Ćwiczenie nr

Czujniki przetwarzające wielkości fizyczne dostarczają zwykle sygnału ciąg­łego x(t), który przez próbkowanie jest sprowadzany do postaci dyskretnego sze­regu czasowego próbek x(it). Następnie - w procesie kwantyzacji - próbkom nadawana jest dyskretna wartość liczbowa x_k(it). Sygnał spróbkowany i skwan­towany jest nazywany sygnałem cyfrowym. Rozdzielczość i szybkość prze­twa­rza­nia analogowo-cyfrowego ma zasadnicze znaczenie w pomiarach cyfro­wych. W oscyloskopach cyfrowych stosuje się szybkie przetworniki o częstotli­wości próbkowania do 2 GS/s, ale o małej rozdzielczości, zwykle 8-bitowe. W niektó­rych multimetrach cyfrowych można wybierać liczbę wyświetlanych cyfr wyniku i np. przy rozdzielczości 4 1/2 cyfry (16 bitów) można wykonać 100 000 pomia­rów na sekundę, a przy rozdzielczości 8 1/2 cyfry (29 bitów) - tylko 6 pomiarów na sekundę. Komputerowe karty pomiarowe są wyposażone najczęściej w prze­two­r­­niki 12-bitowe o częstotliwości próbkowania od 100...250 kS/s lub - znacz­nie droższe - do 5 MS/s; produkowane są również przetworniki 16-bitowe o czę­stotliwości 100 kS/s.

Pobieranie próbek z sygnału badanego może być dokonywane tylko w skończonym przedziale czasu. Czas ten jest wyznaczony przez długość okna pomiarowego (wy­cinającego). Jeżeli długość okna pomiarowego T_W dobierzemy równą okreso­wi badanego sygnału T i zastosujemy okres próbkowania T_S = T_W/M, to otrzyma­my M próbek o wartościach: x(0), x(T_S), x(2T_S),... x[(M-1)T_S], które pozwolą uło­żyć układ M równań, zawierających poszukiwany, skończony szereg Fouriera. Rozwiązując ten układ równań możemy obliczyć współczynniki tego szeregu, czy­­li składową stałą a₀ = A₀ oraz N = M/2 - 1 harmonicznych, złożonych ze skła­dowych a_n, b_n lub opisanych przez amplitudę A_n i fazę _n

(19.1)

W praktyce współczynniki składowych harmonicznych wyznacza się transformu­jąc M punktowy ciąg próbek x(mT_S) w M punktowy ciąg dyskretny w dziedzinie częstotliwości (dyskretna transformata Fouriera DFT)

(19.2)

gdzie: n = 0, 1, 2, ..., M - 1, f_W = 1/T_W.

Odtworzenie szeregu czasowego próbek uzyskuje się przez odwrotną dyskretną transformatę Fouriera

(19.3)

Do wyznaczenia amplitud i kątów fazowych N harmonicznych wystarczy znajo­mość połowy ciągu X(nf_W), gdyż druga połowa składa się z wartości sprzężonych z pierwszą połową (z wyjątkiem X(M/2) = 0):

(19.4)

(19.5)

(19.6)

(19.7)

(19.8)

gdzie n = 1, 2, ..., N.

Jeżeli liczba próbek jest równa potędze liczby 2, M = 2^l, to można zasto­sować algorytm szybkiej transformaty Fouriera FFT, który przykładowo dla M = 1024 daje ponad 100-krotne zmniejszenie liczby wykonywanych mnożeń.

Widmo częstotliwościowe sygnału X(nf_W) jest przedstawiane w postaci dwóch wykresów: widma amplitudy A_n(f) i widma fazy _n(f). Rozdzielczość czę­stotliwościowa tych widm wynosi f_W i dla T_W = T₁ równa się częstotliwości pod­stawowej harmonicznej f_W = 1/T₁ = f₁. Jeżeli okno pomiarowe obejmuje całkowitą liczbę p okresów sygnału T_W = pT₁, to wartość f_W = 1/pT₁ = f₁/p zmniejsza się, czy­li gęstość prążków w widmach rośnie. Możliwy jest wówczas pomiar para­me­trów sub- i interharmonicznych. Szerokość okna T_W = MT_S = M/f_S można powię­kszyć przez zwiększenie liczby próbek M lub/i zmniejszenie częstotliwości prób­kowania f_S, przy czym obie te wielkości należy dobierać w ten sposób, aby liczba okresów p była liczbą całkowitą. Z zależności T_W = p/f₁ = M/f_S wynika wzór na f_S

(19.9)

Jeżeli liczba okresów w oknie nie jest całkowita, to rozdzielczość widma nie stanowi podwielokrotności harmonicznej podstawowej i każdej harmonicznej od­po­wiada kilka prążków widma (rys. 19.1). Dokładny pomiar tych harmonicz­nych nie jest możliwy.

0. 
   częstotliwość próbkowania f_S jest większa od podwojonej częstotliwości f_g,
   
1. 
   badany sygnał nie zawiera harmonicznych o częstotliwościach większych od połowy częstotliwości próbkowania.
   

(19.10)

gdzie i jest liczbą całkowitą spełniającą nierówność

(19.11)

Pomierzona harmoniczna f_p może zatem zawierać w sobie wszystkie harmoniczne określone zależnością

(19.12)

Zjawisko nakładania się (odbicia) widm (ang. aliasing) jest przedstawione grafi­cznie na rys. 19.2 w dziedzinie czasu i na rys. 19.3 w dziedzinie częstotliwości. Z pierwszego rysunku wynika, że sygnał złożony z dwóch sinusoid o częstotliwo­ś­ciach 150 Hz i 250 Hz, próbkowany z częstotliwością 200 Hz, jest odczytywa­ny jako sinusoida o częstotliwości 50 Hz. Drugi rysunek obrazuje odbijanie się wyż­szych harmonicznych od barier ustawionych na częstotliwościach 0 i f_S/2.

Rys. 19.2. Zjawisko nakładania się harmonicznych

Przykład

W cyfrowych przetwornikach dźwięku częstotliwość próbkowania wynosi f_S = 44,1 kHz, co w stosunku do granicznej, słyszalnej częstotliwości f_g = = 20 kHz daje współczynnik = 1,10. Jeżeli mikrofon przetwarza dźwięki do 30 kHz, to wówczas harmoniczne z zakresu od f_S/2 = 22,05 kHz do 30 kHz zostaną prze­kształ­cone w harmoniczne w zakresie od |30 - 44,1| = 14,1 kHz do |22,05 – 44,1| = 22,05 kHz. Harmoniczne te znajdą się w zakresie słyszalnym i zakłócą odtwa­rzany dźwięk. W celu usunięcia tego zjawiska należy przed próbkowaniem prze­puścić sygnał przez analogowy filtr dolnoprzepustowy, silnie tłumiący częstotli­wości powyżej 22 kHz.

Przeciwieństwem nadpróbkowania jest podpróbkowanie. Stosuje się je przy analizie sygnałów o wąskim paśmie częstotliwości f, zawierającym informację, w stosunku do częstotliwości środkowej (nośnej) f₀, np. dla sygnałów modulowa­nych amplitudowo. W celu osiągnięcia dobrej rozdzielczości widma w paśmie f konieczne jest zmniejszenie częstotliwości próbkowania do wartości wielokrotnie mniejszej od f₀, zgodnie ze wzorem (19.9).

Minimalnym wartościom M, N i p odpowiadają maksymalne wartości pozo­sta­łych wielkości. Zwiększanie liczby próbek M powoduje wzrost gęstości wi­dma (f_W maleje) i praktycznie nie wpływa na szerokość widma f_g. Wzrost często­tliwo­ś­ci próbkowania f_S zwiększa proporcjonalnie szerokość widma, ale zmniejsza je­go gęstość.
19.2.4. Analiza widmowa sygnału okresowego
Przypadek 1 - znamy wartość częstotliwości podstawowej harmonicznej f₁ i nu­mer najwyższej harmonicznej n_max, istotnej z metrologicznego punktu wi­dzenia.

Wzory używane w analizie fourierowskiej FFT

Tabela 19.1

Nazwa	Wzory	Wartość
		minimalna	maksymalna
Liczba próbek		4
Liczba składowych widma		1
Liczba okresów w oknie		1
Częstotliwość próbkowania
Rozdzielczość widma
Szerokość widma
Liczba mierzalnych harmonicznych		1
Współczynnik nadprókowania

Dobieramy taką liczbę próbek M, aby liczba obliczonych składników szeregu Fouriera N (bez składnika zerowego) była równa co najmniej n_max (patrz wzór na obliczenie M w tabeli 19.1). Dla sygnału poliharmonicznego największą wartoś­cią rozdzielczości widma, jaką można zastosować, jest f_Wmax = f₁. Rozdzielczość tę uzyskujemy nastawiając częstotliwość próbkowania na wartość f_Smax = Mf₁. Osiągamy wówczas maksymalną szerokość analizowanego widma f_gmax = Nf₁.

W celu wykrycia w sygnale subharmonicznych i interharmonicznych należy zmniejszyć wartość f_W przez zwiększenie liczby próbek M. Dla nowej liczby M obliczamy kolejno N, p i f_S. Najmniejszą gęstość widma f_Wmin = f₁/N uzyskuje się, gdy badana jest tylko podstawowa harmoniczna, czyli gdy n_max = 1.

Przypadek 2 - nie znamy wartości częstotliwości podstawowej harmonicznej ani liczby harmonicznych.

W celu osiągnięcia maksymalnej szerokości widma stosujemy największą czę­stotliwość próbkowania, dopuszczalną dla karty pomiarowej, a dla uzyskania najlepszej rozdzielczości widma wybieramy maksymalną liczbę próbek, jaką po­sia­dany algorytm FFT może przetransformować. Kolejność pomiarów i obliczeń prześledzimy na przykładzie.

Wykonujemy pomiary dla M_max = 2048 i f_Smax = 100 000 Hz. Sprawdzamy na monitorze, czy przebieg zawiera co najmniej jeden okres badanego sygnału. Jeżeli nie zawiera, to zmniejszamy częstotliwość próbkowania. W tabeli 19.2 notujemy częstotliwość i amplitudę najniższej i najwyższej harmonicznej. Dla najniższej ha­r­monicznej zapisujemy również częstotliwości i amplitudy sąsied­nich prążków.

Wyniki pomiarów harmonicznych o nieznanych częstotliwościach

Obliczamy numer najwyższej harmonicznej n_max, liczbę okresów p i nową często­tli­wość próbkowania f_S:

Po wykonaniu FFT okazuje się, że amplitudy sąsiednich prążków stanowią wię­cej niż 10^-3 amplitudy podstawowej harmonicznej, co świadczy, że pomiary nale­ży kontynuować. W celu wyznaczenia dokładnej wartości częstotliwości f₁ zwię­ksza­my gęstość widma stosując podpróbkowanie. Nastawiamy częstotliwość próbkowania zaledwie o 25 % większą od częstotliwości f₁

Podpróbkowanie sprowadza wszystkie harmoniczne w zakres małych częstotli­wo­ś­ci, powodując jednak nakładanie się widm. Wartość współczynnika podprób­ko­wa­nia _P = 5/8 jest korzystna, gdyż w pobliżu podstawowej harmonicznej po­jawią się harmoniczne 9., 11., 19., 21. itd. o stosunkowo małych amplitudach.

Po kolejnym wykonaniu FFT wykorzystujemy amplitudy sąsiednich prążków do interpolacyjnego obliczenia częstotliwości f_1P

(19.13)

Rzeczywistą częstotliwość f₁ wyznaczamy z zależności

(19.14)

Do końcowego pomiaru przyjmujemy wartości zgodne ze wzorami w tabeli 19.1:

Wyniki ostatniej transformaty Fouriera świadczą, że osiągnięto wystarcza­jącą dokładność pomiaru - amplitudy A_1- i A₁₊ są mniejsze od 10^-3A₁.

Rzeczywiste pa­rametry badanego sygnału były: A₁ = 10 V, f₁ = 60,1230 Hz, A₇ = 2 V, f₇ = 420,861 Hz.

19.3. Wykonanie ćwiczenia

19.3.1. Pomiary harmonicznych sygnału okresowego

Układ połączeń

GNO – generator napięcia odkształconego

DMM – multimetr cyfrowy

PC – komputer

KP – karta pomiarowa

Uwaga: W czasie ćwiczenia należy dla stosowanej aparatury pomiarowej podać wielkości charakterystyczne.

OPROGRAMOWANIE – program wykorzystujący program narzędziowy Test­Point umożliwia:

0. 
   generację cyfrowych sygnałów: sinusoidalnego, poliharmonicznego, trójkąt­nego i prostokątnego
   
1. 
   monitorowanie przebiegów sygnałów i modułów sygnałów, ich widm ampli­tudowych i fazowych, odwrotnej transformaty Fouriera, przebiegów podsta­wowej harmonicznej oraz sumy wyższych harmonicznych
   
2. 
   pomiar wartości maksymalnej U_m sygnału, średniej z jego modułu |U|_śr, sku­tecznej U, skutecznej pierwszej harmonicznej U₁, skutecznej sumy wyższych harmonicznych U_wh, maksymalnej sumy wyższych harmonicznych U_whm, ampli­tudy A_n i częstotliwości f_n dowolnej składowej szeregu Fouriera
   
3. 
   symulację filtru antyaliazingowego.
   

1. 
   Pomiary gdy znana jest wartość częstotliwości podstawowej harmonicznej
   

Następnie badamy wpływ zmian częstotliwości f₁ badanego sygnału na do­kładność analizy widmowej przy zachowaniu stałej częstotliwości próbkowania f_S, odpowiadającej p_opt. Częstotliwość f₁ zmieniamy o 0,05 %, 0,1 %, 0,5 %, i 1 %. Wyniki notujemy w tabeli 19.4.

Na zakończenie sprawdzamy, jaki wpływ na wyniki pomiarów ma dobór licz­by próbek, niespełniający warunku M = 2^l. Zmieniamy liczbę próbek i obli­cza­my odpowiadającą jej częstotliwość f_S. Po wykonaniu FFT obliczamy rzeczy­wistą liczbę próbek (uzupełnioną przez algorytm zerami) M_rz = 2(N_rz +1), gdzie N_rz - li­cz­ba składników szeregu Fouriera - jest wskazywana jako górny zakres “kursora f ”. Wyniki zapisujemy w tabeli 19.5.
Protokół wyników pomiaru

Sygnał – fala poliharmoniczna: A₁ = 10 V, f₁ = 50 Hz, A₂ = 3 V, f₂ = f_max = 250 Hz, M = 128, N = p_max = ......

Tabela 19.4

Tabela 19.5

Wzory i przykłady obliczeń

Dla kilku wybranych pomiarów w tabeli 19.3 należy sprawdzić, czy ich wy­niki są zgodne ze wzorami w tabeli 19.1.

Należy sformułować wnioski dotyczące doboru wartości p, f_S i M, zapewnia­ją­­cych dokładny pomiar parametrów badanych harmonicznych i wartości skute­cz­­nej (oddzielnie dla amplitudy, dla częstotliwości i dla wartości skutecznej).

2. 
   Pomiary gdy nie jest znana wartość częstotliwości podstawowej harmonicznej
   

Sygnał – fala sinusoidalna odkształcona: U₁ = ...... V, f₁ = ........ Hz

Tabela 19.6

Lp.	fS	f1-	f1	f1+	A1-	A1	A1+	fm	Am
	Hz	Hz	Hz	Hz	V	V	V	Hz	V
1.
2.
3.
4.

Wzory i przykłady obliczeń

Podać przykłady obliczeń niezbędnych do wykonania pomiarów. Oszacować niepewność pomiaru częstotliwości i wartości skutecznej podstawowej harmoni­cznej za pomocą multimetru.

Na podstawie porównania wyników pomiarów częstotliwości i wartości sku­te­cznej podstawowej harmonicznej, wykonanych multimetrem i metodą analizy widma, ocenić niepewność pomiarów drugą metodą.
19.3.2. Badanie zjawiska nakładania się widm
Postępowanie podczas pomiaru
W tym punkcie ćwiczenia korzystamy z wirtualnego generatora fal sinuso­idal­nych. Badamy sygnał złożony z dwóch sinusoid: pierwszej o stałej częstotli­wości f₁ i drugiej o regulowanej częstotliwości f₂. Po każdej zmianie f₂ wykonuje­my FFT i odczytujemy z widma amplitudowego częstotliwość f_2p i odpowiadają­cy jej numer harmonicznej n_p. Gdy wyższa harmoniczna nakłada się na pierwszą, obser­wujemy czy jej amplituda dodaje się czy odejmuje od amplitudy pierwszej har­monicznej. Dla dwóch ostatnich pomiarów wyznaczamy najbliższe częstotli­wości f₂, które nakładają się na pierwszą harmoniczną.

Protokół wyników pomiaru
Sygnał – 2 sinusoidy: A₁ = 10 V, f₁ = 300 Hz, ₁ = 90, A₂ = 4 V, f₂ = var, ₂ = 90, M = 128, f_S = 1600 Hz

Tabela 19.7

Tabela 19.7 cd

Wzory i przykłady obliczeń

Należy podać wzory, z których można obliczyć częstotliwości f_2p dla f₂ = 1300 Hz i f₂ = 3500 Hz.

(19.15)

i stanowi mniej niż a % pierwszej harmonicznej, jeżeli

(19.16)

Do pomiaru amplitud pierwszych pięciu harmonicznych stosujemy minimalną czę­stotliwość próbkowania f_S1 nieco większą od 2f₅, a następnie - w celu usunię­cia nakładania się widm - zwiększamy częstotliwość próbkowania do wartości f_S2  n_af₁, gdzie a przyjmujemy równe 0,5 %. Sprawdzamy również działanie fil­tru antyaliazingowego w postaci cyfrowego, dolnoprzepustowego filtru Butter­wortha 10. rzędu o częstotliwości granicznej f_gr = 0,5 f_S1. Przefiltrowany sygnał poddaje­my szybkiej transformacji Fouriera z częstotliwością próbkowania f_S1.
Protokół wyników pomiaru
Sygnał – fala prostokątna: A = 10 V, f = 300 Hz, A₀ = 6 V, w = 0,2, M = 1024, f_S1 = 3200 Hz, f_S2 = 102400 Hz

Tabela 19.8

Wzory i przykłady obliczeń

Należy podać przykłady obliczeń amplitud harmonicznych A_n, numeru har­mo­nicznej n_a oraz częstotliwości próbkowań f_S1 i f_S2.

Ocenić przydatność obu zastosowanych metod do zmniejszenia wpływu na­kła­dania się widm. Porównać uzyskane rozdzielczości widm w obu przypadkach.

19.3.4. Pomiary współczynników zniekształceń

Wykorzystujemy analizę widmową do pomiaru współczynników zniekształ­ceń napięcia. Na podstawie pomiarów następujących wartości napięć: maksymal­nej U_m, średniej U_śr, skutecznej U, skutecznej pierwszej harmonicznej U₁, skute­cz­nej wyższych harmonicznych U_wh i szczytowej przebiegu czasowego sumy wyż­­szych harmonicznych U_whm obliczamy współczynniki:

0. 
   współczynnik kształtu k - wzór (23.1)
   
1. 
   współczynnik szczytu s - wzór (23.2)
   
2. 
   współczynnik niesinusoidalności n - wzór (23.3)
   
3. 
   współczynnik zniekształceń harmonicznych THD_f - wzór (23.4)
   
4. 
   współczynnik zniekształceń harmonicznych THD - wzór (23.5)
   
5. 
   współczynnik odkształcenia K - wzór (23.7).
   

(19.17)

(19.18)

(19.19)

(19.20)

(19.21)

(19.22)

(19.23)

gdzie u_m = u(mT_S) dla m = 0, 1,..., M-1, A_n = A_n[FFT(u_m)] dla n = 0, 1,..., N.
Pomiary wykonujemy dla napięć dostarczanych przez generator napięcia odkształconego GNO i generator napięcia sinusoidalnego G. W pierwszym przypad­­ku ustawiamy wartości skuteczne i kąty fazowe poszczególnych harmo­ni­cznych oraz liczbę próbek M i częstotliwość próbkowania f_S takie, jak w pun­kcie 19.3.1b. W drugim przypadku nastawiamy z pomocą multimetru U = 5 V, f = 50 Hz i obliczamy M oraz f_S zakładając, że mamy pomierzyć 50 harmonicz­nych. Wyniki pomiarów notujemy w tabeli 19.9, a wyniki obliczeń - w tabeli 19.10.

Protokół wyników pomiaru

Tabela 19.9

Tabela 19.10

Podać wzory i przykłady obliczeń współczynników zniekształceń.

1. 
   Praca zbiorowa (red. Sydenham P. H.): Podręcznik metrologii. Pod­stawy teoretyczne. Tom I. WKiŁ, Warszawa 1988
   
2. 
   Oppenheim A. V., Schafer R. W.: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. WkiŁ, Warszawa 1979
   
3. 
   PN-EN 61000-4-7: Polska Norma. Kompatybilność elektromagnety­czna (EMC). Metody badań i pomiarów. Ogólny przewodnik dotyczą­cy pomiarów harmonicznych i interharmonicznych oraz stosowanych do tego celu przyrządów pomiarowych dla sieci zasilających i przyłą­czonych do nich urządzeń. (Projekt normy)