Strona główna

Twierdzenie regiomontana.* Tytułowe twierdzenie znane jest również jako twierdzenie tangensów


Pobieranie 15.04 Kb.
Data19.06.2016
Rozmiar15.04 Kb.
TWIERDZENIE REGIOMONTANA.*
1. Tytułowe twierdzenie znane jest również jako twierdzenie tangensów. Na lekcjach geometrii w szkole średniej uczniowie poznają twierdzenia : sinusów i cosinusów, ale na zajęciach dodatkowych, np. kółkach matematycznych warto zapoznać wybrańców także z tytułowym twierdzeniem, gdyż jest ono bardzo użyteczne i dogodne do rozwiązywania trójkątów, gdy mamy dane dwa boki trójkąta i kąt zawarty między nimi.
2. Treść twierdzenia Regiomontana.
W każdym trójkącie stosunek różnicy długości dwóch boków do ich sumy jest równy stosunkowi tangensa połowy różnicy przeciwległych im kątów do tangensa połowy sumy tych kątów.

, , .

Wzory zapisano stosując powszechnie używane, standardowe oznaczenia trójkąta tzn. bok o długości a leży naprzeciwko kąta α itd.


3. Przykład zastosowania (geometria).
Oblicz długość trzeciego boku trójkąta i dwa pozostałe jego kąty, wiedząc, że :
a = 22,84 , b = 19,52 , γ = 108˚43΄.
Rozwiązanie.

Obliczamy najpierw : a + b = 22,84 + 19,52 = 42,36 oraz a – b = 22,84 - 19,52 = 3,32. .

Z twierdzenia tangensów mamy : , skąd : . Kąty α i β obliczymy rozwiązując układ równań : . Otrzymamy : α = 38˚52΄ , β = 32˚26΄ . Bok c obliczymy z twierdzenia sinusów : .
4. Dowód twierdzenia Regiomontana.
Korzystając ze znanego twierdzenia sinusów wyznaczamy : a = 2Rsinα , b = 2Rsinβ . Utwórzmy teraz stosunek różnicy dwóch boków a i b do ich sumy :
. Po skorzystaniu ze wzorów na różnicę i sumę sinusów kątów otrzymamy :

.

W podobny sposób dowodzi się pozostałe dwie równości.




  1. Przykład zastosowania (fizyka).

Obliczyć, pod jakim kątem pada promień światła na powierzchnię wody, jeżeli promień załamany jest odchylony od promienia padającego o kąt δ=12˚. Współczynnik załamania η=.



Rozwiązanie.

Na podstawie prawa załamania mamy : . Zatem : . Ponieważ α – β = δ = 12˚ , więc , skąd , czyli


α + β = 72˚40΄ . Kąt α obliczymy rozwiązując układ równań : , skąd otrzymamy :α = 42˚20΄ .

α

δ
β

  1. Zadania do samodzielnego rozwiązania (z zastosowaniem tw. tangensów).




    1. Oblicz miary kątów α i β , wiedząc, że α – β = 20˚ oraz .

    2. Rozwiąż trójkąt mając dane : c = 12,6 ; b = 18,6 ; α = 37˚ .

    3. Rozwiąż układ równań :.

Wskazówka : ,

a także .

D. Zagadnienie Pothenota.

Na płaskim terenie dane sa trzy niedostępne punkty A, B, C. Z mapy odczytano
odległości BC = a = 438,6 m , AC = b = 325,7 m , kąt ACB = φ = 125˚35’ .
Obserwator znajdujący się w punkcie P zmierzył kąty zawarte między
półprostymi poprowadzonymi z punktu P do danych punktów A, B, C, które
wynoszą : kąt APC = α = 36˚25’ , kąt BPC = β = 41˚53’ . Oblicz odległość
punktu P od punktów A, B, C (patrz rysunek).
P



α β

y B

A x

a

b

φ

C

Wskazówka: zastosuj tw. sinusów w trójkątach ACP i BCP. Potrzebne kąty x (w wierzchołku A) i y (w wierzchołku B) można znaleźć z układu równań , co po wstawieniu danych prowadzi do układu . Tu zastosuj tw. tangensów (taki układ już był w przykładzie z fizyki).

Alicja Napiórkowska (LO Rumia)

Kazimierz Napiórkowski (LO Reda)

___________________________________________________________________________



*)Artykuł ukazał się w ogólnopolskim czasopiśmie dla nauczycieli „Matematyka” nr 5 wrzesień/październik 2005


©snauka.pl 2016
wyślij wiadomość