Strona główna

Analiza pomiaru wielokrotnego pojedynczej wielkości


Pobieranie 19.51 Kb.
Data19.06.2016
Rozmiar19.51 Kb.

Analiza pomiaru wielokrotnego pojedynczej wielkości.


W praktyce pomiarowej często spotykamy się z pomiarami wielokrotnymi, gdy podczas pomiaru błędy pomiarowe (szumy miernika, czynniki zewnętrzne) są na tyle duże, a skala miernika na tyle mała, że kolejne pomiary tej samej wielkości dają różne wyniki. W takim wypadku należy dokonać analizy statystycznej serii pomiarów i na jej podstawie wyciągnąć odpowiednie wnioski co do wielkości mierzonej.

Analiza częstości


W pierwszym rzędzie należy rozpoznać, jaki rozkład ma seria naszych pomiarów.

Zacząć należy od wykonania analizy częstości (wraz z wykresem) naszych pomiarów. W tym celu najlepiej skorzystać w Excelu z Analysis Tool Pack (pakietu narzędzi analizy danych) znajdującego się w dodatkach. Aby go móc użyć, za pierwszym razem należy wgrać te narzędzia zaznaczając Analysis Tool Pack w dodatkach Menu Narzędzia => Dodatki => zaznaczyć Analysis Tool Pack. Po tym zabiegu w Menu Narzędzia pojawi się dodatkowa pozycja – Analiza danych. Z zestawu narzędzi Analizy danych wybieramy narzędzie Histogram, które pozwoli nam na dokonanie analizy częstości naszych pomiarów i wykonanie wykresu częstości pomiarów w postaci histogramu. W formatce tego narzędzia podajemy zakres danych do analizy (WejścieZakres komórek:), wartości graniczne przedziałów analizy częstości (WejścieZakres zbioru: – jeśli tych przedziałów nie podamy, to narządzie wybierze samo automatycznie), a w części Opcje wyjścia podajemy położenie danych wyjściowych i takie opcje jak ewentualne sortowanie według częstości (nas to akurat nie interesuje), udział procentowy (jeśli chcemy mieć analizę w postaci procentowej) i ewentualny wykres częstości (tę pozycję zawsze warto wybrać).

Cały rozkład częstości można jednak wykonać bez Analysis Tool Pack, jedynie za pomocą funkcji LICZ.JEŻELI z kategorii statystyczne – do przemyślenia co ambitniejszym pozostawiam, jak to zrobić – w sumie bardzo prosto.

Często przyjmuje się, że w przypadku gdy fluktuacje pomiaru (odchylenia od wartości rzeczywistej) są niezależne w każdym pomiarze i nieograniczone, to można z dobrym przybliżeniem przyjąć, że mają one rozkład Gaussa. Rozkład taki musi mieć kształt krzywej dzwonowej, musi mieć skośność (obliczaną za pomocą funkcji SKOŚNOŚĆ z kategorii statystyczne) równą zeru i skupienie (obliczane za pomocą funkcji KURTOZA z kategorii statystyczne) też równe zeru.

Zazwyczaj rozkłady te nie są w pełni kształtu rozkładu Gaussa, ale istnieje szereg funkcji pozwalających na przekształcenie danego rozkładu empirycznego w rozkład Gaussa. Do jednych z nich należą tzw. Krzywe Johnsona.

My na zajęciach nie będziemy dokonywać takich przekształceń, zmierzymy jedynie kurtozę i skośność, żeby mieć świadomość na ile nasz rozkład różni się od rozkładu Gaussa, a następnie (niepoprawnie!!!) założymy, że mamy do czynienia właśnie z tym rozkładem.


Analiza parametrów rozkładu


W drugim etapie, mając pewną wiedzę o rozkładzie, możemy obliczyć wartości estymatorów (funkcji pozwalających oszacować parametry rozkładu na podstawie próbki) parametrów, które dadzą nam jakąś wiedzę o mierzonej przez nas wielkości.

Do oszacowania wartości mierzonej używa się najczęściej estymatora wartości oczekiwanej rozkładu, który dla rozkładu Gaussa jest liczony za pomocą średniej arytmetycznej (funkcja ŚREDNIA).

Interesuje nas także zazwyczaj „stopień rozmycia” czy też jakaś „niepewność” pomiaru – najczęściej używanymi parametrami obrazującymi tę cechę są wariancja czy też odchylenie standardowe (są one wzajemnie jednoznaczne, gdyż odchylenie standardowe jest pierwiastkiem z wariancji – wariancja ma wymiar kwadratu wymiaru mierzonej wielkości, więc chętniej używa się odchylenia standardowego). Estymator wariancji liczony jest dla rozkładu Gaussa za pomocą funkcji WARIANCJA, a estymator odchylenia standardowego dla tego rozkładu liczony jest za pomocą funkcji ODCH.STANDARDOWE.

Przedziały ufności


Obliczenia parametrów rozkładu za pomocą ich estymatorów noszą nazwę „estymacji punktowej”.

Często nie wystarczy podanie samej wartości estymatora szukanego parametru. Dla celów praktycznych (obliczeniowych, inżynierskich) chcemy jeszcze znać granice błędu tego oszacowania przy założonym jakimś (dużym) prawdopodobieństwie. Zagadnienie to rozwiązuje się wyznaczając tzw. „przedziały ufności” dla szacowanych parametrów.

Polega to na znalezieniu funkcji F zależnej od szacowanego parametru θ i punktów pomiarowych x1, … , xn o znanym rozkładzie φ(z). Dla tak dobranego (dużego!) prawdopodobieństwa 1–α (stąd wynika, że α jest małe) szukamy takich granic przedziału a i b, że:

,

to znaczy, że prawdopodobieństwo, że wartość naszej funkcji F należy do przedziału , jest równe 1–α:



inaczej .

Nierówność w nawiasach klamrowych można przekształcić tak, że otrzymamy z tym samym prawdopodobieństwem 1–α przedział szacujący poszukiwaną wartość parametru θ, otrzymując przedział ufności dla parametru θ, przy zadanym prawdopodobieństwie („poziomie ufności”).

Poniższe rozważania dotyczyć będą przypadku, gdy nasza próbka pomiarowa jest próbką z rozkładu Gaussa (co należałoby wcześniej zbadać, a często się nie robi, zakładając, że tak jest – jak już zostało to wcześniej zaznaczone, można rzeczywisty rozkład empiryczny mierzonej wielkości sprowadzić do rozkładu Gaussa za pomocą pewnych przekształceń).

Oznaczmy:



(estymator wartości oczekiwanej) oraz (estymator wariancji).

W przypadku pomiarów jakiejś wielkości przyrządem pomiarowym mogą zajść trzy przypadki:

1. Dokonujemy pomiaru nieznanej wielkości x0 przyrządem o znanej wariancji σ2 (co jednoznacznie daje też znajomość jego odchylenia standardowego σ).

W takim przypadku funkcja:



ma rozkład normalny (Gaussa) o średniej 0 i odchyleniu standardowym 1.

Ponieważ rozkład normalny jest symetryczny względem średniej (tutaj względem 0), więc znajdujemy takie zα, że:



, a to oznacza, po przekształceniach nierówności w nawiasie (proszę to sobie przeliczyć), że , czyli nasz przedział ufności dla wartości oczekiwanej wynosi: .

Jak to obliczyć w Excelu? Bardzo prosto: to po prostu funkcja ŚREDNIA, a cały (!) człon to funkcja UFNOŚĆ(α;σ;n).

2. W drugim przypadku (znacznie częstszym) dokonujemy pomiaru nieznanej wielkości x0 przyrządem o nieznanej wariancji σ2 (co jednoznacznie określa też, że nie znamy również odchylenia standardowego σ).

W takim przypadku funkcja:



ma rozkład t (Studenta) o n–1 stopniach swobody.

Ponieważ rozkład ten jest symetryczny względem 0, więc znajdujemy takie tn–1,α, że:



, a to oznacza, po przekształceniach nierówności w nawiasie (proszę to sobie przeliczyć), że , czyli nasz przedział ufności dla wartości oczekiwanej wynosi: .

Jak to obliczyć w Excelu? Tym razem trochę trudniej: to znowu funkcja ŚREDNIA, natomiast w członie poszczególne składniki musimy obliczyć osobno, a następnie ułożyć z nich całość wyrażenia (formułę) i tak n to oczywiście liczność próbki, zdefiniowana wcześniej funkcja S2 jest estymatorem wariancji, zatem funkcja S jest estymatorem odchylenia standardowego, które policzymy za pomocą funkcji ODCH.STANDARDOWE, natomiast wartość krytyczną tn–1,α obliczymy za pomocą funkcji ROZKŁAD.T.ODW(α;n–1).

W tym przypadku nie znamy także wariancji σ2 rozkładu (czy też odpowiednio odchylenia standardowego σ), a jest to informacja ważna, mówiąca o dokładności pomiaru.

W takim przypadku funkcja:



ma rozkład χ2 o n–1 stopniach swobody.

Ponieważ rozkład ten jest dodatnio określony, więc musimy znaleźć takie dwie liczby aα i bα, że:



, a to oznacza, po przekształceniach nierówności w nawiasie (proszę to sobie przeliczyć), że , czyli nasz przedział ufności dla wariancji wynosi: . Dla odchylenia standardowego granice przedziału bierzemy z pierwiastkiem:

Jak to obliczyć w Excelu? Tym razem musimy granice aα i bα wyznaczyć osobno: przyjmuje się zazwyczaj zasadę odcinania brzegów przedziału ufności tak, aby odcięte „ogony” miały prawdopodobieństwa po α/2 każde (tak zresztą robiliśmy nieświadomie poprzednio ze względu na symetrię użytych rozkładów). Do obliczenia aα i bα użyjemy funkcji ROZKŁAD.CHI.ODW(prawdopodobieństwo;n–1) – celowo nie napisałem wartości prawdopodobieństwa – pozostawiam to Państwu do przemyślenia, jaką wartość dobrać odpowiednio dla aα i bα – wskazówką może być fakt, że musi zachodzić nierówność: aα < bα, a w jednym przypadku (którym?) wartość prawdopodobieństwa musi wynosić α/2. Ponieważ S2 jest estymatorem wariancji, więc jej wartość obliczymy za pomocą funkcji WARIANCJA. Możemy też zamiast niej użyć funkcji S, jako estymatora odchylenia standardowego, którą policzymy za pomocą funkcji ODCH.STANDARDOWE.

3. W trzecim przypadku dokonujemy pomiaru znanej wielkości x0 przyrządem o nieznanej wariancji σ2 (co odpowiada wyznaczaniu wariancji σ2 przyrządu pomiarowego za pomocą wielokrotnego pomiaru wielkości wzorcowej).

W takim przypadku zamiast funkcji Un–1 użyjemy funkcji:



, która ma rozkład χ2 o n stopniach swobody.

Całe dalsze postępowanie wykonujemy jak w punkcie 2.


©snauka.pl 2016
wyślij wiadomość