Strona główna

Stanisław Heilpern Metody aktuarialne


Pobieranie 60.75 Kb.
Data17.06.2016
Rozmiar60.75 Kb.
Stanisław Heilpern

Metody aktuarialne

P. Kowalczyk, E. Poprawska, W. Ronka-Chmielowiec, Metody aktuarialne, PWN, W-wa 2006.

Modele aktuarialne, red. W. Ostasiewicz, Wyd. AE Wrocław, 2000,
Aktuariusz [łac. actuarius], specjalista zatrudniany głównie przez firmy ubezpieczeniowe. Stosując metody rachunku prawdopodobieństwa i statystyki, oblicza ryzyko wypadków losowych i wysokość związanych z tym składek ubezpieczeniowych, ustala wysokość tzw. rezerw finansowych, konstruuje tzw. tablice wymieralności i inne. (encyklopedia PWN)


  1. Ryzyko ubezpieczeniowe

Podstawowe pojęcia:

Niepewność.

Ryzyko – niepewność mierzona prawdopodobieństwem.

Ryzyko ubezpieczeniowe – ubezpieczona osoba lub przedmiot.

Niebezpieczeństwo – potencjalne zagrożenie.

Hazard – zespół warunków i okoliczności, w których realizuje się niebezpieczeństwo.

Ryzyko jest złożone, niejednorodne, zmienia się w czasie. Badając ryzyko powinniśmy uwzględnić czynniki na nie wpływające.
Hazard fizyczny – warunki zewnętrzne i cechy bezpośrednio wpływające na wzrost niebezpieczeństwa. Firmy ubezpieczeniowe zajmują się rozpoznaniem tego hazardu.

Hazard moralny – negatywne cechy osoby: nieuczciwość, defraudacja.

Hazard duchowy – subiektywna reakcja ubezpieczonego wywołana świadomością ochrony ubezpieczeniowej, mniejsza staranność i dbałość.
Ryzyko osobowe – życie, zdrowie, starzenie się, zdolność do pracy.

Ryzyko majątkowe – nieruchomości, mienie ruchome, działalność gospodarcza, wykonywanie zawodów, korzystanie z usług finansowych.


Ryzyko ubezpieczeniowe – przedmiot kontraktu ubezpieczeniowego.

Ubezpieczalne ryzyko powinno się charakteryzować losowością, mierzalnością i definiowalnością, powtarzalnością.

Ryzyko katastrofalne – jedną szkodą jest objęte wiele jednostek: powodzie, pożary, trzęsienia ziemi, itp.

2) Modele probabilistyczne

Ryzyko ma charakter losowy. Zmienna losowa X (ryzyko), opisuje ryzyko ubezpieczeniowe. Wartości szkód są zwykle opisywane za pomocą ciągłych zmiennych losowych, liczby szkód przez zmienne losowe dyskretne, a momenty występowania szkód przez zmienne losowe ciągłe lub dyskretne.

Charakterystyki ryzyka ubezpieczeniowego:

Wartość oczekiwana E(X) < ∞.

Wariancja, odchylenie standardowe V(X).

Mediana Me, kwantyle Q1, Q3.

Współczynnik skośności.

Procesy stochastyczne opisują zmianę ryzyka w czasie. Oznaczenie: Xt dla czasu ciągłego, Xn dla dyskretnego.


2.1) Rozkłady wartości szkód X > 0

Rozkład gamma: dystrybuanta G(x; α, β)

Gęstość:  dla x > 0, β > 0, α > 0,

gdzie ,  = n!.

Gdy α = 1 otrzymujemy rozkład wykładniczy, a dla α < 1 rozkłady opisujące małe szkody.



E(X) = αβ V(X) = β2α

Rozkład Pareta:  a, x > 0

Zmienne losowe o rozkładzie Pareta mogą opisywać szkody katastrofalne, ponieważ dla dostatecznie małych wartości parametru a występuje nieskończenie duża wartość oczekiwana, wariancja oraz tzw. „grube ogony”.



, dla a > 1 , dla a > 2.

Rozkład normalny X ~ N(μ, σ)

E(X) = μ, V(X) = σ2

Rozkład logarytmiczno-normalny Y ~ LN(μ, σ)

Logarytm zmiennej losowej o rozkładzie logarytmiczno-normalnym ma rozkład normalny. Zachodzi bowiem następująca zależność:



Y = eX,

gdzie zmienna losowa X ~ N(μ, σ).



, .
2.2) Modele liczby szkód

Niech N = 0, 1, 2, … będzie zmienną losową opisującą liczbę szkód. Jej rozkład można przedstawić wzorem:



P(N = k) = pk.

Rozkład dwumianowy

Portfel zawierający n jednorodnych rodzajów ryzyka (polis), w którym prawdopodobieństwo wystąpienia szkody w każdym z nich wynosi p można opisać zmienną losową o rozkładzie dwumianowym B(n; a). Wtedy



, gdzie q = 1 – p.

Jest to prawdopodobieństwo zdarzenia, że będzie dokładnie k szkód.



E(N) = np V(N) = npq.

W tym przypadku otrzymujemy zależność E(N) > V(N).



Rozkład Poissona

Jest to przybliżenie rozkładu dwumianowego stosowane dla dużej liczby polis n i małego prawdopodobieństwa wystąpienia szkody.



 dla k = 0, 1, 2,

gdzie λ = np.



E(N) = λ V(N) = λ.

Dla rozkładu Poissona mamy E(N) = V(N).



Rozkład ujemy dwumianowy

Rozkład ten stosujemy dla opisu liczby szkód gdy zachodzi E(N) < V(N).



, dla a > 0.

, .

Gdy a = 1, to otrzymujemy rozkład geometryczny o rozkładzie pk = pqk.



3) Model indywidualnego ryzyka

Przyjmijmy, że mamy portfel składający się z n polis. Interesuje nas suma odszkodowań pochodzących z tych polis. Zakładamy przy tym, że ryzyka Xi są niezależne, a z każdej polisy odszkodowanie może wystąpić co najwyżej raz. Model ten stosowany jest zwykle w ubezpieczeniach osobowych. Wtedy suma odszkodowań S przyjmuje postać:



S = X1 + X2 + … + Xn.

Wartość oczekiwana sumy odszkodowań i jej wariancja jest równa:



E(S) = E(X1) + E(X2) + … + E(Xn),

V(S) = V(X1) + V(X2) + … + V(Xn).

Często przyjmujemy, że



Xi = IiBi,

gdzie Bi > 0 oraz



Oznaczmy symbolem qi prawdopodobieństwo wystąpienia szkody w polisie i, wtedy



qi = P(Ii = 1) = 1 – pi.

Dystrybuanta zmiennej losowe Xi opisana jest wzorem



Fi(x) = piδ0(x) + 

gdzie


Podstawowe parametry sumy S wynoszą:





Trudno znaleźć analityczną, dokładną postać rozkładu sumy S nawet gdy znamy rozkłady składowych Xi o dystrybuancie Fi i gęstości fi. Można natomiast skorzystać z pojęcia splotu *. Gęstość S dla dwóch składników jest równa



a w przypadku dyskretnym:



Dla sumy n składowych o tym samym rozkładzie korzystamy ze wzoru rekurencyjnego



f*n = (…(f  f)  … )  f.

Można też skorzystać z funkcji tworzącej momenty



MS(z) = EezS = 

oraz również ze wzorów rekurencyjnych.

Dla dużej liczby składowych n sumę S można, korzystając z centralnego twierdzenia granicznego, przybliżyć rozkładem normalnym o wartości oczekiwanej μ = m1 + m2 + … + mn i wariancji σ2 = s12 + s22 + … + sn2, gdzie mi = E(Xi), si2 = V(Xi).

Przykład 1.

Mamy n = 100 polis, szkody X mają ten sam rozkład o wartości oczekiwanej m = 8, wariancji s2 = 9, a prawdopodobieństwo wystąpienia szkody q = 0,1. Wtedy E(S) = nmq = 100·8·0,1 = 80, V(S) = nq(m2ps2) = 100·0,1(64·0,9 – 9) = 486, . Zmienną losową S przybliżamy rozkładem normalnym N(80; 22,05). Można w sposób przybliżony obliczyć np. prawdopodobieństwo zdarzenia, że suma odszkodowań jest większa niż 150 jednostek pieniężnych:



P(S > 150) ≈ P(T > 3,17) ≈ 0,

gdzie T jest zmienną losową o rozkładzie normalnym standardowym N(0; 1).


4) Model ryzyka kolektywnego

Portfel składa się z polis i jest rozpatrywany w całości, czyli nie identyfikuje się polisy z których pochodzi roszczenie. Model stosowany zwykle w ubezpieczeniach majątkowych.

Całkowita suma roszczeń w danym okresie (0, t] jest określona wzorem:

S(t) = X1 + X2 + … + XN(t),

Gdzie zmienna losowa N(t) jest liczbą roszczeń Xi w okresie (0, t]. W modelu tym przyjmujemy, że zmienne losowe X1, X2, … są niezależne o tym samym rozkładzie z dystrybuantą FX, wartością oczekiwaną m i wariancją σ2 oraz są niezależne od N(t).

Suma S(t) jest zmienną losową złożoną. Jej dystrybuanta opisana jest wzorem:

,

gdzie pk = P(N(t) = k) oraz Sk = X1 + X2 +… + Xk, a wartość oczekiwana i wariancja przyjmują prostą postać:



E(S(t)) = mE(N(t)), V(S(t)) = σ2E(N(t)) + m2V(N(t)).

Złożony rozkład Poissona

Przyjmijmy założenie, że liczba szkód N(t) ma rozkład Poissona z parametrem λt, czyli



Parametr λ nazywamy intensywnością. Wtedy



E(N(t)) = V(N(t)) = λt.

Oznaczmy kolejne momenty roszczeń jako ciąg zmiennych losowych 0 < T1 < T2 < …. Wtedy okresy między roszczeniami Wi spełniają zależności



W1 = T1, W2 = T2T1, … , Wn = TnTn-1, … .

Dla procesu Poissona okresy Wn są niezależne i mają rozkład wykładniczy ze średnią 1/λ, tzn. dystrybuanta Wn wynosi:



FW(x) = 1 – e-λx.

Ponadto zachodzi zależność



Gdy proces liczący szkody N(t) jest procesem Poissona, to mówimy, że suma odszkodowań S(t) ma złożony rozkład Poissona z parametrami:



E(S(t)) = mλt, V(S(t)) = (σ2 + m2)λt.

Przykład 2. Niech wartość oczekiwana szkód m = 15 tys. zł, odchylenie standardowe σ = 3 tys. zł, intensywność λ = 4. Wtedy wartość oczekiwana sumy odszkodowań dla t = 5 wynosi E(S(t)) = 15·4·5 = 600 tys. zł, a odchylenie standardowe  tys. zł.
Przybliżenia złożonego rozkładu Poissona.

Podobnie jak dla modelu indywidualnego ryzyka, w przypadku modelu kolektywnego na ogół nie można znaleźć dokładnego rozkładu sumy odszkodowań S(t). Korzysta się wtedy z przybliżeń.

Na początku omówimy pojęcia momentów zwykłych i centralnych. k-ty moment zwykły mk określamy wzorem

mk = E(Xk).

Najczęściej wykorzystuje się trzy pierwsze momenty: m1 = E(X), m2 = E(X2) oraz m3 = E(X3).

Natomiast k-ty moment centralny jest równy

μk = E(Xm1)k.

Drugi moment centralny



μ2 = E(XE(X))2 = V(X) = E(X2) – (E(X))2

jest wariancją zmiennej losowej X. Ponadto zachodzą następujące zależności wiążące pierwsze momenty zwykłe i centralne:



μ2 = m2m12 μ3 = m3 – 3m2m1 + 2m12.

Symbole mk,X oraz mμ,X oznaczać będą odpowiednie momenty dla zmiennej losowej X.

W przypadku gdy suma odszkodowań S(t) ma złożony rozkład Poissona to pierwsze jej momenty centralne wynoszą

μ2,S(t) = λtm2,X μ3,S(t) = λtm3,X.


  1. Przybliżenie rozkładem normalnym Z.

Przybliżamy sumę odszkodowań S(t) dla ustalonego t zmienną losową Z o rozkładzie normalnym. Przyjmujemy, że zachodzi równość dwóch momentów, czyli

m1,S(t) = m1,Z μ2,S(t) = μ2,Z.

  1. Przybliżenie przesuniętym rozkładem gamma

Przybliżamy sumę S(t) zmienną losową Z o dystrybuancie G(xx0; α, β), zachodzi wtedy zgodność trzech momentów:

m1,S(t) = m1,Z, μ2,S(t) = μ2,Z, μ3,S(t) = μ3,Z.

Znając wartości momentów szkód Xi oraz korzystając z własności momentów i złożonego rozkładu Poissona możemy wyznaczyć wartości parametrów przesuniętego rozkładu gamma. Są one odpowiednio równe:



  

Przykład 3.

Niech t = 1, szkody X mają rozkład wykładniczy o wartości oczekiwanej m = m1,X = 2, a intensywność procesu Poissona λ = 3. k-ty moment zwykły rozkładu wykładniczego jest równy mk,X = mkk!. Wtedy momenty szkód X i sumy odszkodowań są równe:



m2,X = 8 m3,X = 23·3·2 = 48

m1,S = 2·3 = 6 μ2,S = 8·3 = 24 μ3,S = 48·3 = 144.

Sumę odszkodowań S możemy wtedy przybliżyć rozkładem normalnym N(6; 4,899). Przykładowo P(S < 10) ≈ 0,793. Natomiast przybliżając przesuniętym rozkładem gamma z parametrami:



x0 = 3(2 - 2·64/48) = -2, α = 4·3·512/2304 = 2,6667, β = 48/(2·8) = 3,

czyli z dystrybuantą G(x + 2; 2,6667; 3), otrzymujemy P(S < 10) ≈ G(12; 2,6667; 3) = 0,818.



  1. Symulacja

Wartości zmiennej losowej S(t) możemy wygenerować stosując następującą procedurę:

  1. Wygenerować liczbę szkód k na odcinku [0; t].

  2. Wygenerować wartości x1, x2, … , xk z rozkładu X.

  3. Obliczyć si = x1 + x2 + … + xk.

Procedurę powtarzamy np. n = 10000 razy. Wartości s1, s2, …, sn są wtedy wygenerowane z rozkładu S(t). Na ich podstawie otrzymujemy rozkład empiryczny, histogram oraz obliczamy E(S(t)), V(S(t)).

Podczas generowania wartości zmiennych losowych, np. X, wykorzystujemy własność, że FX(X) = U, gdzie zmienna losowa U ma rozkład jednostajny na [0; 1], czyli X = FX-1(U). Gdy X ma rozkład wykładniczy, czyli FX(x) = 1 – e-βx, to FX-1(u) = .


©snauka.pl 2016
wyślij wiadomość