Strona główna

Porównywanie mocy zbiorów


Pobieranie 31.03 Kb.
Data18.06.2016
Rozmiar31.03 Kb.
Porównywanie mocy zbiorów

Wszyscy intuicyjnie czujemy, czym jest zbiór. A jeśli mielibyśmy podać ścisłą definicję? No właśnie, tu pojawia się problem – jak mogłaby wyglądać definicja zbioru. W szkole z pewnością wiele mówiono nam o tym, że zbiór to jest ‘dużo różnych rzeczy’. Niestety, dla matematyków, a w szczególności dla teoriomnogościowców1, definicja taka jest niewystarczająca. Jak więc rozwiązali problem znalezienia dobrej definicji dla pojęcia zbioru? Otóż stwierdzili, że zbiór jest pojęciem niedefiniowalnym, danym za pomocą relacji oraz pewnych podstawowych własności, czyli aksjomatów.


To, że nie można podać ogólnej definicji dla pojęcia zbioru, nie przeszkadza nam zadowalająco definiować konkretnych zbiorów. Najczęściej definicje takie piszemy w ten sposób:


Co to oznacza? Otóż tyle, że zbiór X, to takie elementy Z, które mają własność W. Na przykład zbiór można zdefiniować w ten sposób: .
Skoro wiemy już, czym jest zbiór, to zastanówmy się nad następującą rzeczą: jak określić, czy dwa zbiory są tak samo duże? Najpierw zastanówmy się, co to znaczy, że zbiór jest duży albo mały. Zapewne będzie nam chodzić o liczbę jego elementów. Ilość elementów zbioru będziemy nazywać mocą zbioru. Moc zbioru X będziemy oznaczać następująco: . Policzenie mocy zbioru skończonego nie nastręcza większych trudności, dla przykładu . Co jednak w przypadku zbiorów nieskończonych? Jak określić ich liczebność?
Ale zanim powiemy o zbiorach nieskończonych zatrzymajmy się jeszcze na chwilę przy zbiorach o skończonej liczebności. Jak łatwo określić, czy dwa zbiory są równoliczne (tj. są tej samej mocy) czy może któryś ma więcej elementów, a jeśli tak, to który?
Jak nakazują odgórne kuratoryjne zarządzenia należy podać przykład z życia. Wyobraźmy sobie, że jesteśmy na wielkim balu. I jak to zwykle bywa na takich balach musimy określić, czy więcej jest na nim pań czy panów. Jak to zrobimy? Moglibyśmy policzyć ilość jednych a potem drugich i porównać, ale to dość kłopotliwe. Dużo szybciej uzyskalibyśmy satysfakcjonującą nas odpowiedź, gdybyśmy krzyknęli „A teraz panowie proszą panie do tańca!”. Kiedy wszystkie pary tańczą my możemy zobaczyć, czy zabrakło par dla pań, panów czy może dla nikogo. Łatwo już wtedy stwierdzić, który ze zbiorów (pań czy panów) jest większej mocy.
No dobrze, wróćmy do naszych zbiorów. Jaki wniosek można wysnuć dla nich z tej pouczającej opowieści? Otóż chcąc porównywać moce zbiorów należy ich elementy dobierać w pary aż do wyczerpania jednego zbioru – ten, którego elementy zostaną, jest większej mocy.
Możemy zatem sformułować następującą definicję równoliczności zbiorów:
Definicja

O dwóch zbiorach A i B powiemy, że są równoliczne, jeżeli istnieje między nimi bijekcja. Równoliczność zbiorów oznaczamy . Można też pisać A~B.


Wyjaśnijmy teraz, co mówi ta definicja. Stanowi ona sformalizowanie tego, co powiedzieliśmy wcześniej – dwa zbiory są równoliczne, jeśli ich elementy można dobrać w pary. To właśnie skrywa się pod pojęciem ‘bijekcja’. Mówiąc nieco bardziej ściśle bijekcja jest to funkcja różnowartościowa i na. Spróbujmy wyjaśnić i te dwa pojęcia.
Definicja

O funkcji powiemy, że jest różnowartościowa wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi następująca implikacja:. Funkcję różnowartościową oznaczamy: .


Mówiąc bardziej zrozumiałym językiem – funkcja różnowartościowa różnym argumentom przyporządkowuje różne wartości.
Definicja

O funkcji powiemy, że jest funkcją na wtedy i tylko wtedy, gdy jej zbiór wartości jest całym zbiorem B. Funkcję na oznaczamy .


Oznacza to, że przeciwdziedzina funkcji na jest równa jej zbiorowi wartości.
Wprowadźmy jeszcze następujące oznaczenie dla bijekcji:.
Umiemy zatem określić, kiedy dwa zbiory są równoliczne. A jak określić, że któryś ze zbiorów ma więcej elementów niż drugi? Przyjrzyjmy się następującej definicji:
Definicja

Moc zbioru A jest mniejsza od mocy zbioru B (ozn. ) wtedy i tylko wtedy, gdy moce te są różne (ozn. ) oraz moc zbioru A jest równa mocy pewnego podzbioru zbioru B.
Wyjaśnijmy jeszcze tylko, czym jest podzbiór:
Definicja

Podzbiorem zbioru A nazywamy taki zbiór B, że spełniony jest następujący warunek: .
Oznacza to, że do zbioru B należą pewne elementy zbioru A i żadne inne. W szczególności zbiór B może być zbiorem pustym lub zbiorem A.
Chcąc zatem wykazać, że jakieś dwa zbiory są równoliczne, będziemy starali się skonstruować bijekcję ustanawiającą tę równoliczność. Z kolei chcąc pokazać, że jeden ze zbiorów jest mniejszy od drugiego będziemy pokazywać, że taka funkcja nie istnieje.
Zauważmy teraz, że każdemu zbiorowi skończonemu możemy przypisać liczbę określającą jego moc. Liczbę tę będziemy nazywać liczbą kardynalną. Liczby kardynalne zaczynają się od 0 (moc zbioru pustego) i wyrażają się kolejnymi liczbami naturalnymi 0, 1, 2, …, n, …. Czy ciąg ten ma jakiś koniec? Tu dochodzimy do postawionego dawno (bo aż półtorej strony temu) pytania – jak porównywać zbiory nieskończone?
Jako pierwszy problem ten postawił w drugiej połowie XIX wieku twórca teorii mnogości, niemiecki matematyk – Georg Cantor. Zauważył on, że najmniejszą nieskończoną liczbą kardynalną jest moc zbioru liczb naturalnych, oznaczona przez niego przez (czyt. alef zero).
Spostrzeżenie to stawia przed nami dwa pytania: czy istnieją inne zbiory o mocy oraz czy istnieją zbiory o większej mocy? Odpowiedzi na oba te pytania są twierdzące.2
Przykładem zbioru o mocy równej mocy zbioru liczb naturalnych jest zbiór liczb parzystych. Skonstruujmy bijekcję ustalającą tę równoliczność. Zbiór liczb naturalnych oznaczać będziemy przez N, zbiór liczb parzystych przez P. Szukana bijekcja wygląda zatem następująco:

dana wzorem . Dowód faktu, że funkcja spełnia wymagane warunki pozostawiamy Czytelnikowi jako proste ćwiczenie.
Innym przykładem zbioru równolicznego ze zbiorem liczb naturalnych jest zbiór liczb naturalnych bez 0. Spójrzmy na następującą konstrukcję:

dana wzorem . I znów dowód faktu, że f spełnia nasze kryteria pozostawimy Czytelnikowi.
Dochodzimy zatem do zaskakującego wniosku – jeśli zbiór jest nieskończony to może być równoliczny z pewnym swoim podzbiorem właściwym (właściwym, czyli różnym od całego zbioru). W przypadku zbiorów skończonych taka równoliczność nie może mieć miejsca.
Zauważmy ponadto, że zbiór jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, jeśli jego elementy mogę ustawić w ciąg nieskończony – każdy bowiem taki ciąg mogę ponumerować liczbami naturalnymi, co ustanowi równoliczność.
Pokażemy teraz, że również zbiór liczb całkowitych również jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. Ustawmy elementy zbioru liczb całkowitych w ciąg: 0, -1, 1, -2, 2, -3, 3, … Pewnie ciężko w to uwierzyć. Na wszelki wypadek podajmy jeszcze funkcję, która ustala tę równoliczność3:
dana wzorem

dla

dla
To jednak nie jest koniec zbiorów równolicznych ze zbiorem liczb naturalnych. Innym takim zbiorem jest zbiór liczb wymiernych. W tym jednak wypadku dowód nie jest już aż taki prosty. Zróbmy więc wszystko w sposób ścisły i formalny:
Twierdzenie

Zbiór liczb wymiernych Q jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych.


Dowód

Wiemy już, że zbiór liczb całkowitych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych. Jeżeli więc wykażemy, że zbiór liczb wymiernych jest równoliczny ze zbiorem liczb całkowitych otrzymamy żądaną tezę.

W dowodzie pokażemy, że zbiór liczb wymiernych dodatnich jest równoliczny ze zbiorem liczb całkowitych dodatnich. Oba zbiory są symetryczne względem 0 na osi liczbowej, zatem uzyskany wynik ustali ich równoliczność.

Każda dodatnia liczba wymierna daje się przedstawić w postaci pary liczb całkowitych dodatnich, z których jedna reprezentuje licznik, a druga mianownik ułamka będącego liczbą wymierną. Ustawmy więc liczby wymierne w ciąg według następującej zasady – na początku stawiamy liczbę, której suma licznika i mianownika jest równa 2. Następnie dwie liczby, których suma licznika i mianownika jest równa 3, następnie 3 liczby o sumie licznika i mianownika równej 4 itd. W ten sposób ustawiliśmy dodatnie liczby wymierne w ciąg. Na mocy tego, co powiedzieliśmy na początku dowodu stwierdzamy, że otrzymaliśmy tezę. CBDO


Uwaga

Ciąg, w który ustawiamy liczby wymierne w powyższym dowodzie wygląda w ten sposób: Zauważmy, że niektóre liczby pojawiają się w nim kilkakrotnie, np. , co nie stanowi większego problemu.


Jak na razie wszystkie rozważane przez nas zbiory liczbowe były równoliczne ze zbiorem liczb naturalnych. Może więc wszystkie zbiory nieskończone są z nim równoliczne? Tak dobrze niestety nie jest. Pokażemy teraz, że zbiór liczb rzeczywistych ma liczbę kardynalną większą niż . Wykażemy mianowicie, że liczb rzeczywistych nie da się ponumerować w całości liczbami naturalnymi.
Twierdzenie


Dowód

Pokażemy, że nie istnieje funkcja . Zauważmy, że możemy się w tym celu ograniczyć do znacznie mniejszego4 zbioru niż R, mianowicie do przedziału. Innymi słowy wykażemy, że nie istnieje , co w oczywisty sposób dowiedzie tezy.

Załóżmy przeciwnie – przyjmijmy mianowicie, że taki ciąg istnieje. Spróbujmy wypisać wszystkie liczby wchodzące w skład tego ciągu.

W tym miejscu pozwolimy sobie na drobną uwagę – każda liczba rzeczywista ma rozwinięcie dziesiętne – skończone lub nieskończone. O ile rozwinięcia nieskończonego nie mogę zamienić w skończone, o tyle każde rozwinięcie skończone mogę zamienić w nieskończone. Metoda jest następująca: ostatnią cyfrę rozwinięcia skończonego zmniejszam o 1, a za nią piszę nieskończenie wiele dziewiątek. Np. 1 = 0,9999….; 0,23 = 0,229999…



Przyjmijmy, że każdą liczbę należącą do przedziału ustawiłem w ciągu i zapisałem przy użyciu nieskończonego rozwinięcia dziesiętnego. Otrzymałem więc tablicę:


Ciąg ten mogę oczywiście ponumerować liczbami naturalnymi. Rozważmy jednak liczbę b, równą która różni się od każdej liczby na n-tym miejscu po przecinku. Liczbę taką w każdej chwili mogę skonstruować (Czytelnik sam zechce wymyślić metodę). Czy tak otrzymana liczba znajduje się w tym ciągu? Ponieważ należy do przedziału zatem musi też znaleźć się na którymś miejscu w naszym ciągu. Powiedzmy, że będzie to miejsce k-te. Zatem . Ale b różni się na k-tym miejscu po przecinku od . Otrzymaliśmy sprzeczność, co dowodzi, że liczb z przedziału nie da się ustawić w ciąg. Zatem przedział ten ma większą moc niż zbiór liczb naturalnych. CBDO
Wykażemy teraz, że każdy przedział jest tej samej mocy. Pokażemy bowiem równoliczność pomiędzy pewnym przedziałem a zbiorem liczb rzeczywistych. Bijekcją ustanawiającą równoliczność będzie: dana wzorem . Równoliczność przedziałów można uzyskiwać odpowiednio zwężając, rozszerzając lub przesuwając dziedzinę tangensa.
Co więcej, zbiór liczb rzeczywistych ma tyle samo elementów co zbiór , czyli płaszczyzna, czego dość nietrudny dowód również pozostawimy Czytelnikowi. Warto tu nadmienić, że tyle samo punktów jest też w całej przestrzeni. Moc zbioru liczb rzeczywistych oznaczamy literą c (czyt. kontinuum).
Kiedy w XIX wieku Cantor odkrywał to, o czym dzisiaj mówimy, napisał w liście do swojego przyjaciela: „widzę, ale nie wierzę”. Na tym jednak problemy Cantora się nie skończyły. Rozwijając coraz bardziej teorię mnogości postawił on w końcu dość zasadnicze pytanie. Czy istnieje zbiór, który ma więcej elementów niż zbiór liczb naturalnych a mniej niż zbiór liczb rzeczywistych? Jest to słynny problem kontinuum Cantora, znany też jako hipoteza kontinuum (CH).5 Cantor przez wiele lat próbował ja udowodnić lub obalić, co doprowadziło go do Nervenklinik w Halle – jego rodzinnym mieście. W 1938 roku, austriacki matematyk, Kurt Goedel udowodnił, że nie da się wyprowadzić z aksjomatów teorii mnogości zaprzeczenia hipotezy kontinuum a w 1963 roku Paul Cohen stworzoną przez siebie metodą forcingu wykazał, że nie da się wyprowadzić też samej hipotezy kontinuum. Co to oznacza? Otóż hipoteza kontinuum jest niesprzeczna z aksjomatami teorii mnogości. W systemie dedukcyjnym, jakim jest teoria mnogości, nie można udowodnić ani, ani. Szerzej o tego typu zdaniach powiemy jeszcze przy okazji omawiania twierdzenia Goedla.

1 Teoria mnogości jest to dziedzina matematyki zajmująca się zbiorami.

2 Liczby kardynalne numeruje się kolejnymi alefami:

3 Na moim kółku, podobnie jak na całym świecie z wyjątkiem polskich szkół, zbiór liczb całkowitych oznacza się literą Z, zbiór liczb wymiernych literą Q, a zbiór liczb zespolonych C. Polacy przyzwyczaili się najwyraźniej do myślenia, że jak sobie coś zrobią w swoim Kaczym Gródku, to tak samo ma być wszędzie…

4 Określenie, że jest to zbiór znacznie mniejszy jest nieco na wyrost – wykażemy niedługo, że dowolny przedział jest równoliczny ze zbiorem liczb rzeczywistych.

5 Dokładniej – hipoteza kontinuum Cantora głosi, że


©snauka.pl 2016
wyślij wiadomość