Strona główna

Studia zaoczne


Pobieranie 46.2 Kb.
Data18.06.2016
Rozmiar46.2 Kb.
PAŃSTWOWA WYŻSZA SZKOŁA ZAWODOWA

W PILE


STUDIA ZAOCZNE

KIERUNEK: ELEKTROTECHNIKA Z ELEKTRONIKĄ


TEMAT: LICZBY ZESPOLONE


  1. Konstrukcja ciał liczb zespolonych.

    1. Interpretacja algebraiczna.

Rozważmy płaszczyznę z prostokątnym układem współrzędnych oraz zbiór



C = R x R = ( a, b): a, b  R .

W zbiorze tym wprowadźmy dwa działania:  oraz  .

Są to odpowiednio działania dodawania i mnożenia zdefiniowane w następujący sposób:
( a, b) ( c, d ) = ( a + c, b + d )

(a, b) (c, d) = (ac - bd, ad + bc)
Obydwa te działania są wewnętrzne w C, co oznacza, że wynikiem zarówno dla wyżej określonego dodawania, jak i mnożenia par liczb rzeczywistych jest również para liczb rzeczywistych.

Prostym do udowodnienia faktem jest również łączność i przemienność zdefiniowanych działań.

Dla dodawania własności te wynikają bezpośrednio z łączności i przemienności liczb rzeczywistych:

Łączność:



[(a, b) (c, d)] (e, f) = (a + c, b + d) (e, f) =

= [(a +c) + e, (b + d) + f] = [ a +(c + e), b + (d + f)] =

= (a, b) (c + e, d + f) = (a +b) [(c, d) (e, f)]

Przemienność:



(a, b) (c, d) = (a +c, b +d) = (c + a, d +b) = (c, d) (a, b)

W sposób mniej oczywisty można również udowodnić łączność i przemienność mnożenia:

Łączność:

[(a, b) (c, d)] (e, f) = [( a c- b d)e - (a d + d c)f, (a c -b d)f + (a d + b c)e] =

= (a c e - b d e - a d f - b c f, a c f - b d f + a d e + b c e)
(a, b) [(c, d) (e, f)] = (a, b) x (c e - d f, c f + d e) =

= ( a c e - a d f - b c f - b d e, a c f + a d e + b c e - b d f) =

= ( a c e - b d e - a d f - b c f, a c f - b d f + a d e + b c e)

Przemienność:



(a, b) (c, d) = ( a c - b d, a d +b c) = ( c a - d b, d a + c b) = (c, d) (a, b)
Elementem neutralnym dla działania  jest para (0,0):

(a, b) + (0,0) = ( a + 0, b + 0) = (a, b);

zaś elementem przeciwnym do pary (a, b) jest para (-a, -b) :



(a, b) + (-a, -b) = (a-a, b-b) = (0,0)

E
lementem neutralnym dla działania  jest para (1, 0):




Zaś elementem odwrotnym do pary para :









    1. Interpretacja geometryczna:

Niech X= (a, b) oraz Y= (c, d) będą punktami płaszczyzny wyznaczonymi przez wektory odpowiednio oraz .

Sumę punktów X i Y w sposób geometryczny wyznaczamy, konstruując sumę wektorów

i .















Iloczyn punktów wyznaczamy, konstruując wektor o długości równej iloczynowi długości wektorów i oraz kącie nachylenia do osi X równym sumie kątów nachylenia wektorów oraz .




























  1. Liczby zespolone.

Liczbą zespoloną nazywamy parę uporządkowaną liczb rzeczywistych (a, b), przy czym działania  i  określane są w sposób przedstawiony w punkcie 1.1.


R
ozważmy następującą okoliczność:
bo wiemy, że liczba postaci (a, 0) jest liczbą rzeczywistą a.

S
tąd otrzymaliśmy, że:

P
rzyjmijmy więc oznaczenie:

O
trzymujemy związek:

M
ożemy więc zapisać:
Otrzymaną w ten sposób postać liczby zespolonej nazywamy postacią algebraiczną.


    1. Działania na liczbach zespolonych.

Zdefiniowane w punkcie 1.1. działania  i  możemy utożsamić ze znanymi nam działaniami dodawania i mnożenia, przenosząc je na ciało liczb zespolonych.

Określając dla tych działań elementy neutralne oraz odwrotny dla mnożenia i przeciwny dla dodawania, wykazaliśmy, iż działania odejmowania i dzielenie są również wykonywalne w ciele liczb zespolonych.

Przykład 1.


Oblicz:
Przykład 2.


Rozwiąż równania:

1)



2)


Brak pierwiastków rzeczywistych




    1. Inne ważne pojęcia.




      1. Część rzeczywista i urojona liczby rzeczywistej.

Niech z = a + bj ; a,bR

a - nazywamy częścią rzeczywistą liczby zespolonej z i oznaczamy Re(z);

b - nazywamy częścią urojoną liczby zespolonej z i oznaczamy Im(z);














O
czywiste jest, że:




      1. Modułem liczby zespolonej nazywamy liczbę rzeczywistą nieujemną

. Moduł oznaczamy symbolem .

      1. Niech .

Liczbę nazywamy liczbę sprzężoną do liczby z.
Z
auważmy, że:

Sprawdźmy:






      1. Argumentem liczby zespolonej nazywamy kąt , jaki tworzy wektor 0P z dodatnim zwrotem osi liczb rzeczywistych x.

Oznaczamy go przez .

















Każda liczba zespolona ma nieskończenie wiele argumentów różniących się o 2.

Argumentem głównym liczby zespolonej z nazywamy taki argument, który spełnia nierówność . Oznaczamy go .


    1. Postać trygonometryczna liczby zespolonej.















Niech z = a + bj.

P
odzielmy i jednocześnie pomnóżmy tę liczbę przez - moduł.

Z

auważmy, że:

P
onadto:

c
zyli



Na mocy wzoru jedynkowego oraz twierdzenia:

"Jeśli dane są dwie liczby rzeczywiste p, q takie, że , to istnieje taka liczba x, że sin x = p i cos x = q" możemy wyciągnąć wniosek, iż:

p
rzy czym:

Interpretacja geometryczna wskazuje, iż  jest to kąt punktu z, a dokładniej miara łukowa tego kąta.

Ostatecznie więc liczbę zespoloną możemy zapisać w postaci trygonometrycznej:




      1. Działania na postaci trygonometrycznej liczby zespolonej.




        1. Mnożenie.

N
iech





        1. Dzielenie.

N
iech





        1. Potęgowanie.

D
la we wzorze na mnożenie liczb zespolonych otrzymujemy:

O
gólnie, co można dowieść przez indukcję, otrzymujemy:

W
szczególności dla , otrzymujemy wzór de Moivre'a:


        1. Pierwiastkowanie.

Niech


Załóżmy, że istnieje liczba zespolona w taka, że .

L
iczba w musi być postaci:

a
zatem:

co jest możliwe wtedy i tylko wtedy, gdy:



Tak więc, jeśli istnieją pierwiastki stopnia n z liczby z, to muszą mieć one taką właśnie postać.

Pierwiastków stopnia n z liczby z jest dokładnie n, przy czym wszystkie otrzymamy podstawiając w uzyskanych wzorach kolejno k = 0,1,2, ..., n-1.

Przykład 3.




Oblicz:

Przykład 4.




Oblicz:

Opracował: Marcin Chojan

e-mail: marcin.chojan@wp.pl






©snauka.pl 2016
wyślij wiadomość