Algebra macierzy r – zbiór liczb rzeczywistych. Elementy zbioru r skalary ☼ Definicja 1

Data	18.06.2016
Rozmiar	41.62 Kb.

Algebra macierzy

R – zbiór liczb rzeczywistych. Elementy zbioru R - skalary

☼ Definicja 1.

Macierzą wymiaru mn, gdzie m, n  N, o elementach ze zbioru R nazywamy prostokątną tablicę o m wierszach i n kolumnach złożoną z mn elementów zbioru R postaci:
A =

.
a_ij R - elementy macierzy.
A = [a_ij]_m__n lub A = [a_ij] - macierz A o wymiarach m  n.
m - liczba wierszy macierzy

n - liczba kolumn macierzy

M_m__n ( R ) - zbiór wszystkich macierzy o wymiarach m  n z elementami ze zbioru R

◙ Przykłady.

1. Wektor kolumnowy (n = 1)
A =

.
2. Wektor wierszowy (m = 1)
A =

3. Jeśli m = n, to A - macierz kwadratowa stopnia n:

A =

.
a₁₁, a₂₂, ..., a_nn - przekątna główna macierzy A.
4. 0_m__n lub 0 – macierz zerowa
0_m__n =

.
5. E_n lub E - macierz jednostkowa:
E_n =

6. Macierz diagonalna:

A =

.
A = diag(a₁₁, a₂₂, ..., a_nn).
7. A = diag (a, a, ..., a) - macierz skalarna.
8. Macierz trójkątna górna:
A =

.
9. Macierz trójkątna dolna:
A =

.

Działania na macierzach
Równość macierzy:
A = B 

gdy mają jednakowe wymiary i odpowiedni elementy są równe.

1. Iloczynem macierzy A = [a_ij]_m__nprzez skalar  nazywamy macierz

B = [b_ij]_m__n = [a_ij] = A.
2. (1)A - macierzą przeciwną do macierzy A i oznaczamy przez –A.
3. Suma macierzy

A = [a_ij]_m__ni B = [b_ij]_m__n
A + B = [a_ij + b_ij]_m__n

4. Różnicą macierzy

A – B = [a_ij - b_ij]_m__n

1. A + B = B + A (prawo przemienności sumy)

2. (A + B) + C = A + (B + C) (prawo łączności sumy)

3. A + O = O + A = A

4. A + (A) = O.

(A + B) = A + B
( + )A =  A + A
1A= A
()A =  (A)
A = A

5. Iloczynem macierzy A = [a_ij]_m__kprzez macierz B = [b_ij]_k__n nazywamy macierz C = AB = [c_ij]_m__n,

c_ij =

◙ Przykłady.

1. A = i B = .
Niech C = AB. Wtedy
c₁₁ = 26 + 44 = 28

c₁₂ = 2(2) + 4 (5) = 24

c₂₁ = 06 + (3)4 = 12

c₂₂ = 0(2) + (3)( 5) = 15

i

AB = .

2. A =

i B =

.
Niech C = AB. Wtedy

c₁₁ = 97 + (4)( 2) + 03 = 71

c₂₁ = 77 + (3)( 2) + ( 2) 3 = 49

i

AB = .

3. A =

i B =

.
Niech C = AB. Wtedy
c₁₁ = 32 + (2)( 1) + 03 = 8

c₁₂ = 34 + (2)0 + 0(2) = 12

c₂₁ = 52 + (4)( 1) + (1) 3 = 11

c₂₂ = 54 + (4)0 + (1)( 2) = 22

c₃₁ = 02 + 6(1) + 3 3 = 3

c₃₂ = 04 + 60 + 3(2) = 6

i

AB = .

◙ Przykład.

A =

i B =

Wtedy AB = i BA = ,

a więc AB  BA.

(AB)C = A(BC) (prawo łączności mnożenia)
A(B + C) = AB + AC (prawo rozdzielności )
(A + B)C = AC + BC (prawo rozdzielności )

Działanie na macierzach kwadratowych

Iloczyn macierzy kwadratowych jest macierzą kwadratową.

Potęgowanie macierzy kwadratowych

A⁰ = E, A¹ = A, A² = AA, ... , A^k⁺¹ = A^kA

dla k  N.

A^mA^k= A^m⁺^k dla  m, n  N.

Transpozycja macierzy i jej własności
☼ Definicja.

Macierzą transponowaną do prostokątnej macierzy A = [a_ij]  M_m__n(K) nazywamy macierz prostokątną A^T = [b_ij]  M_n__m(K), gdzie

b_ij= a_ji

dla i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.

◙ Przykłady.

1. Jeśli A =