Strona główna

Ćwiczenie Analiza widmowa sygnałów okresowych


Pobieranie 63.13 Kb.
Data19.06.2016
Rozmiar63.13 Kb.

Laboratorium Podstaw Teorii Sygnałów 2009



Ćwiczenie 3.

Analiza widmowa sygnałów okresowych.

    1. Wyznaczanie widma amplitudowo-fazowego sygnałów okresowych.

W wielu zastosowaniach praktycznych ale także i w teorii, potrzebne jest przedstawienie sygnału zmiennego w czasie na skali częstotliwości. Dla dowolnych sygnałów analogowych takim przekształceniem jest transformacja Fouriera. W zakresie funkcji okresowych spełniających kryteria Dirichleta takim narzędziem jest szereg Fouriera.

    1. Postacie Szeregu Fouriera .

Szeregiem Fouriera okresowej funkcji x(t) nazywamy wyrażenie:

(1)

gdzie .

Współczynniki trygonometrycznego szeregu Fouriera można wyznaczyć z zależności:

(2)

(3)

(4)

gdzie t0 jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Wzór (1) można zapisać w dogodniejszej postaci, umożliwiającej graficzną prezentację częstotliwościowych właściwości sygnału okresowego:

(5)

Składowe szeregów (1) i (5) nazywane są harmonicznymi, n-ta harmoniczna jest funkcją sinusoidalną o amplitudzie , fazie i pulsacji (częstotliwości kołowej) , (2) jest harmoniczną zerową (składową stałą). Pierwsza harmoniczna:



(6)

nazywana jest podstawową, a pulsacja nazywana jest pulsacją podstawową.

Amplitudy i fazy poszczególnych harmonicznych wyznaczamy z zależności:

(7)

(8)

Oprócz standardowych postaci (1) i (5) szeregu Fouriera istnieje jeszcze jedna, niezwykle ważna, zwana postacią zespoloną lub wykładniczą:


(9)

gdzie


. (10)

Związek między współczynnikami zespolonymi szeregu Fouriera sygnału x(t) a współczynnikami postaci (5) jest następujący:


. (11)

Widmem amplitudowym sygnału okresowego nazywamy wykres przedstawiający amplitudy kolejnych harmonicznych w funkcji numeru harmonicznej. Widmem fazowym natomiast nazywamy wykres przedstawiający fazy (w radianach lub stopniach) kolejnych harmonicznych w funkcji numeru harmonicznej. Dokładne widmo amplitudowo-fazowe (lub po prostu widmo) wyznaczyć można znajdując funkcyjny związek między amplitudą i fazą n-tej harmonicznej a parametrami badanego sygnału. Służą temu całkowe wzory (2), (3), (4) oraz zależności (7) i (8).


    1. Komputerowe wyznaczanie współczynników.

Numeryczne wyznaczanie współczynników szeregu Fouriera wymaganych do wykreślenia widma sygnału okresowego może być przeprowadzone na wiele sposobów. Matlab posiada w zbiorze procedur matematycznych funkcję obliczania całki oznaczonej jawnie zdefiniowanej funkcji. Można też spróbować wyznaczyć postaćogólną współczynników stosując całkowanie symboliczne (nie mylić z zespolonym).

Rys.1. Model z programu Simulink do wyznaczania współczynników szeregu Fouriera.

Jeśli jednak Chcemy mieć kontrolę nad numerycznym obliczaniem współczynników należ napisać własne procedury całkowania funkcji występujących we wzorach (2)-(4). Najprostsze algorytmy numeryczne realizujące obliczanie wartości całek oznaczonych to metody oparte na tzw. wzorach prostokątów (12) i trapezów (13):



. (12)

. (13)

Powyższe wzory umożliwiają przybliżone obliczenia całki oznaczonej z funkcji f(x) w przedziale [a b] jeśli znamy wartości funkcji we wszystkich punktach:

(14)


      1. Implementacja w programie Matlab.

Podstawą m-pliku (skryptu lub funkcji) wyznaczającego numerycznie współczynniki szeregu Fouriera jest algorytm całkowania numerycznego (prostokątów, trapezów lub inny) operujący na spróbkowanych (z określoną częstotliwością) funkcjach podcałkowych z wzorów (2)-(3). Konieczne jest także prawidłowe zdefiniowanie (w oddzielnym pliku) funkcji okresowej przedstawionej na Rys.1. Efektem działania programu winien być zarówno zbiór wartości współczynników (potrzebny do wypełnienia Tabeli 1 jak i wykres widma sygnału. Podobny efekt otrzymamy realizując model Simulinka zawierający odpowiednie generatory sygnałów, bloki całkowania oraz wyświetlania wyników. Przykładową realizację algorytmu numerycznego wyznaczania składowej stałej i 1-szej harmonicznej przedstawiono na Rys.1.


      1. Zastosowanie DFT (FFT).

Komputerowa analiza sygnałów analogowych wymaga ich dyskretyzacji. Należy się więc spodziewać, że narzędzia typowe do analizy sygnałów dyskretnych będą nadawać się również w przypadku analizy okresowych sygnałów analogowych. Porównanie wzorów na wykładniczą postać szeregu Fouriera (9) z definicyjnym wzorem IDFT (odwrotnej dyskretnej transformaty Fouriera) prowadzi do spostrzeżenia, że istnieje precyzyjny związek między prążkami widma transformaty DWT a współczynnikami zespolonego szeregu Fouriera. Nie wchodząc w szczegóły dowodu, można stwierdzić, że gdy przedział próbkowania okresowego sygnału analogowego jest całkowitą wielokrotnością okresu badanej funkcji to istnieje możliwość dokładnego wyznaczenia współczynników szeregu Fouriera tejże funkcji na podstawie wyznaczenia N-punktowej transformaty DFT (w praktyce stosuje się jedynie algorytm FFT) spróbkowanej funkcji okresowej. Ze względu na symetrię transformaty DFT (FFT) można obliczyć jedynie N/2 harmonicznych. Jeśli przyjmiemy, że częstotliwość próbkowania badanego przedziału funkcji okresowej wynosi (próbek/s) i zastosujemy N-punktową transformatę DFT do zbioru wszystkich wyznaczonych wartości dyskretnych badanego przedziału {xm}, to częstotliwość podstawową (1-szej harmonicznej) możemy wyznaczyć jako:

. (15)

Częstotliwości kolejnych prążków widma DWT (czyli kolejnych harmonicznych szeregu) obliczamy z zależności:



. (16)

Składową stałą oraz amplitudy kolejnych harmonicznych (do i=N/2 włącznie) wyznaczamy z relacji:



. (17)

Fazy początkowe harmonicznych obliczamy na podstawie argumentów elementów szeregu {Xn}.



        1. Implementacje komputerowe.

Implementacja komputerowa powyższej koncepcji w Matlabie wymaga dyskretyzacji badanej funkcji za pomocą N próbek (najlepiej jeden okres). Ze względu na stosowanie polecenia FFT(x) należy wybrać N=2m (8,16,32,…). Wydruk wyników powinien zawierać zarówno obliczone współczynniki jak i widmo przebiegu.

Także i w tym przypadku problem można rozwiązać stosując odpowiedni model stworzony w programie Simulink. Przedstawiony na Rys.2 schemat realizuje dokładnie koncepcję omówioną w Rozdziale (1.3.2).





Rys.2. Model z programu Simulink do wyznaczania współczynników szeregu Fouriera metodą FFT.
Rys.3.Parametry bloków.



  1. Zadania do wykonania

    1. Wyznacz dokładną charakterystykę amplitudowo-fazową sygnału pokazanego na Rys.A (dla danych podanych przez prowadzącego):

korzystając z wzorów wyznacz wartości współczynników szeregu Fouriera a następnie oblicz dokładnie (z podwójną precyzją) wartość składowej stałej oraz amplitudy i fazy początkowe dziesięciu kolejnych harmonicznych. Wyniki zanotuj w Tabeli1. (Wykorzystaj wyprowadzony przez siebie wzór ogólny dla współczynników!!!)

    1. Korzystając z dowolnej metody całkowania numerycznego i narzędzi programu Matlab wyznacz współczynniki szeregu Fouriera i widmo amplitudowo-fazowe sygnału okresowego z Rys.A. Wyniki zamieść w Tabeli 1. Odpowiednie m-pliki (z komentarzami) lub m-modele wklej do sprawozdania

Uwaga: Zastosuj implementację m-plikową algorytmu trapezów lub model całkowania dostępny w Simulinku.

    1. Wykorzystując transformatę FFT (i informacje z Rozdziału 1.3.2) napisz m-plik lub zaprojektuj model w programie Simulink wyznaczający widmo amplitudowo-fazowe podanego sygnału. Wyniki zamieść w Tabeli 1, kod programu lub model programu Simulink wklej do sprawozdania.

Uwaga: Starannie dobierz częstotliwość próbkowania!

    1. Zaprojektuj w Simulinku syntetyzator sygnałów okresowych. Dokonaj syntezy analizowanego sygnału wykorzystując trzy, pięć i dziesięć harmonicznych. Zamieść odpowiednie wykresy. Oceń błąd (maksymalny błąd względny) dla każdej z analizowanych aproksymacji. Wyniki zamieść w zaprojektowanej przez siebie tabeli.


Tabela.1


METODA

Współczynniki

Dokładna (analityczna)

Całkowanie numeryczne

Algorytm wykorzystujący FFT

A0










A1










Q1










A2










Q2










A3










Q3










A4










Q4










A5










Q5










A6










Q6










A7










Q7










A8










Q8










A9










Q9










A10










Q10












  1. Bloki funkcjonalne Simulink stosowane w ćwiczeniu:

Symbol

Opis bloku

Toolbox (gdzie szukać)



Generator sygnału sinusoidalnego

Simulink Sources



Monitor sygnału lub sygnałów

Okresowych



DSP Sinks



Oscyloskop

DSP Sinks




Operacja skalarnego mnożenia sygnałów

Math Operations



Operacja dzielenia dwóch sygnałów

Math Operations



Monitor wyniku liczbowego – wyświetlacz numeryczny

DSP Sinks



Generator sygnału prostokątnego, sinusoidalnego, piłokształtnego i szumu

Simulink Sources



Generator sygnału okresowego o dowolnym odcinkowo-liniowym kształcie

Simulink Sources



Sumator sygnałów

Math Operations



Multiplekser

Math Operations



Generator sygnału stałego

Simulink Sources



Wzmacniacz sygnału

Math Operations



Generator sygnału prostokątnego

Simulink Sources



Blok obliczania całki sygnału

Math Operations



Bufor

SPBSignal Menagement Buffers



Blok zamiany liczby zespolonej na postać wykładniczą (moduł+argument)

Math Operations




Rys.A



Zakład Elektrotechniki Teoretycznej PŁ

copyrights mhonwia




©snauka.pl 2016
wyślij wiadomość