Strona główna

O języku i metodzie matematyki


Pobieranie 22.04 Kb.
Data17.06.2016
Rozmiar22.04 Kb.

O języku i metodzie matematyki


w poznaniu, przewidywaniu i oddziaływaniu na rzeczywistość

(WYKŁAD 2)

Marek Niezgódka

ICM

marekn@icm.edu.pl



Realizm naukowy vs. Konstruktywny empiryzm
Konstruktywny empiryzm:
Pojęcie obserwowalności


  • obiektywne, niezależne od warstwy językowej,

  • rozmyty charakter pogranicza obserwowalności i nieobserwowalności


Realizm naukowy:

rola dedukcji


Karl Popper (1902-1994)
1934: „Logika odkrycia naukowego” (oryginał wiedeński)

Jądro filozoficznych poglądów Poppera:
zbiór reguł metodologicznych określanych jako falsyfikacja.
Falsyfikacja:
Nauka rozwija się

Jedynie hipotezy weryfikowalne obserwacyjnie mogą być traktowane jako naukowe, co nie oznacza, że muszą one być prawdziwe.


Tym samym Popper zakreśla linię demarkacyjną między nauką a nienauką (obejmującą, wg Poppera, m.in. logikę, metafizykę, psychoanalizę).

W przyjętym przez niego systemie Zdania 1+1=2 oraz 1+1=0 mają charakter stwierdzeń naukowych, podczas gdy x+y=2, wobec swojej nieokreśloności, charakteru takiego nie ma.


Stwierdzenia (teorie, modele) nie poddające się falsyfikacji są podobne do kodów komputerowych, które nie zawierają opcji wyłączania i tworzą rodzaj agenta zaśmiecającego pamięć.
Popper może być postrzegany jako prekursor traktowania argumentów falsyfikujących jako wystarczające.
U Poppera można zaprzeczyć stwierdzenie, nie można uczynić tego w odniesieniu do samych reguł rozumowania (oczywiście można je krytykować i postulować wprowadzenie reguł alternatywnych).
Popper jest krytykiem metod indukcji.

Co więcej, nie istnieją dla niego czyste/ wolne od teorii obserwacje, każda obserwacja jest selektywna i podporządkowana układowi teoretycznemu.

Idąc dalej tym śladem, Popper podważa tradycyjny pogląd, wg którego nauka może zostać odróżniona od nienauki na drodze rozumowania indukcyjnego.

U Poppera nie istnieje jedyna poprawna metodologia naukowa. Nauka, jak praktycznie każdy rodzaj działalności ludzkiej (organicznej) jest głównie rozwiązywaniem problemów.



Każda prawdziwa teoria naukowa jest wg Poppera probibicyjna, tzn. nie dopuszcza pewnych szczególnych zdarzeń lub ich sekwencji i z tego względu może być jedynie poddana próbom i zaprzeczona, a nie potwierdzona.
Używając nieco innego języka, nie istnieje obserwacja wolna od możliwego błędu, a tym samym nigdy nie wiadomo, czy wynik eksperymentu jest tym za co go uznajemy.
Popper poświęca dużą część swego dzieła sytuacjom niedeterministycznym (probabilistycznym, losowym, stochastycznym) i ich logice.
Platonizm:
Obiekty matematyczne są rzeczywiste, ich istnienie jest faktem obiektywnym, całkowicie niezależnym od wiedzy istniejącej na ich temat. Matematyk może jedynie odkrywać to co istnieje.
Rene Thom (1974):

formy matematyczne naprawdę są bytami niezależnymi od rozpatrującego je umysłu... w chwili obecnej matematycy mają jedynie fragmentaryczny obraz tego świata idei...”


Procedura dedukcji wg Poppera zawiera etapy:


  • Formalny:

sprawdzający wewnętrzną spójność systemu teoretycznego pod kątem możliwych sprzeczności wewnętrznych,


  • Semi-formalny:

aksjomatyzujący teorie w celu wprowadzenia rozróżnień między jej elementami empirycznymi i logicznymi;

co więcej, w teorii należy rozróżnić elementy analityczne (przyjmowane a priori) i syntetyczne




  • Porównawczy:

odnoszący teorię budowaną do teorii wcześniejszych;
jedynie teorie wprowadzające nową jakość zasługują na zainteresowanie


  • Walidacyjny:

poprzez eksperymentalne zastosowanie jej implikacji
W podsumowaniu:

  • Cała wiedza jest warunkowa, twierdzeniowa, hipotetyczna.

  • Każda teoria jest w rozumieniu Poppera przynajmniej potencjalnie fałszywa.



Formalizm: nie istnieją ŻADNE obiekty matematyczne. Matematyka stanowi jedynie zbiór aksjomatów, definicji i twierdzeń – formuł. Dla formalisty, formuła czysto matematyczna jako taka nie zawiera żadnego znaczenia i nie istnieje dla niej żadne kryterium prawdziwości.
Popperowska koncepcja prawdy w nauce („Conjectures and refutations”):
Akceptacja teorii prawdy wg Tarskiego
Imre Lakatos (1922-73): „Proofs and Refutations I-IV”, British Journal for Philosophy of Science, 1963
Matematyka jako proces pozna(wa)nia, teoria kształtująca się na drodze dyskusji z postawionego problemu i sformułowanej hipotezy, postęp osiągany po przebyciu wielu meandrów między nadzieja a zwątpieniem.
Główna teza:

Dogmatyczne filozofie matematyki są nie do przyjęcia, możliwa jest filozofia popperowska.

Ze wstępu:
(formalizm jest szkołą) „która zmierza do identyfikacji matematyki z jej formalną, aksjomatyczną abstrakcją, i filozofii matematyki z metamatematyką. Formalizm odrywa historię matematyki od filozofii matematyki...”

Nieformalna, quasi-empiryczna matematyka nie narasta przez monotoniczny wzrost liczby niewątpliwie ustalonych twierdzeń, ale przez nieustające poprawianie domysłów, przez spekulację i krytykę, przez logikę dowodzenia i odrzucania.”



Dylemat: co to jest DOWÓD matematyczny?

Jaka jest rola i miejsce INTUICJI?



Odniesienie I: geometria


Systemy aksjomatyczne:


  • Pojęcia pierwotne

  • Aksjomaty

  • Postulaty


Euklides i jego mit: przekonanie , że księgi Euklidesa (13) zawierają jasną i niepodważalną prawdę o świecie, tym samym (jego) geometria była traktowana jako najsolidniejsza, niekwestionowana gałąź wiedzy
(Platon, Arystoteles i ich wizje świata)
Aksjomat Euklidesa: przez punkt nie leżący na prostej można przeprowadzić dokładnie jedną prostą

B Riemann:
wykład inauguracyjny „O hipotezach służących za podstawę geometrii”

...pozostaje nam rozwiązać problem, w jakiej mierze i w jakim stopniu hipotezy te potwierdza doświadczenie...


Chociażby jakaś geometria nie odpowiadała rzeczywistości doświadczalnej, jej twierdzenia nie przestają być dalej „prawdami matematycznymi”.

Bolyai i Łobaczewski (ok. 1830): nowa geometria – bez aksjomatu Euklidesa
Konsekwencje: suma kątów w trójkącie różna od
W świecie euklidesowym obowiązuje liniowość operacji: przemienność, łączność, istnienie wektora zerowego i przeciwnego; przestrzeń euklidesowa jest LINIOWA
Odniesienie II: podstawy matematyki

logika, teoria mnogości, topologia
Antynomia Russella (1905):
Nie istnieje zbiór zbiorów nie będących swoimi elementami (równoważnie nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów
Parafraza antycznego paradoksu kłamcy:

  • Czy człowiek, który mówi „kłamię”, mówi prawdę czy nie, używając takiego sformułowania?

  • „Następne zdanie jest fałszywe. Poprzednie zdanie jest prawdziwe.”

Czy to tylko kalambury?
A może ostrzeżenie przed pułapkami próżnego wysiłku budowania jakiejkolwiek teorii matematycznej za pomocą odwoływania się (nieważne, czy jawnego czy nie) do „intuicji”? - czym jest intuicja?
Próby aksjomatyzowania teorii mnogości prowadzą do dylematów:


  • Hipotezy continuum

Czy istnieje liczba kardynalna pomiędzy licznością zbioru liczb naturalnych a rzeczywistych? Problem nierozstrzygalny w ramach aksjomatyki teorii mnogości


  • Pewnika wyboru Zermelo (1908):

Właściwość P(x) określa zbiór A złożony z elementów ją posiadających tylko wtedy, gdy P(x) pociąga za sobą relację xA.

Brak sprzeczności: warunek niezbywalny wszelkiej teorii matematycznej



Z teorii wewnętrznie sprzecznej można poprawnie wywieść dowolne stwierdzenia.





©snauka.pl 2016
wyślij wiadomość