Strona główna

Wyrównywanie sieci


Pobieranie 11.19 Kb.
Data19.06.2016
Rozmiar11.19 Kb.
WYRÓWNYWANIE SIECI
Wyrównywanie sieci grawimetrycznej wykonano w oparciu o algorytm przedstawiony na Joint BGI/ICET Summer School 2002 pod tytułem: „Terrestrial Gravity Data Acquisition Techniques, Network Adjustment.

Układ równań liniowych możena zapisać w postaci funkcyjnej f(X, L)=0 lub w postaci macierzowej:



A·X = L

gdzie: Xwektor niewiadomych, Lwektor danych, A – macierz współczynników

Rozwiązanie powyższego układu równań, przy założeniu, że ilość równań jest równa ilości niewiadomych, czyli macierz A jest macierzą kwadratową oraz macierz, a nie jest macierzą osobliwą ma postać:

X = A-1·L

Dla układu równań, gdy ilość równań jest większa od ilości niewiadomych, czyli układu równań liniowych z nadmiarem macierz A nie jest macierzą kwadratową (ale AT·A jest) można zapisać powyższe równanie w postaci:



X = (AT·A)-1·AT·L

Oczywiście równanie to jest poprawne, gdy układ równań nie jest układem sprzecznym. Mając na uwadze, że wektor danych posiada wartości fizyczne pomierzone z pewną dokładnością, to układ ten jest z reguły sprzeczny.

Każdy pomiar obarczony jest błędem przypadkowym i systematycznym (w naszym przypadku dryft przyrządu). Celem pozbycia się i ograniczenia błędów należy zastosować teorię błędów i statystykę. Ujęcie statystyczne prowadzi do rozwiązania najbardziej prawdopodobnego.

Ponieważ rozwiązanie równania obarczone jest błędem można je zapisać w postaci:



A·X - L = V

Wektor V nazywa się wektorem wartości rezydualnych (lub wektorem błędów obserwacyjnych).

Znajdując wartości wektora niewiadomych X podejmowane są starania, by uzyskać takie rozwiązanie, aby suma kwadratów błędów obserwacyjnych była najmniejsza, czyli VT·V=min. Metodę tą nazywa się metodą najmniejszych kwadratów. Ograniczeniem tej metody jest fakt, że wartości mierzone muszą być od siebie wzajemnie niezależne, a błędy przypadkowe mają rozkład normalny.

Często pomiary fizyczne nie mają jednakowej dokładności (używa się różnych instrumentów, mierzą różni ludzie, pomiary wykonywane są w różnych warunkach itd.). Dlatego też wprowadza się do metody najmniejszych kwadratów wagi przypisywane poszczególnym pomiarom. W grawimetrii wagę można uzależnić od czasu trwania pomiaru, gdyż dryft przyrządu jest funkcją czasu. W takim przypadku możba zmodyfikować kryterium rozwiązań do postaci:



VT·P·V = min

gdzie macierz P jest macierzą wag.

W rezultacie używając metody najmniejszych kwadratów otrzymuje się następujące rozwiązanie:

X = (AT·P·A)-1·AT·P·L

Zakładając, że mamy n równań i u niewiadomych, to liczba n-u nazywana jest liczbą stopni swobody.

Do konstrukcji macierzy wag P używa się odchylenia standardowego i wariancji związanych z obserwacjami oraz kowariancji pomiędzy obserwacjami. Można ją przedstawić w postaci:

Dlatego też wartości wariancji i kowariancji muszą być wstawione do macierzy przed użyciem metody najmniejszych kwadratów. Wartości te pochodzą ze znajomości przyrządów pomiarowych i używanych procedur pomiarowych. Kowariancja jest miarą statystycznej zależności pomiędzy dwoma wartościami. W praktyce kowariancjom przypisuje się wartość zerową, ponieważ w grawimetrii obserwacje są niezależne i nieskorelowane. Macierz P staje się macierzą diagonalną.

Można wykazać, że średniokwadratowy estymator wariancji wynosi:

a macierz kowariancji niewiadomych X:





W grawimetrii, jak wspomniano obserwacje są nieskorelowane, a ich wariancje zależą od czasu pomiędzy pomiarami pomiędzy punktami pomiarowymi. Wobec czego macierz wag P jest macierzą diagonalną, w której na przekątnej są inwersy czasów pomiędzy pomiarami na dwóch punktach.


©snauka.pl 2016
wyślij wiadomość