Strona główna

Stan początkowy ustalony, stan końcowy swobodny, czas końcowy ustalony. Funkcja podcałkowa w postaci II


Pobieranie 109.13 Kb.
Data19.06.2016
Rozmiar109.13 Kb.
3.1.8.Stan początkowy ustalony, stan końcowy swobodny, czas końcowy ustalony. Funkcja podcałkowa w postaci II

Prezentowany rozdział zawiera sformułowanie i rozwiązanie kolejnego problemu optymalizacyjnego sterowania odpływem z pojedynczego zbiornika zasilającego jednego odbiorcę ,

Różnica między zadaniami optymalizacji z rozdziału nr 3.1.1 a przedstawionymi w niniejszym rozdziale , dotyczy postaci wskaźnika jakości , który w obecnej formie zawiera w funkcji podcałkowej składnik wymuszający konieczność takiego sterowania odpływem ze zbiornika aby wynikająca z tego sterowania trajektoria stanu zbiornika, odpowiadała ustalonej wg odrębnych kryteriów wymaganej trajektorii stanu zbiornika.

Metodycznie rzecz ujmując opisana zmiana we wskaźniku jakości powoduje , iż jedno z równań konieczne do rozwiązania problemu otrzymane w wyniku różniczkowania funkcji Hamiltona a mianowicie : nie sprowadza się do zapisu , który dotychczas znacznie ułatwiał dalsze rozwiązanie .

W sytuacji pojawienia się we wskaźniku jakości składnika w następstwie którego dalsze rozwiązanie uzależnione jest od dwóch stałych . Analityczne wyliczenie stałych w funkcji wartości trajektorii stanu w chwili końcowej horyzontu optymalizacji jest zagadnieniem o większej skali złożoności.

Rys. 3.24 Wyodrębniony system wodno-gospodarczy


Dla prognozowanego dopływu do zbiornika wskaźnik jakości w postaci (3.161) przedstawia następujące wymagania stawiane przed systemem zbiornik-aglomeracja :

  • Uzyskanie w chwili końcowej horyzontu optymalizacji , maksymalnie zbliżonego wypełnienia zbiornika do żądanego wypełnienia ,

  • zapewnienie odpływu ze zbiornika , który w minimalny sposób odbiegać będzie od określonego funkcją zapotrzebowania pożądanego odpływu ze zbiornika w całym horyzoncie optymalizacji ,

  • określenie trajektorii stanu zbiornika w całym horyzoncie optymalizacji , zapewniającej minimalne odchylenia od żądanej (określonej wcześniej w oparciu o inne kryteria ) trajektorii .

Wzajemne relacje między składnikami wskaźnika kształtują współczynniki wag , natomiast symbol zastosowany w odniesieniu do pierwszego i trzeciego składnika wskaźnika (3.161) oznacza ,że bierze się tylko pod uwagę odchyłki dodatnie , natomiast odchyłki ujemne przyjmują wartość zero .

Pomijając wyjątkowe korzystne sytuacje hydrologiczne w obrębie analizowanego systemu zbiornik-aglomeracja, jednoczesne 100% zrealizowanie określonych przeciwstawnych wymagań nie jest możliwe . W drodze rozwiązania zadania optymalizacji poszukiwać będziemy takiego kompromisowego sterowania optymalnego , które częściowo godząc wytyczone cele zapewni minimalną wartość wskaźnika (3.161). Wartość wskaźnika jakości traktowaną jest jako suma kar „płaconych” za niecałkowite zrealizowanie wymienionych celów w okresie optymalizacji .




  1. postać wskaźnika jakości uwzględniająca powyższe wymagania jest następująca :


(3.161)
Nowymi elementami wskaźnika (3.161) są :

wymagana trajektoria stanu zbiornika w okresie optymalizacji

współczynnik wagi powiązany ze składnikiem zawierającym .
b.) równanie stanu zbiornika sprowadza się jak w poprzednich rozdziałach do zależności między stanem zbiornika , prognozowanym dopływem do zbiornika a sterowanym odpływem ( z uwzględnieniem zmiennego w czasie opóźnienia czasowego między prognozowanym dopływem i odpływem ) :

(3.162)

c.) ograniczenia sterowania i stanu zbiornika uwzględniane są analogicznie jak rozdziale 3.1.4

Dla układu (3.161), (3.162) utworzona zostaje funkcja Hamiltona w postaci :



(3.163)

w którym: zmienna sprzężona .


Układ równań dla funkcji Hamiltona przedstawia się następująco :

A.



(3.164)

B. (3.165)

C. (3.166)

D. (3.167)

Rozwiązanie układu równań (3.164) do (3.167) rozpoczyna się od zróżniczkowania równania (3.165)

do którego następnie podstawia się (3.166) z uwzględnieniem (3.164) a po przegrupowaniu otrzymuje się



(3.168)

Równanie (3.168) jest niejednorodnym równaniem różniczkowym drugiego rzędu o ogólnej postaci którego rozwiązanie sprowadza się do zastosowania następującego złożenia całki ogólnej równania jednorodnego i całki szczególnej równania niejednorodnego .



W przypadku równania (3.168)

a.) całka ogólna równania jednorodnego przedstawia się następująco ;



  1. całka ogólna równania niejednorodnego przyjmuje zatem postać :

(3.168)

w której (3.169)

Korzystając z warunków brzegowych zadania należy wyliczyć stale .
Różniczkując (3.168) i porównując z (3.165) otrzymuje się równanie , które dla chwili

przyjmuje postać :

(3.170)

Z porównania równanie (3.168) dla chwili z równaniem (3.167) otrzymuje się równanie



(3.171)

Równania (3.170) i (3.171) posłużą do określenia stałych w funkcji końcowego stanu trajektorii .

Mnożąc równanie (3.170) przez współczynnik oraz równanie (3.171) przez współczynnik , następnie dodając stronami otrzymane w ten sposób równania możliwe jest określenie stałej ( symbolem zastąpiono wyrażenie podcałkowe we wzorze (3.171) )

i ostatecznie



(3.172)

w wyrażeniu (3.172) przyjęto oznaczenie :



W celu uzyskania stałej należy pomnożyć równanie (3.170) przez współczynnik a równanie (3.171) przez współczynnik . Następnie otrzymane równania dodać stronami :



i ostatecznie



(3.173)

w wyrażeniu (3.172) przyjęto oznaczenie :



Stałe podstawia się do równania (3.173) otrzymując wzór opisujący zmienna sprzężoną między innymi w funkcji stanu zbiornika z chwili końcowej .



(3.174)

Kolejne przekształcenia równania (3.174) doprowadzają do postaci (3.175)





(3.175)

W równaniu (3.175) współczynniki wyrażone są związkami :



; ;

;

Następną czynnością jest podstawienie wyrażenia (3.175) do wzoru (3.164) w wyniku którego otrzymuje się związek między sterowaniem optymalnym a zmienną sprzężoną . Zmienna jest zależna od stanu końcowego trajektorii stanu zbiornika .



(3.176)

W dalszej kolejności całkując równanie (3.166) otrzymuje się ogólną postać wzoru określającą optymalną trajektorię stanu zbiornika (ekstremala stanu ):



(3.177)

dla chwili ,

dla chwili równanie (3.177) z uwzględnieniem (3.176) przyjmuje postać :

(3.178)

Z równania (3.178) po przeprowadzeniu stosownych przekształceń otrzymuje się stan końcowy trajektorii stanu zbiornika wyłącznie w funkcji znanych parametrów przyjętych do optymalizacji .

Równanie (3.178) zapisać można w postaci :

(3.178)

We wzorze (3.178) przyjęto :







,

,

,

Otrzymanie wzoru (3.178) określającego wartość optymalnej trajektorii stanu zbiornika w chwili końcowej jest zwrotnym punktem zadania optymalizacji .


Następnymi krokami będą :


a./ podstawienie (3.178) do (3.172) i (3.173) celem wyznaczenia stałych

b./ podstawienie (3.172) i (3.173) z uwzględnieniem (3.178) do (3.168) celem wyznaczenia zmiennej sprzężonej

c./ podstawienie (3.168) do (3.164) które pozwoli określić trajektorię sterowanie optymalnego dla

(3.179)

d./ podstawienie (3.179) do (3.177) z uwzględnieniem warunku początkowego wypełnienia zbiornika pozwalające określić przebieg optymalnej trajektorii stanu zbiornika w przedziale czasu



(3.180)

Minimalną wartość wskaźnika jakości otrzymamy wstawiając (3.178), (3.179),(3.180) do wyrażenia (3.161)





    1. STEROWANIE ZBIORNIKIEM W CZASIE RZECZYWISTYM


3.2.1 Synteza regulatora optymalnego
Ogólny schemat sterowania zbiornikiem w czasie rzeczywistym z uwzględnieniem modelu optymalizującego trajektorie stanu i sterowania , przedstawiony zostanie w oparciu o problem z rozdziału 3.1.1.

Zakłócenia modelowo optymalnej trajektorii stanu zbiornika retencyjnego (3.18) mogą powstać w wyniku:

– różnic między dopływem prognozowanym a rzeczywistym ,

– oraz pojawienia się niekontrolowanych dopływów do zbiornika .

Aby utrzymać optymalny stan zbiornika w funkcji bieżącego dopływu do zbiornika i zakłóceń zgodnie ze wzorem (3.18), można zaproponować syntezę regulatora optymalnego. Pokazana zostanie konstrukcja prostego regulatora bez uwzględnienia opóźnień w stanie zbiornika spowodowanych czasem realizacji sterowania oraz bez uwzględnienia ograniczeń stanu.

Synteza jest efektem następującego cyklu przekształceń:



(3.181)

Przekształcając wyrażenie (3.181), wyznacza się:



(3.182)

Następnie, dodając Y(t) do obu stron (3.182), otrzymuje się równanie:



(3.183)

którego lewa strona przedstawia sterowanie m-o , zatem:



(3.184)

Wzór (3.184) wyraża jako funkcję optymalnego stanu zbiornika , dotychczasowych parametrów i bieżącej całki z dopływu prognozowanego . Wykorzystując ten fakt, można w miejsce dopływu prognozowanego wprowadzić bezpośrednio zaistniały w czasie t dopływ rzeczywisty , otrzymując sterowanie u1(t) w funkcji rzeczywistego dopływu Q1(t) oraz stanu m-o , obliczonego na podstawie dopływu prognozowanego:



(3.185)

Aby utrzymać optymalny stan przy rzeczywistym dopływie Q1(t), należy wprowadzić do sterowania poprawkę ∆u1(t), wyliczając ją w następujący sposób:

we wzorze (3.185) Q1(t) wyraża się w postaci:

(3.186)

gdzie jest różnicą pomiędzy dopływem rzeczywistym a prognozowanym.

W efekcie otrzymuje się:

(3.187)

skąd po przekształceniach:



(3.188)

z czego wynika:



(3.189)

lub


(3.190)

Wyrażając we wzorze (3.190) u1(t) według wzoru (3.189), wstawiając równocześnie , otrzymuje się:



(3.191)

Analogiczny sposób reakcji można przyjąć w odniesieniu do zakłóceń prognozowanego dopływu do zbiornika, spowodowanych niekontrolowanymi, nieprzewidzianymi dopływami wody, które nie były uwzględnione w prognozie dopływów. Czasy pojawienia się, zaniku oraz wartości niekontrolowanych dopływów znane są dopiero w chwili zaistnienia tych zakłóceń. Fakt ten powoduje istotną modyfikację wzoru (52), który sprowadza się wówczas do postaci:





(3.192)

lub prościej:



(3.193)

Na sterowanie rzeczywiste u(t) również nałożone są warunki ograniczające, które narzucają odpowiednie wartości sterowań u(t) w przedziałach czasu, w których ograniczenia są aktywne. Sterowanie rzeczywiste oblicza się zatem następująco:



, wg (3.192) jeżeli

, jeżeli

, jeżeli

We wzorach (3.192), (3.193) przyjęto następujące oznaczenia:

Q(t) –  różnica między dopływem rzeczywistym a prognozowanym ,

–  chwilowe wartości zakłóceń (niekontrolowanych dopływów do zbiornika),

–  czas trwania zakłócenia Q2(t),

–  czas trwania zakłócenia Q3(t),

–  czas trwania zakłócenia Qn(t).

Dla chwilowych wartości zakłóceń Ql(t), l = 2, 3, ..., n nie zakłada się rozłączności czasów trwania tych zakłóceń, tzn. że mogą istnieć takie l, m, dla których .



Rys.3.25 Przykładowe rozłożenie w czasie zakłóceń dopływu


Wnioski są następujące:

 A.  Sterując odpływem ze zbiornika zgodnie z wzorem (3.192), tj. w funkcji prognozowanego dopływu do zbiornika z poprawkami między prognozowanym dopływem a bieżącą jego wartością Q1(t) oraz z uwzględnieniem zakłóceń w postaci dopływów niekontrolowanych Q2(t), Q3(t), ..., Qn(t), otrzymuje się trajektorię rzeczywistą stanu x(t) pokrywającą się z trajektorią m-o stanu zbiornika (3.18), (przy założeniu że (3.192) jest w ograniczeniach).

Konsekwencją postępowania według zaproponowanej reguły (znanej pod nazwą nadążanie za trajektorią m-o stanu) jest nadążanie stanu rzeczywistego x(t) za stanem m-o w całym przedziale czasu , mimo oddziaływania zakłóceń, jakimi są zdefiniowane wcześniej ∆Q(t), Q2(t), Q3(t), ..., Qn(t). Fakt ten może mieć niebagatelne znaczenie w przypadku zbiorników, których poziom wody (ze względu na charakter gospodarki zbiornikiem) musi być a priori znany w przedziale czasu [0, T], a zapewnienie wymaganego wypełnienia końcowego gwarantuje właściwą gospodarkę zbiornikiem w przyszłych okresach czasu . Taki model sterowania można przyjąć np. dla zbiorników energetycznych, dla których priorytetową wielkością jest stopień piętrzenia wody, tzn. utrzymanie właściwego poziomu wody zbiornika w obserwowanym przedziale czasu [0, T].

Realizując nadążanie za trajektorią m-o stanu, tzn. sterując odpływem ze zbiornika wg (3.192) odbiega się od trajektorii m-o sterowania (3.17), rezygnując tym samym z realizacji funkcji zapotrzebowania na wodę Y(t) w stopniu, który wynikał z dysponowania odpływem ze zbiornika według .
 B.   Sterując odpływem ze zbiornika według wyłącznie w funkcji dopływu prognozowanego , bez uwzględnienia poprawki między dopływem prognozowanym a rzeczywistym Q1(t) oraz bez uwzględnienia zakłóceń w postaci dopływów niekontrolowanych Q2(t), Q3(t), ..., Qn(t), realizuje się sterowanie m-o , a tym samym funkcję zapotrzebowania Y(t) w stopniu, który wynikał z dysponowania odpływem ze zbiornika według (nadążanie za trajektorią m-o sterowania). W tym przypadku przebieg rzeczywistej trajektorii stanu zbiornika odbiegać będzie od m-o trajektorii stanu wyliczonej według wzoru (3.18). W sytuacji dopływów rzeczywistych Q1(t) niższych od dopływów prognozowanych , jeżeli mamy do dyspozycji wystarczający zapas wody w zbiorniku, rzeczywisty deficyt globalny wody po upływie czasu [0, T] nie będzie większy niż globalny deficyt m-o wyliczony względem trajekto­rii m-o sterowania . Ten model sterowania należałoby przyjąć dla zbiorników alimentacyjnych, których zadaniem jest nadążanie z odpływem ze zbiornika u(t) za tra­jektorią m-o sterowania , natomiast stan x(t) wody w zbiorniku może być zmienny, odbiegający od stanu m-o .

W następstwie tego faktu, zgodnie ze wskaźnikiem (3.1) – składnik , mając na uwadze różnicę stanów optymalnego i rzeczywistego dla końca horyzontu optymalizacji , zostanie naliczona kara za niespełnienie wymagań dotyczących tej części wskaźnika jakości.


 C.    Przy sterowaniu zbiornikiem wg punktu  A  mogą ingerować ograniczenia (3.2a) rzeczywistego sterowania odpływem. Sterowanie rzeczywiste z uwzględnieniem ograniczeń wywołuje, (poprzez równanie stanu zbiornika), stan rzeczywisty różny od stanu m-o. Każde wejście sterowania rzeczywistego na ograniczenia skutkuje kolejnym odchyleniem stanu rzeczywistego od śledzonego stanu m-o. W tej sytuacji, stosownie do priorytetu wyrażonego w postaci współczynników wag a, a, należałoby zdecydować o ewentualnym pogodzeniu się z faktem odejścia rzeczywistych trajektorii u(t), x(t) od trajektorii m-o i zapłaceniu kar, wyliczanych zgodnie z odpowiednimi składowymi wskaźnika jakości (3.1). Ewentualnie od momentu pojawienia się w czasie t* wymienionych powyżej odchyleń można przeliczyć nowe trajektorie m-o, obowiązujące w dalszej części horyzontu optymalizacji .

Przy sterowaniu zbiornikiem wg punktu  B  sterowanie rzeczywiste śledzi sterowanie m-o, skutkiem czego w sytuacji drastycznych różnic między dopływem prognozowanym a rzeczywistym, utrzymujących się przez długi czas, może dojść do przekroczenia dolnego lub górnego ograniczenia stanu zbiornika. Przekroczenie ograniczeń stanu przy aktywnych ograniczeniach sterowania wskazuje sytuacje awaryjna w obrębie zbiornika .Wiąże się to z wprowadzeniem awaryjnych algorytmów sterowania (przeciwpowodziowych, niżówkowych), które realizowane są na podstawie założeń innych niż przedstawione dotychczas .



 D.    Stosując proponowane modele sterowania odpływem ze zbiornika, można obserwować przebiegi trajektorii gwarancji spełnienia potrzeb przy sterowaniu m-o oraz gwarancji spełnienia potrzeb przy sterowaniu rzeczywistym. Chwilowe gwarancje zdefiniowane są jako iloraz sumy przedziałów czasu w horyzoncie [0, t], dla których wartość sterowanego odpływu ze zbiornika jest większa (lub równa) od wartości funkcji zapotrzebowania Y(t), przez długość tego horyzontu.

(3.193)

Rys. 3.26.  Gwarancja spełnienia funkcji Y(t) przez sterowanie u(t)


Gwarancja rzeczywista spełnienia potrzeb dla horyzontu t = T została przedstawiona na rys. 3.25.



 E.    W wyniku rozwiązania zadania optymalizacji otrzymuje się sterowanie optymalne , dla którego zgodnie ze wzorem (3.193) określić można gwarancję spełnienia potrzeb Y(t). Analizując wyniki rozwiązań wielu zadań, w których przyjęto różne wartości x0 oraz xw(T), można znaleźć zakresy zmienności warunku początkowego x0 i końcowego , dla których uzyskuje się wartości gwarancji należące do interesującego przedziału np. od 10 do 90%.

Informacja zestawiająca gwarancję spełnienia zapotrzebowania Y(t) w funkcji warunku początkowego x0 i końcowego wypełnienia zbiornika, przy danym dopływie prognozowanym , i ustalonych wagach a, a, jest niezwykle użyteczna, wskazuje bowiem możliwości wyrównawcze zbiornika i wspomaga decyzję dotyczącą odpowiedniego wariantu sterowania odpływem ze zbiornika.



3.2.1.1. Realizacja symulacji, opis wyników

Schemat powiązań między kolejnymi elementami układu regulacji nadążnej został przedstawiony na rys.3.26. Na podstawie tego schematu określono sposób działania układu sterowania zbiornikiem w następujący sposób:

1.  W pierwszej kolejności w modelu optymalizacyjnym oznaczonym  1  wyliczane są trajektorie m-o w funkcji przyjętych parametrów, zgodnie ze wzorami od (3.1) do (3.18).

Rys.3.27 Schemat sterowania zbiornikiem w układzie nadążnym za trajektorią optymalną

2.  Następnie w bloku oznaczonym  2  formowane są sygnały będące zakłóceniami, w szczególności:

–  różnica między dopływem prognozowanym a rzeczywistym Q1(t),

–  niekontrolowane dopływy do zbiornika Q2(t), Q3(t), ..., Qn(t).

3.  Regulator realizuje sterowanie rzeczywiste (3.192) na podstawie informacji z bloku  1  i  2  oraz z uwzględnieniem wyboru między:

–  nadążaniem za m-o trajektorią stanu ,

–  nadążaniem za m-o trajektorią sterowania .

4.  W funkcji prognozowanego dopływu i zrealizowanego sterowania rzeczywistego u(t), otrzymuje się rzeczywisty stan zbiornika , sprawdzając w dalszej kolejności jego położenie względem przyję­tych ograniczeń stanu zbiornika.

5.  W pozostałych blokach wyliczane są wskaźniki jakości (deficyt wody, gwarancje) oraz przeprowadzona jest wizualizacja zrealizowanych przebiegów.

Pracę przedstawionego modelu nadążnego sterowania zbiornikiem retencyjnym w obecności zakłóceń przeprowadzono na podstawie symulacji cyfrowej zrealizowanej przy zastosowaniu pakietu Matlab/Simulink (rys. 3.27).

Układ symulacji cyfrowej umożliwia dowolną zmianę parametrów:

–   zadania optymalizacji ,


  • zakłóceń przepływu, czasu trwania.

Rys.3.28 Schemat symulacji analogowo cyfrowej modelu

Pozwala również dowolnie ustalać ograniczenia sterowania odpływem ze zbiornika oraz szerokość warstwy użytkowej zbiornika. Do ponownej modyfikacji parametrów układ realizuje ustalone wytyczne, przedstawiając następujące przebiegi jako wyniki symulacji:

–  trajektorię m-o sterowania ,

–  trajektorię m-o stanu ,

–  trajektorię rzeczywistą sterowania ,

–  trajektorię rzeczywistą stanu ,

Poniżej przedstawiono przykładową realizację omawianego procesu, wraz ze stosownym opisem, które nie wyczerpując zbioru możliwych sytuacji, przedstawia jeden z przypadków.

Realizacja symulacji ( opcja nadążanie za trajektorią m-o stanu), przedstawiona została na rys. 3.29, dotyczy przypadku w którym nie ma szczególnej preferencji spełnienia zapotrzebowania (a1 = 1, a2 = 1).


Rys.3.29 Realizacja symulacji dla parametrów przyjętych
Wykres 1.   Przedstawia przyjęty do modelu optymalizacyjnego prognozowany dopływ do zbiornika dla .

Wykres 2.   Przy ustalonych współczynnikach wag nie preferujących spełnienie zapotrzebowania Y(t) wykazuje, iż trajektoria m-o sterowania przebiega poniżej funkcji zapotrzebowania Y(t) w całym horyzoncie optymalizacji .
Wykres 3.   Przedstawia modelowo optymalną trajektorię stanu zbiornika .
Wykres 4.   To rzeczywisty ( generator liczb losowych) dopływ do zbiornika w całym rozpatrywanym okresie obserwacji .
Wykres 5.   W wyniku działania regulatora otrzymujemy sterowanie rzeczywiste
Wykres 6.   W następstwie sterowania rzeczywistego stan rzeczywisty jest bardzo zbliżony do stanu modelowo-optymalnego . Różnice wynikają z faktu nałożenia ograniczeń zarówno na sterowanie optymalne jak i rzeczywiste.

3.2.2 Sterowanie bieżące z wykorzystaniem regulatora PID

Rys.3.30 Schemat sterowania zbiornikiem w układzie nadążnym za trajektorią optymalną z regulatorem PID



Rys.3.31 Schemat symulacji analogowo cyfrowej modelu


Celem zrealizowania trajektorii modelowo optymalnej stanu zbiornika, można w układzie regulacji zastosować regulator PID. Regulator reaguje na różnice między chwilowymi stanami zbiornika tj. modelowo optymalnym i rzeczywistym ( błąd uchybu ), wytwarzając sterowanie które w konsekwencji dąży do skompensowania różnicy między ww. stanami. Na sterowanie wynikające z działania regulatora, nałożone są ograniczenia uniemożliwiające przekroczenie dolnych i górnych wartości granicznych. Wynik działania regulatora PID uzależniony jest od jego parametrów (nastawy regulatora) przyjętych do symulacji. Teoretycznie można przyjąć dowolne wartości a wówczas wykresy 4 i 8 z rys 3.32 będą identyczne. Oznacza to iż rzeczywista trajektoria stanu pokryje się z trajektorią modelowo optymalna uzyskana z modelu optymalizacyjnego. W rzeczywistości istnieją ograniczenia fizyczne ( konstrukcyjne) w budowie regulatorów z czego wynika fakt iż odwzorowanie trajektorii rzeczywistej (w funkcji dopływów rzeczywistych różnych od dopływów prognozowanych), będzie odbiegać od trajektorii modelowo optymalnej.

Rys.3.32 Realizacja symulacji dla parametrów przyjętych modelu optymalizacyjnego i parametrów regulatora PID



Wykres 1.   Przedstawia przyjęty do modelu optymalizacyjnego prognozowany dopływ do zbiornika dla .

Wykres 2. Informuje o przyjętej do optymalizacji funkcji zapotrzebowania Y(t),

Wykres 3.   Przedstawia trajektorię sterowanego ( modelowo optymalnego) odpływu ze zbiornika .Przy ustalonych współczynnikach wag nie preferujących spełnienie zapotrzebowania Y(t) wynika, iż trajektoria m-o sterowania przebiega poniżej funkcji zapotrzebowania Y(t) w całym horyzoncie optymalizacji .

Wykres 4.   Przedstawia modelowo optymalną trajektorię stanu zbiornika .

Wykres  5 i 6.   To rzeczywiste ( generator liczb losowych) dopływy do zbiornika w całym rozpatrywanym okresie obserwacji .

Wykres 7 .   W wyniku działania regulatora PID otrzymujemy sterowanie rzeczywiste

Wykres 8.   W następstwie sterowania rzeczywistego stan rzeczywisty jest bardzo zbliżony do stanu modelowo-optymalnego . Różnice wynikają z faktu nałożenia ograniczeń zarówno na sterowanie optymalne jak i rzeczywiste oraz z przyjętych parametrów regulatora.

3.2.3 Sterowanie bieżące z wykorzystaniem regulatora rozmytego
Regulatory rozmyte (fuzzy sets) oraz symulacyjny układ sterujący zbiornikiem retencyjnym zrealizowano w środowisku Matlab z zastosowanie modułu ( Toolbox ) Fuzzy.

Konstrukcję regulatora rozpocząć należy od zdefiniowania, oznaczenia i określenia tzw. FIS ( Fuzzy Interface System). Następnie zdefiniowany regulator rozmyte zastosowanie zastany w układzie regulacji. Układ regulacji zrealizowany jest w module Matlab/Simulinku.


1. Należy uformować sygnały będące zakłóceniami w szczególności :

  • różnice między dopływem prognozowanym a dopływem rzeczywistym,

ewentualnie wektor niekontrolowanych dopływów do systemu zbiorników .

2. W oparciu o uzyskane informacje z modelu optymalizacyjnego dotyczące sterowania optymalnego i stanu optymalnego oraz z uwzględnieniem wyboru



śledzenie optymalnej trajektorii stanu , lub

śledzenie optymalnej trajektorii sterowania

( odpływów ze zbiorników ) ,

regulator rozmyty realizują sterowanie rzeczywiste .

3. Wykorzystując równanie stanu systemu zbiorników w funkcji zrealizowanego sterowania rzeczywistego i rzeczywistego dopływu do zbiornika, otrzymuje się rzeczywisty stan zbiornika .


Otrzymane wyniki są bardzo obiecujące , co świadczy o niezwykłej skuteczności działania układów deskryptywnego sterowania rozmytego.

Rys.3.33 Schemat działania układu sterowania zbiornikiem z zastosowaniem regulatora rozmytego śledzącego optymalny stan zbiornika
Regulator rozmyty można zastosować jako element wytwarzający sterowanie w wyniku różnic między stanem optymalnym otrzymanym w funkcji dopływu prognozowanego a stanem rzeczywistym związanym z dopływem rzeczywistym (rys. 3.33).

Innym zastosowaniem regulatora rozmytego może być sytuacja w której regulator reaguje na różnicę między dopływem prognozowanym a rzeczywistym, wytwarzając poprawkę do sterowania optymalnego w wyniku której stan rzeczywisty nadążać będzie za stanem optymalnym (rys. 3.34) .



Rys.3.34 Schemat działania układu sterowania zbiornikiem z zastosowaniem regulatora rozmytego śledzącego optymalny stan zbiornika





        1. FIS ( Fuzzy Interface System)


Rys.3.35 FIS ( Fuzzy Interface System ). Edytor zmiennych wejściowy, bazy reguł, zmiennych wyjściowych dla zbiornika .

Rys 3.36 Uniwersum i zbiór termów dla zmiennej
Zmienna wejściowa do regulatora (rys.3.34) została zdefiniowany następująco : to różnica wynikająca z dopływu rzeczywistego a dopływu prognozowanego do sterowanego zbiorników, .

Dla przyjęto uniwersum ,

Wektor termów dla zmiennej wejściowej zdefiniowano jak na rys.3.36

Każdy z termów (zbiorów rozmytych ) to liczba rozmyta o podanym kształcie i parametrach. Odpowiedni edytor umożliwia wybranie kształtu, parametrów oraz umiejscowienie termu na uniwersum .



Rys 3.37 Uniwersum i zbiór termów dla zmiennej wyjściowej


Zmienną wyjściową (rys. 3.37) zdefiniowano następująco: , określona przez regulator rozmyty, poprawka do sterowania otrzymanego z modelu optymalizacyjnego, w wyniku zastosowania której stan rzeczywisty będzie nadążał za stanem optymalnym otrzymanym z modelu optymalizacyjnego.

Dla zmiennej przyjęto uniwersum





        1. Układ sterowania z zastosowaniem regulatora rozmytego


Rys.3.38 Układ sterowania zbiornikiem z zastosowaniem regulatora rozmytego

Układ sterowania hipotetycznym zbiornikiem, zrealizowano w module Matlab/Simulink . Danymi wejściowymi do układu sterowania są :



  • dane konieczne do procesu optymalizacji,

  • rzeczywiste dopływy do zbiorników ( generatory liczb losowych)



Rys. 3.39 Charakterystyczne trajektorie dla zbiornika.
Regulator rozmyty realizuje poprawkę do sterowania optymalnego, która zależy od relacji dopływ prognozowany - dopływ rzeczywisty. Konsekwencją tego faktu jest dokładne nadążanie rzeczywistej trajektorii stanu zbiornika za trajektorią optymalną wynikającą z modelu optymalizacyjnego.

Dalsze symulacje komputerowe pracy regulatorów rozmytych w tym zakresie są równie zadawalające i spełniają przyjęte oczekiwania. Wyniki symulacji w pełni oddają i potwierdzają możliwość zastosowania ww. regulatorów w układach sterowania odpływami ze zbiornika.

Nasuwa się jedynie pytania jak ww. regulatory rozmyte będą się zachowywać w rzeczywistych warunkach tzn. w fizycznie istniejących układach regulacji odpływami ze zbiorników.

To pytanie kierowane jest głównie do konstruktorów układów automatyki którzy w trakcie realizacji takiego układu napotkają zapewne wiele trudności i nowych zagadnień, które nie są do uchwycenia w trakcie li tylko symulacji komputerowych.

Ostatnio w literaturze przedmiotu obserwuje się większe zainteresowanie preskryptywnym sterowaniem rozmytym, w którym zakłada się ścisły algorytm sterowania i nadrzędną funkcje celu, traktowaną jako ocenę zastosowanego sterowania. To podejście bliższe jest idei sterowania, które z założenia opiera się na znajomości procesu, celu i wymagań dotyczących sterowania.

Oba kierunki ( deskryptywny i preskryptywny ) są bardzo interesujące a w połączeniu z zastosowaniem sieci neuronowych i algorytmów genetycznych stanowią niezwykle silny i nowoczesny aparat w zakresie sterowania procesami technologicznymi i modelowania matematycznego.



3.3 Podsumowanie rozdziału 3

Rozdział 3 przedstawia schemat postępowania dotyczący polityki sterowania zrzutem ze zbiornika w okresach bieżącego sterowania oraz z uwzględnieniem okresów przyszłych (przekładających się na końcowe wypełnienie zbiornika x(T)), dla których wypełnienie końcowe w chwili T jest jednocześnie warunkiem początkowym dla dalszego okresu eksploatacji zbiornika.

Przedstawiono kilka problemów optymalizacyjnych dla różnie uformowanych wskaźników jakości oraz warunków brzegowych na trajektorii stanu zbiornika. Pokazano również przykłady dotyczące swobodnego czasu optymalizacji i sposobu uwzględniania ograniczeń stanu i sterowania.

Uzyskane w wyniku rozwiązań zadań optymalizacji m-o trajektorie sterowania i stanu , stanowią cenne wytyczne, które winny być brane pod uwagę przy sterowaniu zbiornikiem w czasie rzeczywistym.

Do dyspozytora (decydenta) obsługującego układ symulacji sterowania nadążnego zbiornikiem retencyjnym należy w szczególności ustalenie i uwzględnienie takich parametrów jak:


  • horyzontu optymalizacji T równego czasowi symulacji,

  • dopływu prognozowanego dla ,

  • ograniczeń sterowania i szerokości warstwy użytkowej,

  • różnych zestawów współczynników wagowych a, a,a także:

  • zainicjowanego na potrzeby symulacji rzeczywistego dopływu do zbiornika oraz ewentualnie niekontrolowanych dopływów ,

  • funkcji zapotrzebowania Y(t),

  • wartości warunków początkowego i wymaganego końcowego wypełnienia zbiornika

  • opcji sterowania: nadążanie za lub nadążanie za .

Po ustaleniu tych parametrów możliwe jest przeprowadzenie symulacji pracy zbiornika.

Przy użyciu proponowanego schematu postępowania, analiza odpowiednio dużego zbioru wyników (uzyskanych w drodze realizacji wielu zestawów danych) daje pogląd na możliwości wyrównawcze i alimentacyjne zbiornika, wyrażone np. gwarancją i deficytem spełnienia potrzeb aktualnych i przyszłych.

Układy symulacji cyfrowej przedstawione w pracy zrealizowane zostały w języku Matlab/Simulink. Z zastosowaniem odpowiednich generatorów układ umożliwia wprowadzenie dowolnych sygnałów, które traktowane są jako dopływy prognozowane, dopływy rzeczywiste, dopływy niekontrolowane, funkcja zapotrzebowania.



Przy wykorzystaniu opisanych schematów dyspozytor, przyjmując kolejne scenariusze, może szybko poznać odpowiedź na pytanie, jak będzie wyglądać gospodarka zasobami zbiornika w wyniku jego decyzji ustalającej parametry oraz w oparciu o wyznaczony przez algorytmy sterowania odpływ ze zbiornika . .



©snauka.pl 2016
wyślij wiadomość