Strona główna

Ekonometria


Pobieranie 52.72 Kb.
Data19.06.2016
Rozmiar52.72 Kb.

Ekonometria



Temat: Modelowanie relacji długookresowych – wybrane modele dynamiczne, w tym modele autoregresyjne oraz modele z rozkładem opóźnień.
Pojęcia kluczowe: model z rozkładem opóźnień, model autoregresyjny, mnożnik krótkookresowy, mnożnik długookresowy, transformacja Koycka.
Klasyfikacja modeli ekonometrycznych według czynnika czasu:

  • Modele statyczne nie uwzględniają czynnika czasu, wśród zmiennych objaśniających nie ma zmiennej czasowej ani zmiennych opóźnionych;

  • Modele dynamiczne: uwzględniono czynnik czasu.

Wyróżniamy między innymi:

1) model trendu: zmienną objaśniającą jest czas.

2) model autoregresyjny: zmiennymi objaśniającymi są opóźnione wartości zmiennych objaśnianych.

3) model z rozkładem opóźnień: zmiennymi objaśniającymi dla zmiennej Y są: zmienna X i jej opóźnione wartości.

1. Model trendu


Model trendu może mieć postać trendu liniowego, kwadratowego, wykładniczego itd.

Przykład 1.

Oszacowano model liniowy: zmienną objaśnianą był dochód narodowy (w cenach stałych z 1970 r.), a zmiennymi objaśniającymi – opóźnione wartości dochodu oraz majątku trwałego. Model ten miał służyć do wyznaczenia prognoz dochodu narodowego na trzy następne lata. Należało określić prognozy zmiennej objaśniającej – majątku narodowego. Skonstruowano pomocniczy model liniowy:



oszacowany metodą najmniejszych kwadratów:



(2,14) (0,38)

W nawiasach podane są błędy ocen parametrów.

Na tej podstawie wyznaczono prognozy majątku na lata 1994, 1995 i 1996, równe odpowiednio:



210,2

213,3

216,3.


Lata

Dochód narodowy

Majątek trwały

Zmienna czasowa

1985

142,3

179,6

1

1986

148,3

183,0

2

1987

150,4

189,1

3

1988

156,8

193,8

4

1989

156,1

199,0

5

1990

132,3

200,4

6

1991

127,6

201,1

7

1992

125,5

203,4

8

1993

128,0

203,0

9

Źródło: dane do zadania 2.5, rozdział 2, Ekonometria.

Przykład 2.

Dla pewnego przedsiębiorstwa zebrano1 dane dotyczące wielkości produkcji w latach 1988 – 1997.



Rok

Produkcja (mld zł)

1988

4,5

1989

3,5

1990

4,1

1991

5,0

1992

7,6

1993

11,0

1994

16,1

1995

15,5

1996

21,0

1997

26,4

Źródło: tabela 75, op. cit.

Autorzy uznali, że dla przedstawionych danych najbardziej odpowiednia jest wykładnicza postać funkcji trendu:



gdzie t jest zmienną czasową o wartościach 1,2,...,10. Funkcję tę sprowadzono do postaci liniowej przez logarytmowanie, odpowiedni model ekonometryczny można więc oszacować metodą najmniejszych kwadratów:



,

gdzie bi = log , i = 1,2. Wyniki estymacji są następujące:



(0,005) (0,073)

Parametry strukturalne są statystycznie istotne, współczynnik determinacji = 0,955.

Model został więc uznany przez autorów za dobrze dopasowany do danych empirycznych. Można powrócić do postaci modelu z wykładniczą funkcją trendu. Oceny jego parametrów są wyznaczone w następujący sposób:



Zatem ostatecznie otrzymano model z trendem wykładniczym postaci:





2. Model autoregresji


Model autoregresyjny rzędu p zawiera jako zmienne objaśniające opóźnione wartości zmiennej objaśnianej:

.

Przykład 3. Na podstawie danych z przykładu 1 wyznaczono inną wersję prognoz zmiennej , zastosowano w tym celu model autoregresji rzędu 2:

Po oszacowaniu otrzymano wyniki:





203,55 203,95 204,23.

3. Model z rozkładem opóźnień


W modelu z rozkładem opóźnień występują bieżące i opóźnione wartości zmiennej objaśniającej. Oceny parametrów tego modelu są więc miernikiem kolejnych opóźnień zmiennej objaśniającej X na zmienną objaśnianą Y. Na przykład, model rzędu 2 ma postać:

.
Parametr nazywany jest mnożnikiem krótkookresowym: jest miernikiem zmiany wartości zmiennej objaśnianej, która następuje wskutek jednostkowego przyrostu zmiennej objaśniającej w tym samym okresie. Suma parametrów nazywana jest mnożnikiem długookresowym i wyraża łączny wpływ przyrostów zmiennych objaśniających.

Dobrym przykładem interpretacji wyników modelu tego typu jest model konsumpcji pani Anny po uzyskaniu przez nią podwyżki wynagrodzeń.

Otrzymała podwyżkę we wrześniu, wskutek czego zwiększy swoje wydatki na konsumpcję we wrześniu, ale także w październiku oraz w listopadzie.

= stała + 0,50 DOCHt + 0,25 DOCHt-1 +

+ 0,10 DOCHt-2

Wzrost dochodu we wrześniu o 100 zł przekłada się na wzrost konsumpcji o 50 zł w tymże miesiącu oraz o kolejne 25 zł w październiku i o 10 zł w listopadzie.

Łączny efekt zmian jest następujący: trwała podwyżka wynagrodzenia o 100 zł w danym miesiącu spowoduje w ciągu tego i następnych miesięcy wzrost wydatków konsumpcyjnych o 50+25+10 = 85 [zł].



Mnożnik krótkookresowy jest równy 0,50.


Mnożnik długookresowy jest równy sumie ocen parametrów, czyli 0,85.
Wzrost konsumpcji spowodowany przez wzrost wynagrodzeń w danym miesiącu stanowi

56% ogólnego wzrostu konsumpcji.
Wzrost dochodu w zeszłym miesiącu o jedna złotówkę spowodował wzrost konsumpcji w tymże miesiącu o 0,50 zł i w bieżącym miesiącu o 0,25zł, czyli w sumie o 0,75 zł. Stanowi to

88% ogólnego wzrostu konsumpcji.
Oczywiście łączny wzrost konsumpcji po 2 miesiącach stanowi 100% ogólnego wzrostu konsumpcji.


4. Estymacja modeli z nieskończonym rozkładem opóźnień. Model Koycka.

Estymacja modelu z nieskończonym rozkładem opóźnień wymaga przyjęcia pewnych założeń o zależnościach między parametrami z kolejnych okresów, tak aby dało się przekształcić ten model do postaci o skończonej liczbie parametrów. Jednym z możliwych wariantów jest transformacja Koycka: zakładamy, że parametry mają jednakowe znaki, zaś zmienne mniej odległe w czasie wywierają większy wpływ na wartość zmiennej objaśnianej niż zmienne z dalszej przeszłości.



Przykład 4.


Podjęto próbę oszacowania modelu konsumpcji lodów przez rodzinę Kowalskich (opisaną w jednym z wcześniejszych rozdziałów podręcznika) przy użyciu modelu z nieskończonym rozkładem opóźnień:

Nie jest możliwe oszacowanie takiego modelu, gdyż ma on nieskończenie wiele parametrów. Trzeba przyjąć pewno założenia i dokonać przekształceń modelu do postaci możliwej do oszacowania.


Na ogół zakłada się, że parametry zmieniają się zgodnie z pewnym schematem wielomianów. Jedną z metod jest metoda Shirley Almon.
Inna metoda związana jest z transformacją Koycka. Można uzasadnić ten schemat w sposób następujący: Zakłada się, że wpływ zjawisk z przeszłości na zachowanie objaśnianej zmiennej jest tym mniejszy, im odleglejsza jest ta przeszłość.
Formalnie wyraża się to wzorem:

dla k = 0,1,2,... Zakłada się, że 0 < <1.
Po odpowiednich przekształceniach otrzymujemy model Koycka, w którym konsumpcja jest objaśniana przez swoją wartość opóźnioną oraz przez nieopóźnioną wartość dochodu:

(1)



Mnożymy drugie równanie przez , odejmujemy od pierwszego i po uporządkowaniu wyrazów podobnych otrzymujemy:

(2)


  • model o skończonej liczbie parametrów.

Ocena parametru przy zmiennej opóźnionej w modelu (2) określa ocenę ,

Na podstawie wyrazu wolnego i tej wartości możemy odtworzyć ocenę wyrazu wolnego modelu (1),

Korzystając z zależności dla k = 0,1,2,...

możemy obliczyć tyle parametrów przy zmiennych opóźnionych modelu (1), ile chcemy.

Estymacja modelu daje następujące wyniki:



,

(0,84) (0,34) (0,17)


= 0,42
Mnożnik krótkookresowy jest równy wartości parametru przy zmiennej DOCH, czyli 0,340.
Mnożnik długookresowy jest z definicji sumą wszystkich parametrów , ponieważ są one kolejnymi wyrazami postępu geometrycznego, więc stosujemy wzór na sumę postępu geometrycznego:

mnożnik długookresowy jest więc równy .

Jest równy 0,631.
Odtwarzamy oceny parametrów modelu z nieskończonym rozkładem opóźnień:


Parametr



0

1

2

3

Ocena

1,5775

0,340

0,157

0,072

0,033




Parametr

4

5

6

7

...

Ocena

0,0154

0,0071

0,0033

0,00151

...

Materiały pomocnicze: na stronie internetowej Instytutu Ekonometrii i na mojej stronie: plik Excela


Przyklad4.xls


Praca domowa: zadania 7.3, 7.6,7.8,7.9 str. 195 – 196 (Ekonometria 2000).


1 Cytowane w przykładzie 2. wyniki opracowano na podstawie przykładu 24, s. 122 – 125, Wprowadzenie do ekonometrii w przykładach i zadaniach, red. K. Kukuła, wyd. 2, PWN Warszawa 1999.


©snauka.pl 2016
wyślij wiadomość