Strona główna

Badanie funkcji Monotoniczność funkcji


Pobieranie 117.36 Kb.
Data20.06.2016
Rozmiar117.36 Kb.
Badanie funkcji
1. Monotoniczność funkcji
R – zbiór liczb rzeczywistych
Definicje

Funkcja f(x) rosnąca lub malejąca na zbiorze A nazywa się funkcją monotoniczną na A.

Funkcja f(x) ściśle rosnąca lub ściśle malejąca na zbiorze A nazywa się funkcją ściśle monotoniczną na A.
Twierdzenie (warunek wystarczający)

  • Jeżeli f (x) > 0 dla każdego x  (a,b), to funkcja f(x) jest ściśle rosnąca w tym przedziale.

  • Jeżeli f (x) < 0 dla każdego x  (a,b), to funkcja f(x) jest ściśle malejąca w tym przedziale.


Przykład
f(x) = x3+3x2-7

f (x) =3x2 +6x =3x(x+2)

f (x) =0 dla x=0 lub x=-2

f (x) > 0 dla x  (-, -2)  (0, +) –

funkcja jest ściśle rosnąca



f (x) < 0 dla x  (-2, 0) –

funkcja jest ściśle malejąca



2. Ekstremum lokalne
Definicje

Funkcja f(x) ma w punkcie x0 maksimum lokalny, gdy istnieje takie sąsiedztwo S(x0, ), że dla  x  S jest spełniona nierówność:



f(x)  f(x0)

Definicje

Funkcja f(x) ma w punkcie x0 minimum lokalny, gdy istnieje takie sąsiedztwo S(x0, ) że dla  x  S(x0, ) jest spełniona nierówność:



f(x)  f(x0)

Maksimum i minimum lokalne nazywamy ekstremami lokalnymi.

Ekstremum jest nazywane właściwym, gdy zamiast nierówności nieostrej jest spełniona jest nierówność mocna, tzn.:



f (x) < f (x0)

w przypadku maksimum właściwego, oraz



f (x) > f (x0)

w przypadku minimum właściwego.




Warunek konieczny istnienia ekstremum:
Twierdzenie (Fermata).

Jeżeli funkcja różniczkowalna f(x) ma w punkcie x0 ekstremum, to f (x0) =0.


Przykład 1.

f(x) = x5

f (x) = 5x4

f (x)=0  x=0

Ale w punkcie x0 =0 funkcja f(x) nie ma ekstremum.



Przykład 2.

f(x) = | x|



Pochodna tej funkcji w punkcie x=0 nie istnieje,

ale fmin = 0.
Wniosek 1.

Jeżeli funkcja f(x) jest różniczkowalna w punkcie x0 i



f (x0)  0, to funkcja f(x) nie ma w punkcie x0 ekstremum lokalnego.
Wniosek 2.

Funkcja f(x) może mieć ekstremum tylko w punktach, w których pochodna nie istnieje albo jest równa zero.


Definicje

x Df dla którego f (x)=0 nazywamy punktem stacjonarnym funkcji f (x), a wszystkie punkty stacjonarne oraz punkty w których pochodna nie istnieje, nazywamy punktami krytycznymi.


Warunek wystarczający istnienia ekstremum:
Twierdzenie.

Jeżeli funkcja f (x) jest ciągła w punkcie x0, jest różniczkowalna na jego sąsiedztwie i pochodna funkcji f (x) zmienia znak w sąsiedztwie tego punktu, to ma ona w tym punkcie x0 ekstremum właściwe i jest to:



  • maksimum lokalne, gdy zmienia się znak + na -

  • minimum lokalne, gdy zmienia się znak - na +

Jeśli pochodna funkcji f (x) ma stały znak w sąsiedztwie punktu x0, to funkcja f (x) w tym punkcie x0 ekstremum nie posiada.


Przykład 3.

Znajdź ekstremum i przedziały monotoniczności funkcji:

f(x) = x3 -12x2 +36x +8


  1. Df =R

  2. f (x) = 3x2 - 24x +36

  3. Df =R

  4. f (x) = 0  3x2 -24x + 36 =0  x2 - 8x + 12 =0

x1 = 2, x2 = 6

  1. f (x) > 0  x2 - 8x + 12 > 0 

x  (-, 2)  (6, )


  1. f (x) < 0  x2 - 8x + 12 < 0 

x  ( 2, 6)


x

(-, 2)

2

( 2, 6)

6

(6, )

f (x)

+

0

-

0

+

f(x)



Max



min


Dla x = 2 mamy maksimum lokalny

fmax = f( 2 )= 40

A(2, 40) - punkt maksimum lokalnego

Dla x = 6 mamy minimum lokalny

fmin = f( 6 )= 8

B(6, 8) - punkt minimum lokalnego
Odp. Funkcja rośnie w przedziałach (- , 2) oraz (6, ) i maleje w przedziale ( 2, 6).

Funkcja posiada maksimum lokalny w punkcie A(2,40).

Funkcja posiada minimum lokalny w punkcie B(6,8).

Przykład 4.

Znajdź ekstremum i przedziały monotoniczności funkcji:

f(x) = x3 + 3x2 -24x +17


  1. Df =R

  2. f (x) = 3x2 + 6x – 24

  3. Df =R

  4. f (x) = 0  3x2 + 6x – 24 =0  x2 + 2x – 8 =0

x1 = - 4, x2 = 2

  1. f (x) > 0  x2 + 2x – 8 > 0 

x  (-, - 4)  (2, )

  1. f (x) < 0  x2 + 2x – 8 < 0 

x  (- 4, 2)


x

(-, - 4)

- 4

(- 4, 2)

2

(2, )

f (x)

+

0

-

0

+

f(x)



max



min


Dla x = - 4 mamy maksimum lokalny

fmax = f(-4)=97

A(-4, 97) - punkt maksimum lokalnego


Dla x = 2 mamy minimum lokalny

fmin = f(2)= - 11

B(2, -11) - punkt minimum lokalnego

Odp. Funkcja rośnie w przedziałach (- , - 4) oraz (2, ) i maleje w przedziale (- 4, 2).

Funkcja posiada maksimum lokalny w punkcie A(- 4,97).

Funkcja posiada minimum lokalny w punkcie

B(2, -11).
Przykład 5.

Znajdź ekstremum i przedziały monotoniczności funkcji:

f(x) = ex(x2 +2x +1)


  1. Df =R

  2. f (x) = ex(x2 +2x +1) + ex(2x + 2) = ex(x2 +4x +3)

  3. Df =R

  4. f (x) = 0  x2 +4x +3 = 0 

x1 = - 1, x2 = -3

  1. f (x) > 0  x2 + 4x + 3 > 0 

x  (-, - 3)  (- 1, )


  1. f (x) < 0  x2 + 4x + 3 < 0 

x  (- 3, - 1)


x

(-, - 3)

- 3

(- 3, - 1)

-1

(- 1, )

f (x)

+

0

-

0

+

f(x)



max



min


Dla x = - 3 mamy maksimum lokalny

fmax = f(- 3)= 4e-3

A(-3, 4e-3) - punkt maksimum lokalnego


Dla x = - 1 mamy minimum lokalny

fmin = f(-1) = 0

B(-1, 0) - punkt minimum lokalnego
Odp. Funkcja rośnie w przedziałach (- , - 3) oraz (-1, ) i maleje w przedziale (- 3, -1).

Funkcja posiada maksimum lokalny w punkcie

A(-3, 4e-3).

Funkcja posiada minimum lokalny w punkcie

B(-1,0).
Twierdzenie.

Niech funkcja f (x) jest ciągła i ma ciągłe pochodne aż do rzędu n włącznie w przedziale (a,b). Jeśli x0 (a,b)

oraz

f (x0) = f  (x0) = … = f(n-1) (x0) =0,



ale f(n) (x0)  0. Wtedy

  • jeśli n jest liczbą parzystą, to w punkcie x0 funkcja osiąga ekstremum lokalne (maksimum, gdy f(n) (x0) < 0 oraz minimum, gdy f(n) (x0) > 0);

  • jeśli n jest liczbą nieparzystą, to w punkcie x0 funkcja nie osiąga ekstremum.


Przykład 6.

Znajdź ekstremum funkcji:

f(x) = x3 + 3x2 -24x +17


  1. Df =R

  2. f (x) = 3x2 + 6x – 24

  3. f (x) = 0  3x2 + 6x – 24 =0  x2 + 2x – 8 =0

x1 = - 4, x2 = 2

  1. f (x) =6x+6;

  2. f (x1) = f (-4) =-18 < 0, n=2 

Dla x1 = -4 mamy maximum lokalny.

fmax = f(-4) = 97

A(-4, 97) – punkt maximum lokalnego.


  1. f (x2) = f (2) =18 > 0, n=2 

Dla x2 = 2 mamy minimum lokalny.

fmin = f(2)= - 11

B(2, -11) – punkt minimum lokalnego.



  1. Wklęsłość i wypukłość wykresu funkcji


Definicje 1

Funkcja f(x) jest wypukła (odp. wklęsła) na przedziale (a,b), jeśli odcinek łączący dwa dowolne punkty wykresu tej funkcji leży nad tym wykresem (odp. pod wykresem) z wyjątkiem końców odcinka.



Definicje 2

Funkcja f(x) jest wypukła (odp. wklęsła) w punkcie x0, jeśli istnieje takie sąsiedztwo S=S(x0, ), że dla (x S)

punkty P(x, f(x)) wykresu leżą powyżej (odp. poniżej) stycznej poprowadzonej do wykresu w punkcie o odciętej x0.


  1. funkcja jest wklęsła

  2. funkcja jest wypukła


Definicje 3

Funkcja f(x) jest wypukła (odp. wklęsła) na przedziale

(a,b), jeśli jest wypukła (odp. wklęsła) w każdym punkcie x  (a,b).


  1. funkcja jest wklęsła

  2. funkcja jest wypukła



Twierdzenie.

Niech funkcja f (x) jest dwukrotnie różniczkowana na przedziale (a,b). Jeśli



  • f  (x) > 0 dla x (a,b), to f(x) jest wypukła na tym przedziale;

  • f  (x) < 0 dla x (a,b), to f(x) jest wklęsła na tym przedziale.



Przykład 7.

Wyznaczyć przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji:

f(x) = x4 – 6x2


    1. Df =R

    2. f (x) = 4x3 - 12x

    3. f (x) = 12x2 -12 = 12(x2 - 1) = 12 (x-1)(x+1)

f (x) > 0 dla x  (- , -1)  (1, )

    1. f (x) < 0 dla x  (-1, 1)




X

(- , -1)

(-1, 1)

(1, )

f (x)

+

-

+

f(x)






Odp. Funkcja jest wypukła dla x  (- , -1)  (1, )

i jest wklęsła dla x  (-1, 1).
Przykład 8.

Wyznaczyć przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji:

f(x) = x lnx


  1. Df =R+ = {x R : x>0}

  2. f (x) = lnx +x 1/x= 1 + lnx

  3. Df =R+ = {x R : x>0}

  4. f (x) = 1/x

  5. f (x) > 0 dla x (x  Df )

Odp. Funkcja jest wypukła dla x (x  Df ).





  1. Punkty przegięcia wykresu funkcji


Definicje

Punkt P(x0, f(x0)) nazywamy punktem przegięcia krzywej o równaniu y=f(x), jeżeli funkcja f(x) jest ciąga w punkcie x0 oraz jest wklęsła w pewnym lewostronnym sąsiedztwie punktu x0 i wypukła w pewnym prawostronnym jego sąsiedztwie albo na odwrót.



Twierdzenie.

Warunkiem koniecznym na to, aby punkt P(x0, f(x0)) był punktem przegięcia krzywej o równaniu y=f(x), jest

f (x0) =0

Twierdzenie (warunek wystarczający).

Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x0, dwukrotnie różniczkowalna na sąsiedztwie tego punktu i druga pochodna funkcji f(x) zmienia znak przy przejściu przez x0, to punkt P(x0, f(x0)) jest punktem przegięcia krzywej o równaniu y=f(x).


Przykład 9.

Wyznaczyć punkty przegięcia funkcji

f(x) = x4e-x
f (x) = 4x3e-x –x4e-x = (4x3 –x4 )e-x

f  (x) = (12x2-4x3)e-x - (4x3 –x4 )e-x = (x4- 8x3+ 12x2)e-x = x2(x2 - 8x + 12)e-x


f  (x) = 0 dla x=0, x=2, x=6.

f  (x) < 0 dla (x2 - 8x + 12) < 0  x  (2,6)

f  (x) > 0 dla (x2 - 8x + 12) > 0 

x  (- , 2)  (6, ), x 0




x

(- , 0)

0

(0, 2)

2

(2,6)

6

(6, )

f  (x)

+

0

+

0

-

0

+

f (x)



0



p.p.



p.p.


f(2)= 16e-2, f(6) = 64e-6.

Odp. Punkty P1(2, 16e-2) oraz P2(6, 64e-6 ) są punktami przegięcia funkcji f(x).

Twierdzenie (warunek wystarczający).

Jeżeli funkcja f(x) spełnia następujące założenia:

Ma w pewnym sąsiedztwie punktu x0 pochodne do rzędu n (n  3) włącznie;


      • f(n)(x) jest ciągła w punkcie x0;

      • f  (x0) = f  (x0) = … = f (n-1)(x0)= 0;

      • f(n)(x0)  0;

      • n jest liczbą nieparzystą,

to punkt P(x0, f(x0)) jest punktem przegięcia krzywej o równaniu y=f(x).
Przykład 10.

Wyznaczyć punkty przegięcia funkcji

f(x) = x5 – x + 3
f (x) = 5x4 - 1

f  (x) = 20x3

f  (x) = 60x2

f(4)(x) = 120x

f(5)(x) = 120
Dla x=0

f (x) = f  (x) = f  (x) = f(4)(x) =0

oraz

f(5)(x) = 120  0


n=5 – liczba nieparzysta  punkt P(0,3) jest punktem przygięcia wykresu funkcji f(x).



  1. Asymptoty wykresu funkcji


Definicje

Jeśli funkcja f(x) jest określona w przedziale ( -, m), gdzie m R, to prosta y = cx+d jest asymptotą ukośną (lub poziomą, gdy c=0) lewostronną wykresu funkcji y=f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy



Definicje

Jeśli funkcja f(x) jest określona w przedziale ( m, ), gdzie m R, to prosta y = ax+b jest asymptotą ukośną (lub poziomą, gdy a=0) prawostronną wykresu funkcji y=f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy





Definicje

Prosta y=ax+b jest asymptotą ukośną (albo poziomą, gdy a=0) obustronną krzywej y=f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy jest jednocześnie ukośną (poziomą) lewostronną i prawostronną tej krzywej.


Twierdzenie (warunek konieczny i wystarczający).

Warunkiem koniecznym i dostatecznym, aby wykres funkcji f(x) miał asymptotę ukośną y = ax+b, jest istnienie dwóch granic właściwych:


1) oraz
lub
2) oraz
Przykład 11.

Wyznaczyć asymptoty funkcji

f(x) =
1)
a=1
2)
b=0
Zatem a=1, b=0. Prosta y=x jest asymptotą ukośną obustronną.
Definicje

Prostą o równaniu x=a nazywamy asymptotą pionową lewostronną wykresu funkcji f(x), gdy:


lub
Definicje

Prostą o równaniu x=a nazywamy asymptotą pionową prawostronną wykresu funkcji f(x), gdy:


lub
Definicje

Prostą o równaniu x=a nazywamy asymptotą pionową obustronną wykresu funkcji f(x), gdy jest jednocześnie asymptotą pionową prawostronną i lewostronną.


Przykład

f(x) = 21/x



y = 1 - asymptota pozioma obustronna

x = 0 - asymptota pionowa prawostronna
Przykład

x=/2+k ( kZ) – asymptoty pionowe obustronne


Przykład


x = x0 - asymptota pionowa obustronna
Przykład 12.

Wyznaczyć asymptoty funkcji




Df = R \ {-1}

oraz
Zatem prosta x=-1 jest asymptotą pionową obustronną funkcji f(x).





  1. Ogólny schemat badania przebiegu funkcji

I. Analiza funkcji.



  • Dziedzina funkcji.

  • Szczególne własności funkcji: parzystość, nieparzystość, okresowość itp.

  • Punkty przycięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych.

  • Ustalenie znaku funkcji.

  • Granice funkcji na końcach przedziałów określoności.

  • Punkty nieciągłości funkcji.

  • Asymptoty funkcji.

II. Analiza pierwszej pochodnej.



  • Obliczamy pierwszą pochodną.

  • Dziedzina pierwszej pochodnej i jej punkty nieciągłości.

  • Przedziały monotoniczności.

  • Ekstrema lokalne funkcji.

III. Analiza drugiej pochodnej.



  • Obliczamy drugą pochodną.

  • Dziedzina drugiej pochodnej i jej punkty nieciągłości.

  • Przedziały wklęsłości i wypukłości funkcji.

  • Punkty przegięcia wykresu funkcji.

IV. Ostateczny szkic wykresu funkcji.


Przykład 13.

f(x) = xex


    1. Df=R – funkcja jest ciąłga

    2. f(-x) = -xe-x  f(x) - funkcja nie jest parzystą

    3. f(-x) = -xe-x  - f(x) = -xex - funkcja nie jest nieparzystą











    1. f(x)=0  xex = 0  x=0  (0,0) – punkt przecięcia funkcji z osiami układu współrzędnych.




    1. Ponieważ f(x) jest ciągła, nie posiada asymptot pionowych.




    1. Ponieważ



a=0
,
b=0
y=0 jest asymptotą poziomą lewostronną.


    1. Ponieważ



funkcja nie posiada asymptoty ukośną.


    1. Obliczamy pierwszą pochodną:

f (x) = ex + xex = (1+x)ex.


Ponieważ ex > 0 dla x,

a) f (x) = 0  1 +x=0  x = -1;

b) f (x) > 0  1+x >0  x (-1, )

c) f (x) < 0  1+x <0  x (- , -1)

funkcja rośnie dla x (-1, )

funkcja maleje dla x (- , -1)

x=-1 – punkt minimum lokalnego

fmin = f(-1) = -e-1.




    1. Obliczamy drugą pochodną:

f  (x) = ex + (1+x)ex = (2+x)ex.


a) f  (x) = 0  2 +x=0  x = -2;

b) f  (x) > 0  2+x >0  x (-2, )

c) f  (x) < 0  2+x <0  x (- , -2)
funkcja f(x) jest wypukła dla x (-2, )

funkcja f(x) jest wklęsła dla x (- , -2)



x=-2 – jest punktem przegięcia




Przykład 14.




©snauka.pl 2016
wyślij wiadomość