Strona główna

Gdzie i operatory anihilacji i kreacji fononów


Pobieranie 16.91 Kb.
Data20.06.2016
Rozmiar16.91 Kb.
Zadanie 5.1. Wykazać, że

,

gdzie i - operatory anihilacji i kreacji fononów.



Rozwiązanie: Operatory anihilacji i kreacji fononów wprowadziliśmy w następujący sposób

, , (5.1.1)

gdzie i odpowiednio operatory współrzędnej i pędu



. (5.1.2)

Ze wzorów (5.1.1) mamy



, . (5.1.3)

Obliczając komutator i uwzględniając (5.1.2) otrzymujemy



. (5.1.4)

Zadanie 5.2. Wyrazić operatory normalnych współrzędnych i normalnych pędów przez operatory anihilacji i kreacji fononów i .

Rozwiązanie: Normalne współrzędne i normalne pędy określiliśmy przez wzory

, (5.2.1)

, (5.2.2)

Po podstawieniu wzorów (5.1.1) do (5.2.1) i (5.2.2) znajdujemy



, (5.2.3)

. (5.2.4)

Zadanie 5.3. Wyrazić operatory wychyleń przez operatory anihilacji i kreacji fononów i .

Rozwiązanie: Operatory wychyleń są związane z operatorami normalnych współrzędnych przez wzór

. (5.3.1)

Po podstawieniu (5.2.3) do wzoru (5.3.1) otrzymujemy



. (5.3.2)

Zadanie 5.4. Wykazać, że jawną zależność operatorów anihilacji i kreacji fononów od czasu i określają wzory

, . (5.4.1)

Rozwiązanie: Równania Heisenberga dla operatorów i maja postać

, , (5.4.2)

gdzie


(5.4.3)

jest hamiltonianem fononów w przybliżeniu harmonicznym.

Po podstawieniu (5.4.3) do równań (5.4.2) i uwzględnieniu (5.1.4) otrzymujemy

, (5.4.4a)

. (5.4.4b)

Rozwiązaniami równań (5.4.4.) są



, . (5.4.1)

Zadanie 5.5. Oznaczmy przez funkcję własne operatora (oznaczenia Diraca). Wykazać, że zależności od czasu nie znikających elementów macierzowych operatorów anihilacji i kreacji fononów i określają wzory

, (5.5.1)

. (5.5.2)

Rozwiązanie: W obrazie Heisenberga od czasu zależą operatory. Korzystając z (5.4.1) i z reguł działania operatorów i znajdujemy

, (5.5.3)

, (5.5.4)

skąd natychmiast wynikają zależności (5.5.1) i (5.5.2).



Zadanie 5.6. Oznaczmy przez średnią wartość operatora w stanie :

. (5.6.1)

Udowodnić, że



, (5.6.2)

, . (5.6.3)

Rozwiązanie: Korzystając ze wzorów (5.5.3) i (5.5.4) otrzymujemy

, (5.6.4)

, (5.6.5)

, (5.6.8)

, (5.6.6)

, (5.6.7)

, (5.6.8)

. (5.6.9)

Zadanie 5.7. Wykazać, że w stanie podstawowym przy

, (5.7.1)

Rozwiązanie: Korzystając ze wzoru (5.3.2) mamy

. (5.7.2)

Biorąc pod uwagę wzory (5.6.6)- (5.6.9) znajdujemy







. (5.7.3)


©snauka.pl 2016
wyślij wiadomość