Strona główna

Wykład 5 wielomiany. Zera wielomianów


Pobieranie 71.87 Kb.
Data19.06.2016
Rozmiar71.87 Kb.

Algebra Liniowa z Geometrią


WYKŁAD 5

WIELOMIANY

  • Wielomiany. Zera wielomianów

Definicja


(i) Wielomianem stopnia n nad R nazwiemy funkcję postaci

Wn(x) = anxn + ... + a1x + a0.

(ii) Liczbę rzeczywistą a nazwiemy pierwiastkiem (zerem) wielomianu Wn(x) wtedy, gdy Wn(a) =0, tzn.



Np.: a = -1 jest pierwiastkiem wielomianu:



W(x) = 3x5  9x2  2x+10

Ponieważ W(-1) = 3(-1)5  9(-1)2  2(-1) + 10 = 0

Miejsca zerowe wielomianu stopnia 2,



w2(x) = a2x2 + a1x + a0

  • =0 - równanie posiada miejsce zerowe podwójne, postaci

  • >0 - równanie posiada dwa miejsca zerowe, postaci

,

  • <0 - nie istnieją miejsca zerowe w dziedzinie liczb rzeczywistych; są dwa miejsca zerowe w dziedzinie liczb zespolonych, postaci

,

Poszukiwanie miejsc zerowych wielomianów –



  • algorytmy pierwiastkowe

Algorytm Ferro, Tartaglii – wielomiany stopnia 3

Algorytm Ferrari – wielomiany stopnia 4

Twierdzenie Nielsa Abela i Evarista Galois – nie istnieje

algorytm pierwiastkowy dla wielomianów stopni n

Algorytm poszukiwania zer wielomianu stopnia 3



Założenie: , jeśli nie - dzielimy obie strony równania

przez

=

=



Założenie:



Krok 1. Szukamy zera wielomianu w postaci:

dla pewnego u

Stąd




Krok 2. Przyjmujemy i rozwiązujemy równanie

Rozwiązanie równania:







Krok 3. Wyliczamy

,

Krok 4. Wyliczamy .

Przykład

Obliczyć pierwiastki wielomianu = x3 –x+1

za pomocą algorytmu pierwiastkowego

Krok 1. Szukamy zer wielomianu w postaci:

dla pewnego u

a1= -1

Zatem:




Po redukcji:

Krok 2. Przyjmujemy i rozwiązujemy równanie:



,



Krok 3. Wyliczamy



Krok 4. Wyliczamy .

+

+

  • Lokalizacja zer wielomianów


C = max,

gdzie max{x,y} oznacza większą z liczb x i y

Twierdzenie


(i) jeśli wn(z) = 0 to z  C

(ii) jeśli z > C to wn(z) > 0



  1. jeśli z < - C to (-1)n wn(z) >0.

Dowód

(i) wynika z (ii) i (iii).


(ii) dla z > C (stąd z > 1)

a0 + a1 z + .......+ an-1 zn-1 (a0 + .......+ an-1 /)zn-1

C zn-1

zatem

wn(z)  zn - (a0 + a1z +.......+ an-1) zn-1  zn - C zn-1 =

zn-1(z - C) > 0.

(iii)

(-1)n wn(z) = (-1)nzn +(-1)nan-1zn-1 + ... +(-1)na1z + (-1)n a0 =

= (-1)n a0 +(-1)n-1a1(-z) + (-1)n-2a2(-z)2 + .....

+ (-1)n-iai(-z)i +........+ (-1)an-1(-z)n-1 + (-z)n

= b0 + b1 u + .......+ bn-1 un-1 + un =

= w1n(u) gdzie bi = (-1)n-i ai oraz u = -z.

u > C z < - C, w1n(u) >0 (-1)n wn(z) > 0

Stąd: jeżeli z < - C to (-1)n wn(z) >0

tj. (iii) jest spełniony.

Możemy więc zlokalizować zera z wielomianu wn(z)

w przedziale - C z C;

nie oznacza to oczywiście, że istnieje pewne zero wielomianu wn(z).



Np. dla wielomianu mamy C = 1,

ale przedział -1 z 1 nie zawiera żadnego zera wn(z).

Twierdzenie


Każdy wielomian wn(z) o stopniu nieparzystym ma co najmniej jedno zero.

Dowód:

W przypadku wielomianu o stopniu nieparzystym zachodzi:



wn(z) > 0 dla z > C,

wn(z) < 0 dla z < -C

i z własności ciągłości wn(z), z której wynika, że f(z) = 0

dla pewnego - C z C.

Przykład


  1. Zlokalizować przy pomocy stałej C zera wielomianu





max C = max(1, 4)=4




  1. Obliczyć pewne zero wielomianu za pomocą algorytmu pierwiastkowego





Podstawienie:







Wyliczamy:



FUNKCJE ELEMENTARNE ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ

Definicja


Funkcja f(x)=/x/ jest określona wzorem


Twierdzenie


  1. /x/=/-x/

  2. -/x/

(iii) /x+y/

(iv) //x/-/y//

Dowód


Ad. (i), (ii) z definicji

Ad. (iii) oraz





stąd z (ii) wynika, że /x+y/

Ad. (iv) x=(x-y)+y



na mocy (iii)

stąd

przez symetrię

stąd /x-y///x/-/y//

  • Funkcje zaokrąglające do liczb całkowitych

Definicja


  1. F
    unkcja zwana częścią całkowitą liczby x jest określona następująco:

największa liczba całkowita n taka, że n



  1. Funkcja jest określona następująco:

=najmniejsza z liczb całkowitych n taka, że

=

Wniosek



Przykład




FUNKCJE

Funkcja f określona na zbiorze S o wartościach ze zbioru T przyporządkowuje każdemu elementowi x ze zbioru S dokładnie jeden element ze zbioru T.

Dziedzina funkcji - S, Dom(f), D(f), dom(f)

Wartość elementu x dla funkcji f, dla xDom(f)- f(x)

Przeciwdziedzina funkcji f, podzbiór zbioru T - Im(f)

Funkcja f jest wyznaczona jednoznacznie przez:



  • Zbiór, na którym jest określona,

  • Przyporządkowanie, regułę lub wzór podające wartość f(x) dla każdego .

Wykres f(x) =

  

    

    

    

  



funkcja „na” funkcja „1-1” nie jest funkcją

Definicja


Funkcja f: S T jest różnowartościowa (oznaczamy jako „1-1”) , jeżeli różnym elementom zbioru S przyporządkowuje różne elementy zbioru T.

Jeżeli

 

 

 


 



funkcja różnowartościowa


Przykład


Przypisanie każdemu studentowi w grupie S numeru miejsca ze zbioru T.

  • Liczba miejsc jest równa liczbie studentów –

funkcja ”na”

  • Liczba miejsc większa od ilości studentów –

funkcja „w”

Przykład





Im(f) – liczby naturalne parzyste



Przykład

Obraz jako funkcja

P - przestrzeń pikseli, C – przestrzeń kolorów

I: P®C

  1. Obrazy z odcieniami szarości

C = {0, 1, 2, 3, ..., L-1},

gdzie L jest liczbą poziomów szarości.



L = 64 dla konwertera sześciobitowego.


  1. Obraz „biel – czerń”

C = {0, 1}, 0 – biel, 1 – czerń
c) Obraz 3-spektralny, tzn. obraz RGB:

R – mikrofale

G – podczerwień

B – zakres widzialny


C = {0, ....., L1-1}x{0, ......, L2-1}x{0,......., L3-1}
czyli każdemu pikselowi jest przyporządkowana trójka liczb odpowiadająca 3 zakresom spektrum


  • Funkcje odwrotne

Definicja


Jeżeli y=f(x) jest funkcją określoną na zbiorze liczb rzeczywistych S o wartościach wypełniających zbiór liczb rzeczywistych T i f jest różnowartościowa

to możemy określić na zbiorze T funkcję odwrotną do f, oznaczoną jako, o wartościach wypełniających zbiór S .


Przykład


  • Funkcja jest różnowartościowa w

  • Funkcja nie jest różnowartościowa

w

Przyjmujemy, dla




Wykres funkcji y = f(x) – zbiór par (x, y) takich, że
x

Wykres funkcji f -1 (x) – odbicie wykresu y = f(x)

względem prostej y = x





  • Funkcje cyklometryczne

  • y=Arcsinx

y=sinx, sinx :



y=sinx = Arcsinx Arcsinx :



  • y=Arccosx

y=cosx, x cosx :
y
=cosArccosx Arccosx :






  • y=Arctgx

y=tgx, tgx :



y=tgx= Arctgx Arctgx:

  • y=Arcctgx

y=ctgx, ctgx:

y=ctgx=Arcctgx Arcctg:






Twierdzenie /tożsamości trygonometryczne/

  1. Arcsinx +Arccosx =

  2. Arcsin

Dowód:

(i) Arcsinx = y siny=x,

cosArccosx

Stąd

Arcsinx + Arccosx = y +

(ii) Arcsin

sinsin=cos

cosy

Dla

Arccosx = y = Arcsin

Dla x<0

-x=cosy, tj. x=cos(-y) i -y = Arccosx

Stąd

Arccosx = Arcsin

Arcsin- Arccosx





©snauka.pl 2016
wyślij wiadomość