Strona główna

Przedmiot: analiza matematyczna I


Pobieranie 33.87 Kb.
Data17.06.2016
Rozmiar33.87 Kb.
Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych PW rok. akad. 2012/2013

Przedmiot:

ANALIZA MATEMATYCZNA I


Kierunek/Semestr:

Matematyka, sem. I

Rodzaj przedmiotu

obowiązkowy


Prowadzący:

prof. dr hab. Andrzej Fryszkowski

Zakład, telefon, E-mail:

RRZw., fryszko@mini.pw.edu.pl

Tygodniowy wymiar godzin i sposób zaliczenia

W / Ć / L / P

4 / 4 / 0 / 0 E



Kod przedmiotu




Program przedmiotu:

  1. Aksjomatyczna teoria liczb rzeczywistych R. Działania w zbiorze liczb rzeczywistych. Zbiory ograniczone
    i ich kresy. Ciągi liczbowe.

  2. Określenie granicy ciągu – ciągi zbieżne i rozbieżne. Ciągi monotoniczne i ograniczone, twierdzenie
    o istnieniu granicy. Rachunek granic skończonych. Twierdzenie o trzech ciągach. Warunek Cauchy’ego
    i jego związek ze zbieżnością. Zupełność zbioru R.

  3. Symbole nieoznaczone, ciągi rozbieżne (dążące) do nieskończoności i ich własności. Podciągi i ich własności. Twierdzenie Bolzano – Weierstassa. Zwartość. Granica górna i dolna oraz związek ze zbieżnością.

  4. Podstawowe rzeczywiste ciągi zbieżne. Liczba e, jej niewymierność i zastosowania. Granica ciągu , gdy Porównywanie ciągów, symbole „o małe” i „O duże”.

  5. Szeregi liczbowe, zbieżność, warunek konieczny zbieżności szeregu. Warunek Cauchy’ego zbieżności szeregów, zupełność R w języku szeregów. Szeregi geometryczne i harmoniczne. Kryteria zbieżności szeregów: porównawcze, ilorazowe, d’Alemberta i Cauchy’ego.

  6. Szeregi o wyrazach dowolnych, zbieżność bezwzględna i warunkowa. Kryterium Abela i Dirichleta. Zmiana kolejności sumowania w szeregach, twierdzenie Riemanna.

  7. Punkt skupienia zbioru. Granica funkcji w punkcie. Równoważność definicji Cauchy’ego i Heine’go. Granice jednostronne funkcji, związek z granicą funkcji. Granice jednostronne funkcji monotonicznej. Granica górna
    i dolna, związek z granicą. Granice nieskończone i granice w nieskończoności. Własności granic.

  8. Ciągłość funkcji odwrotnej, warunek wystarczający, przykład na „nie”. Własność Darboux dla funkcji ciągłej. Własności funkcji ciągłych na zbiorach zwartych, jednostajna ciągłość.

  9. Pochodna funkcji w punkcie, pochodne jednostronne, związek z ciągłością. Interpretacja geometryczna pochodnej, styczna do wykresu. Własności pochodnej: pochodna sumy, iloczynu, ilorazu, funkcji złożonej.

  10. Pochodna funkcji odwrotnej. Różniczka funkcji. Zasada Fermata. Własność Darboux dla pochodnych. Twierdzenie Rolle’a, Lagrange’a i Cauchy’ego.

  11. Reguła de l’Hospitala. Pochodne wyższych rzędów. Wzór Leibniza. Porównywanie funkcji, „nieskończenie małe” różnych rzędów. Wzór Taylora z resztą w postaci Peano, Lagrange’a i Cauchy’ego. Wzór MacLaurina. Rozwinięcia funkcji

  12. Ekstrema lokalne funkcji, warunek konieczny istnienia ekstremów. Warunek wystarczający istnienia ekstremów w języku pierwszych pochodnych i wyższych pochodnych.

  13. Szeregi potęgowe, promień zbieżności, wyznaczanie promienia i obszaru zbieżności.

  14. Twierdzenie Abela. Twierdzenie o pochodnej szeregu potęgowego. Zastosowania szeregów potęgowych.

  15. Powtórzenie.


Literatura podstawowa:

K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy;

F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy;

L. Górniewicz, R.S. Ingarden, Analiza matematyczna dla fizyków;

J. Banaś, S. Wędrychowski, Zbiór zadań z analizy matematycznej;

M. Gewert, Zb. Skoczylas Zb., Analiza Matematyczna I i II, Teoria i Przykłady;

G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy (3 tomy).

Regulamin zaliczania przedmiotu ANALIZA MATEMATYCZNA I i II

Przedmiot ANALIZA MATEMATYCZNA prowadzony jest w trzech semestrach, a każdy semestr kończy się egzaminem. Za wyniki osiągnięte w trakcie semestru i na egzaminie student otrzymuje punkty i na ich podstawie wystawiana jest ocena. Poniżej opisany jest regulamin zaliczania pierwszych dwóch semestrów.

W trakcie każdego semestru można uzyskać 60 pkt, na co składają się:

trzy kolokwia po – 15 pkt, trzy kartkówki – po 2 pkt i aktywność na ćwiczeniach – 9 pkt.

Punkty za aktywność uzyskuje się za poprawnie rozwiązane przy tablicy zadania.

Ćwiczenia uważa się za zaliczone, jeśli student uzyska w trakcie semestru co najmniej 31 pkt.



Egzamin:

Do egzaminu może przystąpić każdy student, niezależnie od tego czy uzyskał zaliczenie. Każdemu przysługują trzy podejścia.

Egzamin składa się z dwóch części: pisemnej (zadaniowej) – 60 pkt. i teoretycznej – 40 pkt..

Zaliczenie części pisemnej uzyskuje się po otrzymaniu co najmniej 31 pkt.

Końcowym etapem egzaminu jest część teoretyczna. Mogą do niej przystąpić studenci, gdy mają zaliczoną część praktyczną, tzn. zaliczone ćwiczenia oraz część pisemną. Wtedy z części praktycznej liczy się średnia z obu wyników.

W przypadku, gdy student nie zaliczył ćwiczeń w trakcie semestru, powinien dwukrotnie uzyskać


z części pisemnej co najmniej 31 pkt. Wtedy następuje również zaliczenie ćwiczeń i części praktycznej.

Zwolnienia z egzaminu pisemnego – od 45 pkt, a uzyskane punkty liczą się jako wynik części praktycznej.

Część teoretyczną student zdaje ustnie. Polega ona na wykazaniu się przez studenta znajomością


i rozumieniem wszystkich omawianych zagadnień. Cały materiał wykładu zorganizowany jest pod względem zaawansowania i stopnia trudności na poziomy A, B, C, z których każdy następny zawiera poprzedni. Kryteria podziału materiału na poziomy:

  1. (Materiał podstawowy 20 pkt): Wszystkie definicje i wypowiedzi wszystkich twierdzeń, prostsze dowody, prostsze przykłady i zastosowania.

  2. (Materiał podstawowy rozszerzony 30 pkt): A + dowody o średnim stopniu trudności, średnio zaawansowane przykłady, zastosowania.

  3. (Materiał pełny 40 pkt): B + wszystkie dowody, przykłady, zastosowania.

Do zaliczenia egzaminu ustnego konieczna jest znajomość materiału na poziomie A.

Ostateczna ocena wystawiana jest po zdaniu egzaminu ustnego na podstawie sumy punktów uzyskanych z części praktycznej i teoretycznej. Przedstawia to poniższa tabela:




Suma punktów


Ocena


51 – 60

20


3,0


61 – 70


3,5


71 – 80


4,0


81 – 90


4,5


91 – 100


5


.


©snauka.pl 2016
wyślij wiadomość