A – B = [aij - bij] mn
1. A + B = B + A (prawo przemienności sumy)
2. (A + B) + C = A + (B + C) (prawo łączności sumy)
3. A + O = O + A = A
4. A + (A) = O.
-
(A + B) = A + B
-
( + )A = A + A
-
1A= A
-
()A = (A)
-
A = A
5. Iloczynem macierzy A = [aij]mk przez macierz B = [bij] kn nazywamy macierz C = AB = [cij]mn,
cij = ,
◙ Przykłady.
1. A = i B = .
Niech C = AB. Wtedy
c11 = 26 + 44 = 28
c12 = 2(2) + 4 (5) = 24
c21 = 06 + (3)4 = 12
c22 = 0(2) + (3)( 5) = 15
i
AB = .
2. A = i B = .
Niech C = AB. Wtedy
c11 = 97 + (4)( 2) + 03 = 71
c21 = 77 + (3)( 2) + ( 2) 3 = 49
i
AB = .
3. A = i B = .
Niech C = AB. Wtedy
c11 = 32 + (2)( 1) + 03 = 8
c12 = 34 + (2)0 + 0(2) = 12
c21 = 52 + (4)( 1) + (1) 3 = 11
c22 = 54 + (4)0 + (1)( 2) = 22
c31 = 02 + 6(1) + 3 3 = 3
c32 = 04 + 60 + 3(2) = 6
i
AB = .
◙ Przykład.
A = i B = .
Wtedy AB = i BA = ,
a więc AB BA.
-
(AB)C = A(BC) (prawo łączności mnożenia)
-
A(B + C) = AB + AC (prawo rozdzielności )
-
(A + B)C = AC + BC (prawo rozdzielności )
Iloczyn macierzy kwadratowych jest macierzą kwadratową.
Potęgowanie macierzy kwadratowych
A0 = E, A1 = A, A2 = AA, ... , Ak+1 = AkA
dla k N.
AmAk = Am+k dla m, n N.
Transpozycja macierzy i jej własności
☼ Definicja.
Macierzą transponowaną do prostokątnej macierzy A = [aij] Mmn(K) nazywamy macierz prostokątną AT = [bij] Mnm(K), gdzie
bij = aji
dla i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.
◙ Przykłady.
1. Jeśli A = , to AT = .
2. Jeżeli A = , to AT =
-
Jeżeli A = , to AT =
2. Macierz kwadratową A = [aij]nn stopnia n, której wszystkie elementy spełniają warunek aij = aji dla i, j = 1, 2, ..., n,
tzn.
AT = A,
nazywamy macierzą symetryczną.
◙ Przykład.
Macierze A = , B = są macierzami symetrycznymi.
|