Ćwiczenie nr
 Pobieranie 334.93 Kb.
|
CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁW ELEKTRYCZNYCH 19.1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie zasad cyfrowego przetwarzania sygnałów oraz zalet i wad tego sposobu przetwarzania. 19.2. Teoretyczne podstawy pomiaru 19.2.1. Wprowadzenie Obserwowany w ostatnim dwudziestoleciu szybki rozwój techniki komputerowej - zarówno od strony narzędziowej (komputery osobiste o dużej mocy obliczeniowej, cyfrowe procesory sygnałowe DSP, specjalizowane układy scalone ASIC), jak i programowej (algorytm szybkiej transformaty Fouriera) - sprawił, że konwencjonalne metody analogowego przetwarzania sygnałów są zastępowane przetwarzaniem cyfrowym. Cyfrowe przetwarzanie sygnałów (CPS) jest stosowane m.in. do linearyzacji charakterystyk czujników i przeliczania wyników pomiarów na wybrane jednostki techniczne, obliczania parametrów statystycznych i kontroli wiarygodności, całkowania i różniczkowania numerycznego, filtracji cyfrowej, obliczania szybkiej transformaty Fouriera FFT i odwrotnej transformaty Fouriera IFFT, wyznaczania autokorelacji i korelacji wzajemnej, wykreślania histogramu gęstości amplitudowej sygnału. Układy cyfrowe wykazują szereg zalet w stosunku do układów analogowych: nie występują w nich ani dryft parametrów ani szumy, cechują się wysoką dokładnością oraz zapewniają łatwą zmianę parametrów, np. częstotliwości granicznej i nachylenia charakterystyki filtrów. Do wad układów cyfrowych należy zaliczyć mniejszą szybkość działania i węższe pasmo przenoszonych częstotliwości, co wynika głównie z ograniczonej częstotliwości próbkowania przetwornika A/C. Czujniki przetwarzające wielkości fizyczne dostarczają zwykle sygnału ciągłego x(t), który przez próbkowanie jest sprowadzany do postaci dyskretnego szeregu czasowego próbek x(it). Następnie - w procesie kwantyzacji - próbkom nadawana jest dyskretna wartość liczbowa xk(it). Sygnał spróbkowany i skwantowany jest nazywany sygnałem cyfrowym. Rozdzielczość i szybkość przetwarzania analogowo-cyfrowego ma zasadnicze znaczenie w pomiarach cyfrowych. W oscyloskopach cyfrowych stosuje się szybkie przetworniki o częstotliwości próbkowania do 2 GS/s, ale o małej rozdzielczości, zwykle 8-bitowe. W niektórych multimetrach cyfrowych można wybierać liczbę wyświetlanych cyfr wyniku i np. przy rozdzielczości 4 1/2 cyfry (16 bitów) można wykonać 100 000 pomiarów na sekundę, a przy rozdzielczości 8 1/2 cyfry (29 bitów) - tylko 6 pomiarów na sekundę. Komputerowe karty pomiarowe są wyposażone najczęściej w przetworniki 12-bitowe o częstotliwości próbkowania od 100...250 kS/s lub - znacznie droższe - do 5 MS/s; produkowane są również przetworniki 16-bitowe o częstotliwości 100 kS/s. 19.2.2. Dyskretna transformata Fouriera Sygnały mogą być analizowane w dziedzinie czasu lub częstotliwości. Gdy sygnał składa się z wielu składowych o różnych częstotliwościach, wygodniejszą metodą jest analiza w dziedzinie częstotliwości. Do przejścia z funkcji czasu na funkcję częstotliwości można wykorzystać przekształcenie Fouriera, jeżeli sygnał spełnia warunki Dirichleta. W przypadku sygnału okresowego otrzymuje się dyskretne widmo częstotliwościowe, a dla sygnału nieokresowego - widmo ciągłe. Pobieranie próbek z sygnału badanego może być dokonywane tylko w skończonym przedziale czasu. Czas ten jest wyznaczony przez długość okna pomiarowego (wycinającego). Jeżeli długość okna pomiarowego TW dobierzemy równą okresowi badanego sygnału T i zastosujemy okres próbkowania TS = TW/M, to otrzymamy M próbek o wartościach: x(0), x(TS), x(2TS),... x[(M-1)TS], które pozwolą ułożyć układ M równań, zawierających poszukiwany, skończony szereg Fouriera. Rozwiązując ten układ równań możemy obliczyć współczynniki tego szeregu, czyli składową stałą a0 = A0 oraz N = M/2 - 1 harmonicznych, złożonych ze składowych an, bn lub opisanych przez amplitudę An i fazę n W praktyce współczynniki składowych harmonicznych wyznacza się transformując M punktowy ciąg próbek x(mTS) w M punktowy ciąg dyskretny w dziedzinie częstotliwości (dyskretna transformata Fouriera DFT) gdzie: n = 0, 1, 2, ..., M - 1, fW = 1/TW. Odtworzenie szeregu czasowego próbek uzyskuje się przez odwrotną dyskretną transformatę Fouriera Do wyznaczenia amplitud i kątów fazowych N harmonicznych wystarczy znajomość połowy ciągu X(nfW), gdyż druga połowa składa się z wartości sprzężonych z pierwszą połową (z wyjątkiem X(M/2) = 0):
gdzie n = 1, 2, ..., N. Jeżeli liczba próbek jest równa potędze liczby 2, M = 2l, to można zastosować algorytm szybkiej transformaty Fouriera FFT, który przykładowo dla M = 1024 daje ponad 100-krotne zmniejszenie liczby wykonywanych mnożeń. Widmo częstotliwościowe sygnału X(nfW) jest przedstawiane w postaci dwóch wykresów: widma amplitudy An(f) i widma fazy n(f). Rozdzielczość częstotliwościowa tych widm wynosi fW i dla TW = T1 równa się częstotliwości podstawowej harmonicznej fW = 1/T1 = f1. Jeżeli okno pomiarowe obejmuje całkowitą liczbę p okresów sygnału TW = pT1, to wartość fW = 1/pT1 = f1/p zmniejsza się, czyli gęstość prążków w widmach rośnie. Możliwy jest wówczas pomiar parametrów sub- i interharmonicznych. Szerokość okna TW = MTS = M/fS można powiększyć przez zwiększenie liczby próbek M lub/i zmniejszenie częstotliwości próbkowania fS, przy czym obie te wielkości należy dobierać w ten sposób, aby liczba okresów p była liczbą całkowitą. Z zależności TW = p/f1 = M/fS wynika wzór na fS Jeżeli liczba okresów w oknie nie jest całkowita, to rozdzielczość widma nie stanowi podwielokrotności harmonicznej podstawowej i każdej harmonicznej odpowiada kilka prążków widma (rys. 19.1). Dokładny pomiar tych harmonicznych nie jest możliwy. 
Rys. 19.1. Wpływ szerokości okna pomiarowego na kształt widma: A – szerokość okna równa dwóm okresom sygnału, B - szerokość okna równa niecałkowitej liczbie okresów sygnału, a – sygnał badany, b – wycięty ciąg próbek, c – sygnał przyjęty do obliczeń, d – wyznaczone widmo 19.2.3. Twierdzenie o próbkowaniu Zgodnie z twierdzeniem Shannona-Kotielnikowa próbkowanie sygnału nie spowoduje utraty informacji, przenoszonej przez harmoniczne tego sygnału w paśmie od zera do interesującej nas częstotliwości granicznej fg, jeżeli spełnione są dwa warunki:
Zwykle stosuje się częstotliwość próbkowania fS = 2fg, gdzie > 1 jest współczynnikiem nadpróbkowania. Jeżeli jednak drugi warunek nie jest spełniony, to dowolna harmoniczna o częstotliwości f większej od fS/2 zostanie przetransformowana - bez zmiany amplitudy - na częstotliwość fp w paśmie 0, fS/2) i może zniekształcić harmoniczną niosącą informację gdzie i jest liczbą całkowitą spełniającą nierówność Pomierzona harmoniczna fp może zatem zawierać w sobie wszystkie harmoniczne określone zależnością Zjawisko nakładania się (odbicia) widm (ang. aliasing) jest przedstawione graficznie na rys. 19.2 w dziedzinie czasu i na rys. 19.3 w dziedzinie częstotliwości. Z pierwszego rysunku wynika, że sygnał złożony z dwóch sinusoid o częstotliwościach 150 Hz i 250 Hz, próbkowany z częstotliwością 200 Hz, jest odczytywany jako sinusoida o częstotliwości 50 Hz. Drugi rysunek obrazuje odbijanie się wyższych harmonicznych od barier ustawionych na częstotliwościach 0 i fS/2.
Rys. 19.2. Zjawisko nakładania się harmonicznych 
Rys. 19.3. Zjawisko odbicia widm W celu uniknięcia nakładania się widm usuwa się z sygnału analogowego harmoniczne o częstotliwościach f > fS/2 za pomocą filtrów dolnoprzepustowych, zwanych antyaliazingowymi. Inną metodą jest nadpróbkowanie o współczynniku >> 1 (ang. oversampling). Wówczas wartość częstotliwości fS/2 zostaje przesunięta w zakres harmonicznych o znikomej amplitudzie. Tak spróbkowany sygnał można dodatkowo przepuścić przez dolnoprzepustowy filtr cyfrowy i po znacznym zmniejszeniu liczby próbek dokonać szybkiej transformaty Fouriera. Dzięki temu uzyskuje się lepszą rozdzielczość częstotliwościową widma przy krótszym czasie obliczeń. Przykład W cyfrowych przetwornikach dźwięku częstotliwość próbkowania wynosi fS = 44,1 kHz, co w stosunku do granicznej, słyszalnej częstotliwości fg = = 20 kHz daje współczynnik = 1,10. Jeżeli mikrofon przetwarza dźwięki do 30 kHz, to wówczas harmoniczne z zakresu od fS/2 = 22,05 kHz do 30 kHz zostaną przekształcone w harmoniczne w zakresie od |30 - 44,1| = 14,1 kHz do |22,05 – 44,1| = 22,05 kHz. Harmoniczne te znajdą się w zakresie słyszalnym i zakłócą odtwarzany dźwięk. W celu usunięcia tego zjawiska należy przed próbkowaniem przepuścić sygnał przez analogowy filtr dolnoprzepustowy, silnie tłumiący częstotliwości powyżej 22 kHz. Przeciwieństwem nadpróbkowania jest podpróbkowanie. Stosuje się je przy analizie sygnałów o wąskim paśmie częstotliwości f, zawierającym informację, w stosunku do częstotliwości środkowej (nośnej) f0, np. dla sygnałów modulowanych amplitudowo. W celu osiągnięcia dobrej rozdzielczości widma w paśmie f konieczne jest zmniejszenie częstotliwości próbkowania do wartości wielokrotnie mniejszej od f0, zgodnie ze wzorem (19.9). Minimalnym wartościom M, N i p odpowiadają maksymalne wartości pozostałych wielkości. Zwiększanie liczby próbek M powoduje wzrost gęstości widma (fW maleje) i praktycznie nie wpływa na szerokość widma fg. Wzrost częstotliwości próbkowania fS zwiększa proporcjonalnie szerokość widma, ale zmniejsza jego gęstość.
Wzory używane w analizie fourierowskiej FFTTabela 19.1
Oznaczenia: f1 - częstotliwość podstawowej harmonicznej badanego sygnału, fmax = nmaxf1 – częstotliwość najwyższej harmonicznej, która wskutek nakładania się widm może zakłócić pomiar Dobieramy taką liczbę próbek M, aby liczba obliczonych składników szeregu Fouriera N (bez składnika zerowego) była równa co najmniej nmax (patrz wzór na obliczenie M w tabeli 19.1). Dla sygnału poliharmonicznego największą wartością rozdzielczości widma, jaką można zastosować, jest fWmax = f1. Rozdzielczość tę uzyskujemy nastawiając częstotliwość próbkowania na wartość fSmax = Mf1. Osiągamy wówczas maksymalną szerokość analizowanego widma fgmax = Nf1. W celu wykrycia w sygnale subharmonicznych i interharmonicznych należy zmniejszyć wartość fW przez zwiększenie liczby próbek M. Dla nowej liczby M obliczamy kolejno N, p i fS. Najmniejszą gęstość widma fWmin = f1/N uzyskuje się, gdy badana jest tylko podstawowa harmoniczna, czyli gdy nmax = 1. Przypadek 2 - nie znamy wartości częstotliwości podstawowej harmonicznej ani liczby harmonicznych. W celu osiągnięcia maksymalnej szerokości widma stosujemy największą częstotliwość próbkowania, dopuszczalną dla karty pomiarowej, a dla uzyskania najlepszej rozdzielczości widma wybieramy maksymalną liczbę próbek, jaką posiadany algorytm FFT może przetransformować. Kolejność pomiarów i obliczeń prześledzimy na przykładzie. Wykonujemy pomiary dla Mmax = 2048 i fSmax = 100 000 Hz. Sprawdzamy na monitorze, czy przebieg zawiera co najmniej jeden okres badanego sygnału. Jeżeli nie zawiera, to zmniejszamy częstotliwość próbkowania. W tabeli 19.2 notujemy częstotliwość i amplitudę najniższej i najwyższej harmonicznej. Dla najniższej harmonicznej zapisujemy również częstotliwości i amplitudy sąsiednich prążków. Wyniki pomiarów harmonicznych o nieznanych częstotliwościachTabela 19.2
Obliczamy numer najwyższej harmonicznej nmax, liczbę okresów p i nową częstotliwość próbkowania fS: 
Po wykonaniu FFT okazuje się, że amplitudy sąsiednich prążków stanowią więcej niż 10-3 amplitudy podstawowej harmonicznej, co świadczy, że pomiary należy kontynuować. W celu wyznaczenia dokładnej wartości częstotliwości f1 zwiększamy gęstość widma stosując podpróbkowanie. Nastawiamy częstotliwość próbkowania zaledwie o 25 % większą od częstotliwości f1 Podpróbkowanie sprowadza wszystkie harmoniczne w zakres małych częstotliwości, powodując jednak nakładanie się widm. Wartość współczynnika podpróbkowania P = 5/8 jest korzystna, gdyż w pobliżu podstawowej harmonicznej pojawią się harmoniczne 9., 11., 19., 21. itd. o stosunkowo małych amplitudach. Po kolejnym wykonaniu FFT wykorzystujemy amplitudy sąsiednich prążków do interpolacyjnego obliczenia częstotliwości f1P Rzeczywistą częstotliwość f1 wyznaczamy z zależności Do końcowego pomiaru przyjmujemy wartości zgodne ze wzorami w tabeli 19.1:
Wyniki ostatniej transformaty Fouriera świadczą, że osiągnięto wystarczającą dokładność pomiaru - amplitudy A1- i A1+ są mniejsze od 10-3A1. Rzeczywiste parametry badanego sygnału były: A1 = 10 V, f1 = 60,1230 Hz, A7 = 2 V, f7 = 420,861 Hz.
Układ połączeń
Rys. 19.4. Schemat układu pomiarowego Oznaczenia G – generator napięcia sinusoidalnego, trójkątnego i prostokątnego GNO – generator napięcia odkształconego DMM – multimetr cyfrowy PC – komputer KP – karta pomiarowa Uwaga: W czasie ćwiczenia należy dla stosowanej aparatury pomiarowej podać wielkości charakterystyczne. OPROGRAMOWANIE – program wykorzystujący program narzędziowy TestPoint umożliwia:
Postępowanie podczas pomiaru W tym punkcie ćwiczenia korzystamy z wirtualnego generatora fali poliharmonicznej. Dla zadanych wartości częstotliwości f1 i fmax = nmaxf1 obliczamy minimalną liczbę próbek Mmin = 2(nmax + 1). Dla celów badawczych wybieramy kilkakrotnie większą wartość M = 2l i wyznaczamy liczbę składników szeregu Fouriera N = M/2 – 1, która jest jednocześnie równa maksymalnej liczbie okresów pmax, jakie można objąć oknem pomiarowym. Pomiary przeprowadzamy dla następujących liczb okresów p: 0,5 pmin = 1, popt = Ent (N/nmax), p = 1,001 popt (w celu zbadania wpływu niecałkowitej liczby okresów na wynik pomiaru), pmax = N i p = N + 2. Zadaną liczbę okresów uzyskujemy przez nastawienie częstotliwości próbkowania fS na wartość obliczoną ze wzoru (19.9) (z dokładnością do 0,0001 Hz). Pozostałe wielkości w tabeli 19.3 wyznaczamy doświadczalnie. Podczas pomiarów wygodnie jest posługiwać się “kursorem f ”, sterowanym myszą lub klawiszami , łącznie z klawiszem “shift” lub bez niego. Następnie badamy wpływ zmian częstotliwości f1 badanego sygnału na dokładność analizy widmowej przy zachowaniu stałej częstotliwości próbkowania fS, odpowiadającej popt. Częstotliwość f1 zmieniamy o 0,05 %, 0,1 %, 0,5 %, i 1 %. Wyniki notujemy w tabeli 19.4. Na zakończenie sprawdzamy, jaki wpływ na wyniki pomiarów ma dobór liczby próbek, niespełniający warunku M = 2l. Zmieniamy liczbę próbek i obliczamy odpowiadającą jej częstotliwość fS. Po wykonaniu FFT obliczamy rzeczywistą liczbę próbek (uzupełnioną przez algorytm zerami) Mrz = 2(Nrz +1), gdzie Nrz - liczba składników szeregu Fouriera - jest wskazywana jako górny zakres “kursora f ”. Wyniki zapisujemy w tabeli 19.5.
Sygnał – fala poliharmoniczna: A1 = 10 V, f1 = 50 Hz, A2 = 3 V, f2 = fmax = 250 Hz, M = 128, N = pmax = ...... Tabela 19.3
Sygnał – fala poliharmoniczna: A1 = 10 V, f1 = var, A2 = 3 V, f2 = nmaxf1, M = 128, N = ...... , popt = ...... , fS = .................. Hz Tabela 19.4
Sygnał – fala poliharmoniczna: A1 = 10 V, f1 = 50 Hz, A2 = 3 V, f2 = 250 Hz, p = 8, fW = f1/p = ........ Hz Tabela 19.5
Wzory i przykłady obliczeńDla kilku wybranych pomiarów w tabeli 19.3 należy sprawdzić, czy ich wyniki są zgodne ze wzorami w tabeli 19.1. Należy sformułować wnioski dotyczące doboru wartości p, fS i M, zapewniających dokładny pomiar parametrów badanych harmonicznych i wartości skutecznej (oddzielnie dla amplitudy, dla częstotliwości i dla wartości skutecznej).
Postępowanie podczas pomiaru Źródłem sygnału jest generator napięć odkształconych o częstotliwości harmonicznej podstawowej około 50 Hz. W celu uzyskania stabilnej częstotliwości należy go włączyć 20 minut przed rozpoczęciem pomiaru. Najpierw ustawiamy wartość skuteczną pierwszej harmonicznej na 4...5 V i mierzymy jej wartość multimetrem. Następnie dodajemy wyższe harmoniczne o coraz mniejszych amplitudach, tak aby wartość szczytowa sygnału – obserwowana na monitorze – nie przekroczyła zakresu przetwornika A/C. Pomiary przeprowadzamy według opisu w punkcie 19.2.4 dla przypadku 2. Po ostatnim pomiarze sprawdzamy multimetrem częstotliwość sygnału i porównujemy ją oraz wartość skuteczną pierwszej harmonicznej z wynikami pomiaru. Wyniki notujemy w tabeli 19.6. Protokół wyników pomiaru Sygnał – fala sinusoidalna odkształcona: U1 = ...... V, f1 = ........ Hz Tabela 19.6
Wzory i przykłady obliczeńPodać przykłady obliczeń niezbędnych do wykonania pomiarów. Oszacować niepewność pomiaru częstotliwości i wartości skutecznej podstawowej harmonicznej za pomocą multimetru. Na podstawie porównania wyników pomiarów częstotliwości i wartości skutecznej podstawowej harmonicznej, wykonanych multimetrem i metodą analizy widma, ocenić niepewność pomiarów drugą metodą.
Tabela 19.7
Tabela 19.7 cd
Wzory i przykłady obliczeńNależy podać wzory, z których można obliczyć częstotliwości f2p dla f2 = 1300 Hz i f2 = 3500 Hz. 19.3.3. Przeciwdziałanie nakładaniu się widm Postępowanie podczas pomiaru Badamy widmo sygnału prostokątnego, bipolarnego o amplitudach A i współczynniku wypełnienia w. Amplituda n-tej harmonicznej tego sygnału opisana jest wzorem i stanowi mniej niż a % pierwszej harmonicznej, jeżeli Do pomiaru amplitud pierwszych pięciu harmonicznych stosujemy minimalną częstotliwość próbkowania fS1 nieco większą od 2f5, a następnie - w celu usunięcia nakładania się widm - zwiększamy częstotliwość próbkowania do wartości fS2 naf1, gdzie a przyjmujemy równe 0,5 %. Sprawdzamy również działanie filtru antyaliazingowego w postaci cyfrowego, dolnoprzepustowego filtru Butterwortha 10. rzędu o częstotliwości granicznej fgr = 0,5 fS1. Przefiltrowany sygnał poddajemy szybkiej transformacji Fouriera z częstotliwością próbkowania fS1.
Tabela 19.8
Wzory i przykłady obliczeńNależy podać przykłady obliczeń amplitud harmonicznych An, numeru harmonicznej na oraz częstotliwości próbkowań fS1 i fS2. Ocenić przydatność obu zastosowanych metod do zmniejszenia wpływu nakładania się widm. Porównać uzyskane rozdzielczości widm w obu przypadkach.
19.3.4. Pomiary współczynników zniekształceńWykorzystujemy analizę widmową do pomiaru współczynników zniekształceń napięcia. Na podstawie pomiarów następujących wartości napięć: maksymalnej Um, średniej Uśr, skutecznej U, skutecznej pierwszej harmonicznej U1, skutecznej wyższych harmonicznych Uwh i szczytowej przebiegu czasowego sumy wyższych harmonicznych Uwhm obliczamy współczynniki:
Oprogramowanie ćwiczenia zapewnia bezpośredni odczyt mierzonych wartości napięć. Zostały w nim wykorzystane następujące zależności: gdzie um = u(mTS) dla m = 0, 1,..., M-1, An = An[FFT(um)] dla n = 0, 1,..., N.
Tabela 19.9
Tabela 19.10
Wzory i przykłady obliczeń Podać wzory i przykłady obliczeń współczynników zniekształceń. 19.4. Uwagi o wynikach pomiaru 19.5. Literatura
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(19.1)
(19.2)
(19.3)
(19.4)
(19.5)
(19.6)
(19.7)
(19.8)
(19.9)
(19.10)
(19.11)
(19.12)
Liczba próbek
Liczba składowych widma
Liczba okresów w oknie
Częstotliwość próbkowania
Rozdzielczość widma
Szerokość widma
Współczynnik nadprókowania
(19.13)
(19.14)
(19.15)
(19.16)
(19.17)
(19.18)
(19.19)
(19.20)
(19.21)
(19.22)
(19.23)