Strona główna

Zapis ćwiczeń z algebry na Wydz. Inżynierii Chemicznej (zima 2002/2003) z komentarzem I dodatkowymi zadaniami dla 2 sem. Wydz. Chemicznego/Technologii Chemicznej


Pobieranie 91.62 Kb.
Data18.06.2016
Rozmiar91.62 Kb.
Zapis ćwiczeń z algebry na Wydz. Inżynierii Chemicznej (zima 2002/2003)

z komentarzem i DODATKOWYMI ZADANIAMI dla 2 sem. Wydz. Chemicznego/Technologii Chemicznej.


21-22.11.2002 r.

1. Zbadać, czy wektory v1 = (1,2,3), v2 = (4,5,6), v3 = (7,8,9) w R3 są liniowo zależne. Odp.: Tak, np. v1 – 2v2 + v3 = 0 jest nietrywialną zależnością liniową między tymi wektorami (otrzymuje się np. przez rozwiązanie układu równań liniowych - obszerny przykład na rozwiązywanie układu równań liniowych zobacz w następnym zadaniu).

2. Rozwiązać następujący, jednorodny układ równań liniowych. Znaleźć bazę przestrzeni rozwiązań.

Odp. , podane trzy wektory stanowią bazę przestrzeni rozwiązań – będącej oczywiście pewną podprzestrzenią przestrzeni R6 (6 – ilość niewiadomych) Zauważmy przy okazji, że bez przeprowadzania jakichkolwiek obliczeń wiadomo, że podprzestrzeń ta jest nietrywialna (tzn. nie składa się z samego zera, jest niezerowa), bo równań jest tu mniej (5) niż ilość niewiadomych – jej wymiar jest zatem równy co najmniej jeden (6–5). Natomiast nie jest niczym dziwnym fakt, że wymiar tej przestrzeni w tym konkretnym przypadku jest równy aż 3. Dowodzi to tylko tego, że z kolei same równania układu są liniowo zależne pomiędzy sobą (w odpowiednim sensie tego słowa), czyli do określenia tej samej podprzestrzeni wystarczyłyby odpowiednio wybrane trzy równania. Które? Mianowicie utworzone z równań odpowiadających takim trzem wierszom macierzy, które są liniowo niezależne; mogą to być dowolne wiersze, które wchodzą do pewnego niezerowego minora 3 na 3 macierzy A rozważanego układu równań (a taki istnieje z definicji wyznacznikowej rzędu macierzy).

2. Wykazać, że funkcje 1, cos x, sin x (rozważane np. jako elementy przestrzeni wszystkich funkcji ciągłych na prostej) są liniowo niezależne. Wsk. Jeżeli jakaś kombinacja liniowa tych funkcji się zeruje, to zeruje się w szczególności w punktach 0, /2,  - być może to już wystarczy aby wykazać, że wszystkie współczynniki tej kombinacji liniowej muszą być równe zeru; jeżeli zaś nie wystarczy, to trzeba badać dodatkowe punkty, np. 3/2, ewentualnie /4 itd. Alternatywnie, można zróżniczkować tę zależność liniową 0,1,2 razy i wykorzystać zerowanie się funkcji, jej pochodnej i drugiej pochodnej choćby w jednym jedynym punkcie 0.

3. (Iloczyn kartezjański przestrzeni wektorowych.) Niech będą dane przestrzenie wektorowe V1 i V2 nad tym samym ciałem skalarów K (np. K = R lub C).

a) Rozważmy iloczyn kartezjański zbiorów V1 i V2 , tzn. zbiór V=V1V2 wszystkich par (v1,v2), gdzie v1V1, v2  V2 . Wprowadźmy w tym zbiorze działania dodawania i mnożenia wektora przez skalar w naturalny sposób, tzn.

(v1,v2) + (v1',v2') = (v1 + v2',v1 + v2'),

(v1,v2) = (v1,v2).

Wykazać, że zbiór V=V1V2 z tak wprowadzonymi działaniami staje się przestrzenią wektorową. (Jest to nietrudne, choć dość żmudne.)

4. Rozważmy zbiór R2 z następująco wprowadzonymi działaniami:

(x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2);

(x1, x2) = (x1, 0) dla R.

Czy przy takich definicjach działań R2 jest przestrzenią wektorową? Które z aksjomatów przestrzeni wektorowej są spełnione, a które ewentualnie nie? [Pytanie na później: Jeżeli tak, tzn. jeżeli jest przestrzenią wektorową, to podać przykład jakiejkolwiek bazy tej przestrzeni.] Odp.: Nie jest, ponieważ nie jest spełniony aksjomat dot. mnożenia wektora przez skalar 1.
29-30.11.2002 r. - Kolokwium I.
1. Zbadać, czy wszystkie ciągi nieskończone postaci (,,+,,,+,...) gdzie ,, R, tworzą podprzestrzeń przestrzeni wszystkich ciągów nieskończonych (x1, x2, x3, ...) ze zwykłymi działaniami. Jeżeli tak, to podać przykład jakiejkolwiek bazy rozważanej podprzestrzeni.

Odp.: Tak. Bazą jest na przykład układ składający się z trzech ciągów – (0,1,1,0,1,1,...),

(0,0,1,0,0,1,...), (1,0,0,1,0,0,...). (Każdy element rozważanej podprzestrzeni jest kombinacją liniową tych ciągów, o współczynnikach ,,.)

2. Wykazać, że funkcje - tworzą układ liniowo niezależny.

Wskazówka. Założyć, że pewna kombinacja liniowa się zeruje - zróżniczkować ją 0, 1, 2 razy, podstawić x=0, otrzymując pewien jednorodny układ równań liniowych względem współczynników kombinacji liniowej - o wyznaczniku różnym od zera (jest to szczególny przypadek tzw. wyznacznika Vandermonda; dla większej ilości parametrów liczy się go przez indukcję).

3. Wykazać, że funkcje cos2x, sin2x, cos4x, sin4x są liniowo zależne.

Wsk.: Rozważyć cos4x–sin4x

4. W przestrzeni R3 rozważamy podzbiór W={(x1,x2,x3): 2x1+3x2+5x3=0}.

a) Zbadać, czy W jest podprzestrzenią.

Jeżeli tak, to:

b) podać przykład bazy tej przestrzeni (tzn. W);

c) czy wektor (5,–5,1) należy do W? Jeżeli tak, to

ca) czy wektor ten da się przedstawić w postaci kombinacji liniowej wektorów znalezionej bazy - jeżeli tak, to znaleźć taką kombinację liniową i

cb) zbadać, czy takie przedstawienie (tzn. w postaci kombinacji liniowej wektorów bazy) jest jednoznaczne.

Odp. a) tak; b) np. {(–3/2,1,0),(–5/2,0,1)} - znajdujemy rozwiązując „jednorównaniowy” układ równań liniowych; c) tak; ca) tak - oczywiście, z definicji bazy; konkretnie - współczynniki (3,5), tak że [3,5]T jest kolumną współrzędnych danego wektora w tej bazie; cb) - tak, oczywiście, z wyznaczenia jedynego rozwiązania lub z własności bazy.

5. Rozstrzygnąć pytanie w a) z powyższego zadania także dla W={(x1,x2,x3): x1+x2+x3=1}, W={(x1,x2,x3): x1+x22=1}, W={(x1,x2,x3): x1jest liczbą wymierną}.

6. Zbiór wszystkich macierzy antysymetrycznych n na n (tzn. takich, że AT = –A) - wykazać (analogicznie jak dla macierzy symetrycznych na wykładzie), że zbiór ten jest podprzestrzenią przestrzeni wszystkich macierzy n na n; podać (skonstruować) przykład bazy - najpierw w szczególnym przypadku n=3, a następnie ogólnie; jaki jest wymiar tej przestrzeni? Odp.: n(n–1)/2.

7. Niech A będzie daną macierzą n na n, i niech W={X: AX=XA}, tzn. W jest zbiorem wszystkich macierzy kwadratowych n na n przemiennych z macierzą A. Wykazać, że W jest podprzestrzenią przestrzeni wszystkich macierzy kwadratowych n na n. W przypadku n=2 i gdy A jest konkretną macierzą 2 na 2, np. , podać przykład bazy przestrzeni W (to ostatnie znowu sprowadza się do rozwiązania układu czterech równań liniowych z czterema niewiadomymi).

8. Podobnie, niech X będzie ustalonym wektorem kolumnowym i rozważamy zbiór W wszystkich macierzy kwadratowych X takich, że AX=0. Wykazać, że jest to podprzestrzeń przestrzeni wszystkich macierzy kwadratowych n na n. W szczególnym przypadku gdy n=2 i X=[1,2]T, znaleźć (podać przykład) bazę przestrzeni W.

9. (nie dotyczy 2 sem. Chemii). Niech wektory będą liniowo niezależne. Tworzymy (nieco podobnie jak przy ortogonalizacji Grama – Schmidta – zob. później) wektory



Wykazać, że otrzymane w ten sposób wektory są również liniowo niezależne.

10. Jak wiadomo, przestrzeń wielomianów stopnia n posiada za bazę np. układ wektorów 1;x;x2,...,xn, tak że jej wymiar wynosi n+1. Wykazać, że inny układ n+1 wektorów, a mianowicie

1; x; x(x–1); x(x–1)(x–2); ... ; x(x–1)(x–2)...(x–n+1)

jest również bazą tej przestrzeni.

Wsk. Wystarczy zbadać liniową niezależność. Podstawiać kolejno szczególne punkty x=0, x=1, x=2 itd., co pozwoli otrzymać kolejno, że współczynniki kombinacji liniowej przy 1; x; x2 itd. muszą być równe zeru.

11. Obliczyć rząd r (dla wygody rozważania dalszych zagadnień w tym zadaniu używać tylko operacji na wierszach) macierzy .

a) Zauważyć, że dla każdej z kolejno otrzymywanych macierzy zbiór wszystkich liniowych zależności między kolumnami jest taki sam - i wszystkie współczynniki takiej liniowej kombinacji, zapisane kolumnowo, tworzą rozwiązanie układu AX=0.

b) Zauważyć, że przy tego rodzaju operacjach na wierszach podprzestrzeń generowana przez wiersze nie zmienia się. Np. zbiór kombinacji liniowych wektorów

w1, w2,...,wi,...,wj,...,wm

jest taki sam, jak zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów

w1, w2,...,wi+cwj,...,wj,...,wm .

c) Wykorzystać te uwagi do znalezienia maksymalnego liniowo niezależnego układu kolumn i maksymalnego liniowo niezależnego układu wierszy macierzy.

Częściowa odpowiedź: , wszystkie zależności liniowe mają postać . Widać, że wystarczy wziąć np. kolumny 1,4 i 5, zaś za wiersze - dowolne trzy liniowo niezależne wiersze, np. 1,3 i 4 (można to sprawdzić przez wybranie jakiejś podmacierzy kwadratowej 3 na 3 o niezerowym wyznaczniku, np. utworzonej z wierszy 1,3 i 4 a kolumn tych samych co powyżej, tzn. 1,4 i 5).

================================================================

Grupa zadań na jedno z podstawowych pojęć przestrzeni wektorowej – możliwość przedstawienia danego wektora jako kombinacji liniowej danego układu wektorów.

W następujących zadaniach (numeracja - wg Proskuriakowa) znaleźć wszystkie wartości , przy których wektor b wyraża się jako kombinacja liniowa podanych wektorów a1, a2, ..., as. Czy taka kombinacja liniowa jest wyznaczona jednoznacznie? Zinterpretować otrzymane wyniki.

665. a1 = (2,3,5), a2 = (3,7,8), a3 = (1,–6,1), b = (7, –2, ). Odp.: =15 (niejednoznaczna).

(5a1–3a2–a3 = 0; otrzymujemy to przez operacje na wierszach macierzy ; wszystkie wektory ai leżą na płaszczyźnie 11x1+x2–5x3=0 - otrzymujemy to przez operacje na wierszach macierzy )

666. a1 = (4,4,3), a2 = (7,2,1), a3 = (4,1,6), b = (5,9,). Odp.:  - dowolne (jednoznaczna). (Wektory ai są liniowo niezależne - stanowią bazę, każdy wektor przestrzeni ma jednoznaczne przedstawienie w postaci kombinacji liniowej wektorów bazy.)

667. a1 = (3,4,2), a2 = (6,8,7), b = (9,12,). Odp.:  - dowolne (jednoznaczna).

(Wszystkie wektory leżą tu na płaszczyźnie 4x1–3x2=0.)

668. a1 = (3,2,5), a2 = (2,4,7), a3 = (5,6,), b = (1,3,5). Odp.: 12 (jednoznaczna). (Dla =12 wektory ai są liniowo zależne i wtedy wektor b nie należy do dwuwymiarowej podprzestrzeni generowanej przez a1, a2 i a3, czyli przez a1 i a2.)

669. a1 = (3,2,6), a2 = (7,3,9), a3 = (5,1,3), b = (,2,5). Odp.: nigdy.

(Wektory ai leżą na płaszczyźnie 2x2–x3=0, zaś b nie leży na tej płaszczyźnie dla żadnego wyboru .)
================================================================

12 a) Wykazać, że wektory (1,–1,0,0),(1,0,–1,0),(1,0,0,–1) stanowią bazę podprzestrzeni W={(x1,x2,x3,x4):R4: x1 + x2 + x3 + x4=0}.

b) (Zadanie dobre do przygotowania się na egzamin, natomiast wykracza poza zakres materiału przewidziany na 2 kolokwium na 2 sem. Wydz. Chemicznego w r. akad. 2005/2006 w grupach 2 i 4.) Operator F:WW ma w tej bazie macierz . Obliczyć:

F(x1,x2,x3,–x1–x2–x3).

13. (Uwaga j.w.) a) W przestrzeni rozpiętej na wektorach 1, cos x, sin x, tzn. funkcji postaci

a + b cos x + c sin x,

rozważamy operator różniczkowania D. Pokazać, że D rzeczywiście nie wyprowadza poza tę przestrzeń, i znaleźć jego macierz w bazie {1, cos x, sin x}.

b) To samo dla podprzestrzeni rozpiętej na 1, x, cos x, x cos x, sin x, x sin x.

c) To samo dla podprzestrzeni rozpiętej na 1, x, ex, xex.

14. Rozważamy przestrzeń V=R2[x] wielomianów stopnia  2 o współczynnikach rzeczywistych. Wiadomo, że jedną z baz w tej przestrzeni jest B={1, x, x2}. Rozważamy układ wektorów C={x+1, x2–x, x2–1}.

a) Wykazać, że C jest bazą przestrzeni V. Wsk.: Rozważyć macierz współrzędnych podanych wektorów w bazie {1,x,x2), tzn. macierz , zbadać jej rząd lub obliczyć wyznacznik (zresztą to pierwsze ma pewien związek z tym drugim). b) (Nie dotyczy kolokwium na 2 sem. Wydz. Chemii, raczej nie będzie na egzaminie, bo wykracza poza standardowy materiał dotyczący przestrzeni Cn względnie Rn.) Niech F:VV będzie dany wzorem (Fw)(x)=(xw(x))'. Sprawdzić, że F jest operatorem liniowym. c) Napisać MBB(F). d) Obliczyć MCC(F). Odp. do d)

15. W przestrzeni V=R2[x] wielomianów stopnia  2 o współczynnikach rzeczywistych rozważamy układ wektorów C={x, x2–1, x2–x}.

a) Wykazać, że C jest bazą tej przestrzeni.

b) Operator F:VV dany jest wzorem (Fw)(x)=w(1)+[x2w(x)]". Wykazać, że F jest liniowy. (To jeszcze Chemia może rozwiązać.)

c) Znaleźć macierz tego operatora w „standardowej” bazie B=(1;x;x2). (To już wykracza poza materiał wykładany na Wydz. Chemii.)

d)* Znaleźć macierz tego operatora w bazie C (ew. wypisać tylko wyrażenie pozwalające tę macierz otrzymać). (j.w.)

16. Macierz odwzorowania liniowego F w bazie {1, 1+x; x2–x} przestrzeni R2[x] ma postać a) Znaleźć macierz A tego operatora w bazie {1; x; x2}. b) Obliczyć wartości własne operatora F. Czy można rozstrzygnąć problem czy F diagonalizuje się w pewnej bazie - bez znajdowania wektorów własnych? (To może dotyczyć 2 sem. Chemii w następującym sformułowaniu: zakładamy, że B jest macierzą operatora F w bazie przestrzeni R4 złożonej z wektorów , pytamy o macierz tego samego operatora w bazie zero-jedynkowej (kanonicznej, standardowej).

17. (TO JAK NAJBARDZIEJ DOTYCZY 2 sem. CHEMII.) B=(e1,e2) - baza V. Niech B’=(e1’, e2’), gdzie e1’=2e1+3e2, e2’=2e1–e2. (Czyli e1’ ma jako kolumnę współrzędnych macierz [2,3]T, zaś e2’ - macierz [2,–1]T.) a) Sprawdzić, że B’ jest również bazą przestrzeni V.) b) Wektor v ma w bazie B’ współrzędne [2,3]T. Jakie współrzędne ma ten wektor w bazie B? c) Wektor v ma w bazie B współrzędne [14,5]T. Jakie współrzędne ma ten wektor w bazie B’?

Odp. a) wynika np. z faktu, że wyznacznik utworzony ze wspomnianych kolumn (lub wierszy) jest różny od zera; b) [10,3]T; c) [3,4]T.

18. (Nie dotyczy Chemii.) Ogólnie, niech N=[aij] będzie macierzą n na n, det N0, B=(v1, v2, ..., vn), - ustalona baza przestrzeni V, B’=(v1’, v2’, ..., vn’), gdzie (Tak więc kolumnami współrzędnych wektorów vj w bazie B są kolejne kolumny macierzy N. Macierz N jest tzw. macierzą przejścia od bazy B do bazy B’.)

a) Sprawdzić, że B’ jest bazą dzięki temu, że B jest bazą i det N0.

b) Zauważyć, że w tej sytuacji mamy także (częściowo symboliczną) równość .

c) Sprawdzić, że dany wektor v, który w bazie B’ ma kolumnę współrzędnych X’=[x1’,...,xn’]T, w bazie B ma kolumnę współrzędnych X=[x1,...,xn]T, gdzie , tzn. X=NX’. (Uwaga - wtedy oczywiście X’=N–1X .)

19. (Dotyczy Chemii, jako przygotowanie do egzaminu). Macierz operatora liniowego w bazie B = (e1,e2) (przestrzeń nad R) ma postać . Wykazać, że B’=(e1+e2, e1–e2) jest również bazą tej przestrzeni i znaleźć macierz tego operatora w tej bazie. [Bez zmniejszenia ogólności można założyć, że e1, e2 jest bazą zero-jedynkową (kanoniczną, standardową), zaś za B’ można przyjąć układ .

20. Niech wektor v będzie kombinacją liniową wektorów u1, u2, ..., um, w, przy czym wektor v nie jest kombinacją liniową wektorów u1, u2, ..., um . Wykazać, że wtedy wektor w jest kombinacją liniową wektorów u1, u2, ..., um, v . (Jest to tzw. twierdzenie o wymianie.)

21. Wykazać, że jeżeli wektory v1, v2, v3, ... vm są liniowo zależne, to v1=0 lub też jeden z wektorów jest kombinacją liniową poprzednich (warunek v1=0 można opuścić, jeżeli umówić się, że 0 uważamy za kombinację liniową pustego zbioru wektorów).

22. Znaleźć (na ogół - zespolone) wartości własne i wektory własne operatora o macierzy

a) ; b) .

23. Operator liniowy F ma w bazie standardowej macierz . Znaleźć macierz tego operatora w bazie . Wyjaśnić zaobserwowane zjawisko.

24. Macierz operatora w przestrzeni 4-wymiarowej posiada wartości własne 1,2,4,8. Czy operator ten daje się zdiagonalizować (przez odpowiedni wybór bazy)? Odp.: Tak (wartości własne są pojedyncze, dla każdej wartości własnej wymiar odpowiedniej podprzestrzeni własnej jest równy 1).

25. Znaleźć wartości własne i wektory własne operatora o macierzy . Jaki jest wymiar podprzestrzeni własnej odpowiadającej wartości własnej –1. Czy operator ten można zdiagonalizować przez przejście do innej bazy?

26. Czy następujące macierze można zdiagonalizować przez przejście do innej bazy?

a) b)

27. Niech F będzie operatorem liniowym takim, że F2=I. Wykazać, że wartościami własnymi F mogą być tylko +1 lub –1.

28. Jeżeli v jest wektorem własnym macierzy A, odpowiadającym wartości własnej lambda, to co można stwierdzić o wektorze „v” w związku z macierzą a) A2 b) A–1, o ile istnieje?

(To już nie dotyczy 2 sem. Wydz. Chemii.) Ogólniej, niech dla macierzy A o wymiarach n na n



,

czyli wartościami własnymi macierzy A są .

a) Wykazać, że , czyli wartościami własnymi macierzy A2 są kwadraty wartości własnych macierzy A, z odpowiednim zachowaniem krotności (tzn. - w tym przypadku - połączeniem ewentualnych wartości własnych  i – w wartość własną 2 o krotności będącej sumą odpowiednich krotności dla  i –.

Uwaga. Własność tę można uogólnić na dowolny wielomian od macierzy A. Dowód jest nietrywialny.

b) Przy założeniu, że

,

wykazać, że



, a więc wartościami własnymi macierzy A–1 są odwrotności wartości własnych macierzy A z odpowiednimi krotnościami.

Wsk.:.

29. (Jeżeli chodzi o 2 sem.Wydz. Chemicznego: Jeśli ktoś ma dużo czasu, może zrobić to zadanie, ale w stosunku do tych występujących na egzaminie jest zbyt teoretyczne.) W przypadku macierzy A=[aij] 3 na 3 przeliczyć, że w wielomianie charakterystycznym tej macierzy, zapisanym w postaci , współczynnik cj jest sumą minorów głównych macierzy A stopnia j, tzn. podwyznaczników symetrycznych w stosunku do przekątnej macierzy A. Tak więc

.

Ponadto (wniosek ze wzorów Viete’a dla n=3), dla wartości własnych mamy wtedy



.
JESZCZE INNE ZADANIA DOT. MATERIAŁU ZUPEŁNIE PODSTAWOWEGO.
Wektory e1,e2,...,en oraz x są zadane za pomocą swoich współrzędnych w ustalonej bazie (np. standardowej bazie przestrzeni Rn lub Cn). Pokazać, że wektory e1,e2,...,en również stanowią bazę, i znaleźć współrzędne wektora x w tej bazie.
Pr. 1277. . Odp.: .

Pr. 1278. . Odp.: .

Pr. 1279. . Odp.: .

Pr. 1252. Znaleźć współrzędne wielomianu w bazie

a) ; b) (a-dowolne ustalone). Wsk. do b): wzór Taylora.

Czy podane zbiory są podprzestrzeniami odpowiednich przestrzeni wektorowych?

1285. Wszystkie wektory przestrzeni Rn, których wszystkie xi są całkowite?

1286. Wszystkie wektory na płaszczyźnie R2, leżące na jednej z osi współrzędnych?

1287. Wszystkie wektory na płaszczyźnie R2, których końce leżą na danej prostej? (Za początek wektora przyjmujemy zawsze początek układu współrzędnych.)

1291. Wszystkie wektory z Rn, dla których ?

1292. Wszystkie wektory z Rn, dla których ?

1297. Wszystkie wektory z Rn, dla których ?

1298. Wszystkie wektory z R2n, dla których ?

Odp.: 1285, 1286, 1292 – nie; 1291, 1297, 1298 – tak; 1287 – tak, jeżeli rozpatrywana prosta przechodzi przez 0, nie – w pozostałych przypadkach.

Znaleźć wszystkie kombinacje liniowe podanych wektorów, które się zerują (tzn. podać ogólną postać takiej kombinacji liniowej), i wykorzystać otrzymane wyniki do znalezienia maksymalnego liniowo niezależnego podzbioru danego zbioru wektorów, czyli – co na jedno wychodzi – bazy podprzestrzeni, rozpiętej na tym układzie wektorów (zapis np. (a,b,c,d) dla wydziału Chemii oznacza to samo, co ). Uwaga: W celu znalezienie maksymalnego podukładu liniowo niezależnego, można policzyć tylko rząd odpowiedniej macierzy – wykonując operacje zarówno na wierszach jak i kolumnach - i maksymalny podukład liniowo niezależny wybrać choćby metodą prób i błędów. Jednakże najlepiej obliczać rząd a zarazem rozwiązywać układ równań na wszystkie zerujące się kombinacje liniowe, wykonując tylko operacje elementarne na wierszach i wybierając te same wektory początkowego układu, czyli kolumny, co te liniowo niezależne ALBO w tzw. postaci wierszowo zredukowanej, ALBO takiej, jaką otrzymujemy w procesie rozwiązywania układu równań liniowych i z której odczytujemy ostateczne rozwiązanie. Obszerniejsze przykłady znajdowania wszystkich zerujących się kombinacji liniowych zostaną podane w dalszym ciągu, poniżej.

1310. a1=(1,0,0,–1), a2=(2,1,1,0), a3=(1,1,1,1), a4=(1,2,3,4), a5=(0,1,2,3).

Odp.: Bazę stanowią np. a1, a2 i a4.

1311. a1=(1,1,1,1,0), a2=(1,1,-1,–1,–1), a3=(2,2,0,0,–1), a4=(1,1,5,5,2), a5=(1,–1,–1,0,0).

Odp.: Bazę stanowią np. a1, a2 i a5.
Zadania nieco bardziej skomplikowane.
1. Sprawdzić, które z układów wektorów są liniowo niezależne: (* - dla Wydziału Chemii: zapisać wszystkie wektory w postaci kolumnowej)
a) (1,1,0,0), (0,1,0,1), (0,0,1,1), (1,0,1,0);

b) (1,2,3,1,2), (0,1,2,3,1), (3,1,2,1,0);

c) (2,3,1), (1,2,3), (4,1,2), (0,1,2)
2. Dane są wektory v1 = (1,1,1,0), v2 = (0,0,1,1),v3 = (0,1,1,1). Dobrać wektory v4 i v5 takie, aby układ v1, v2, v3, v4 był liniowo niezależny, a układ v1, v2, v3, v5 był liniowo niezależny. (Zob. ćwiczenia.)
3. Znaleźć wszystkie zależności liniowe (tzn. ogólną postać zależności liniowej) dla wektorów [poniżej – zawsze rozwiązanie odpowiedniego układu równań]:

a) (1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(0,2,1,1),(1,2,1,2).

Rozwiązanie. Mamy ciąg macierzy otrzymanych przez operacje elementarne na wierszach:

.

Oznacza to, że ogólną postacią zależności liniowej takiej kombinacji liniowej, która się zeruje (każda z nich, oprócz trywialnej, dowodzi liniowej zależności podanego układu wektorów), tzn. takiej, że


x1(1,1,0,0) +x2(0,1,1,0)+x3(0,0,1,1)+x4(1,0,1,0)+x5(0,2,1,1)+x6(1,2,1,2)=0
– jest: x1 = –t1–2t2 , x2 = –t1, x3 = –t1–2t2, x4 = t1+t2, x5 = t1, x6 = t2. W szczególności pierwsze cztery wektory są liniowo niezależne (bo w końcowej macierzy pierwsze cztery kolumny są oczywiście liniowo niezależne).
b) (1,0,–1,0,1),(1,1,0,0,–1),(–1,2,1,–1,3),(2,3,1,0,0),(6,4,–2,0,2),(6,–1,3,5,–8).



;

c) (1,–1,2,0,4),(1,0,3,–1,1),(2,0,0,1,3),(0,1,5,3,2),(–5,–1,10,–13,–12),(0,12,40,16,–1).





(Jako przygotowanie do egzaminu:)

4. Znaleźć bazę jądra i bazę obrazu przekształcenia liniowego o macierzy

.

Rozwiązanie: Obraz jest rozpięty na kolumnach macierzy. Znajdujemy ogólną postać liniowych zależności pomiędzy kolumnami macierzy. Przekształcając za pomocą operacji elementarnych na wierszach otrzymujemy kolejno:





Baza jądra – np. (–3,1,–5,–5,0),(2,0,0,4,1); bazę obrazu stanowią np. pierwsza, trzecia i czwarta kolumna macierzy (po przekształceniach te kolumny są liniowo niezależne, a zależności liniowe między kolumnami nie zmieniają się przy operacjach elementarnych na wierszach), tzn.

(2,2,–1,3,1),(4,–2,1,3,–1),(–4,2,2,0,4).

Z następującego układu wektorów wybrać układ liniowo niezależny, generujący tę samą przestrzeń, oraz uzupełnić ten otrzymany układ do pewnej bazy przestrzeni R5.

v1=(2,0,1,3,–1),v2=(0,–2,1,5,–3),v3=(1,–1,1,4,–2),v4=(3,2,0,–2,2),v5=(4,–1,2,7,–3).

Wsk. W myśl ogólnej teorii wystarczy dopisać do tego układu pewien zbiór generujący przestrzeń, np. bazę kanoniczną (zero-jedynkową) e1,...e5, i z powstałego układu wykreślać kolejno te wektory, które są kombinacją liniową wektorów poprzedzających. Systematycznie badać wszystkie zależności liniowe między wektorami możemy tworząc macierz A kolumnowo zapisanych współrzędnych i rozwiązując układ równań AX=0 za pomocą operacji elementarnych na wierszach macierzy A: (ten ciąg macierzy może zawierać pewne drobne błędy – jeżeli Państwo je znajdą, proszę mi dać znać):






. (Jak widać, w kolumnach zerowano tylko elementy znajdujące się POD jedynką, elementów znajdujących się NAD jedynką nie zerowano – ale to wystarcza do końcowego stwierdzenia; albo też jest tu jakiś błąd, którego w tej chwili nie koryguję, aby dostarczyć Państwu ten plik możliwie najwcześniej; postaram się to uzupełnić, ale w ostateczności chyba mogą się Państwo obejść bez tego jednego zadania) Odp. Układ (v1,v2,v4) jest maksymalnym liniowo niezależnym podzbiorem danego układu wektorów, a układ (v1,v2,v4,e2,e3) jest bazą przestrzeni R5.
====================================================================
PONIŻSZE, już do samego końca pliku, NIE DOTYCZY 2 sem. WYDZIAŁU CHEMII
30. Wykazać (przeliczyć), że norma w przestrzeni z iloczynem skalarnym spełnia tzw. warunek równoległoboku

31. Wykazać (przeliczyć), że iloczyn skalarny wyraża się poprzez normę związaną z tym iloczynem skalarnym w sposób następujący:





Są to tzw. wzory (formuły) polaryzacyjne.

32. (Uogólnienie warunku równoległoboku) Niech a, b, c, d będą długościami boków czworokąta, e, f - długościami jego przekątnych, m - długością odcinka łączącego środki przekątnych czworokąta, powiedzmy M' i M". Udowodnić, że wtedy

.

(W przypadku równoległoboku m=0 i otrzymujemy znany już warunek równoległoboku.)

Wsk. Niech wektor a = AB, b = BC, c=CD, d=DA, u=M'A, v=M"B, w=M'M". Obliczyć a2, b2, c2, d2 i dodać.

33. Znaleźć ortonormalną bazę podprzestrzeni przestrzeni R4 (ze zwykłym iloczynem skalarnym), generowanej przez wektory (1,1,0,0), (1,–1,1,1), (–1,0,2,1), (0,1,2,1).

34. Zortogonalizować wielomiany 1; x; x2, x3 względem iloczynu skalarnego (wariant: ).

35. Znaleźć rzut ortogonalny wektora (2, 2, 1, 1) na podprzestrzeń, rozpiętą na wektorach v1=(3, 4,–4,–1) i v2=(0, 1,–1, 2). Odp.v1/6+v2/3=(1/2, 1, –1, 1/2) (składowa ortogonalna: (3/2, 1, 2, 1/2).

36. W przestrzeni wielomianów stopnia  2 nad R, znaleźć macierz rzutowania ortogonalnego na podprzestrzeń rozpiętą na wektorach x; x2, w bazie 1; x; x2. Iloczyn skalarny .

37. W przestrzeni wielomianów stopnia  3 z iloczynem skalarnym znaleźć rzut ortogonalny wektora x3 na podprzestrzeń, rozpiętą na wektorach 1; x; x2, oraz długość składowej ortogonalnej tego wektora w stosunku do tej podprzestrzeni.

Wsk.: Rzutu szukać w postaci 0 + 1x + 2x2 , zażądać aby wektor x3 – (0 + 1x + 2x2) był ortogonalny do wektorów 1, x, x2, co daje układ trzech równań z trzema niewiadomymi. Odp.: rzut 1/20–3/5x+3/2x2, składowa ortogonalna –1/20 + 3/5x –3/2x2 + x3, kwadrat jej długości można obliczyć albo bezpośrednio, jako całkę, co daje 1/2800, albo jako stosunek odpowiednich wyznaczników Grama (b. uciążliwe).

38. Dla danej zespolonej macierzy hermitowskiej znaleźć macierz unitarną C, taką aby było rzeczywistą macierzą diagonalną . (Jak wiadomo, C jest tu macierzą przejścia od bazy pierwotnej (np. standardowej) do bazy ortonormalnej, złożonej z wektorów własnych operatora, zaś w  na przekątnej występują wartości własne operatora.)

39. W przestrzeni Rn[x] wielomianów stopnia n określono iloczyn skalarny wzorem . Które z przekształceń

F1: f(t)f(–t) (inaczej: (F1f)(t)=f(–t))

Gn: f(t)tnf(1/t) (inaczej: (Gnf)(t)=tnf(1/t)), n=2, 3, 4, ...

są unitarne?

40. Macierze A i B (n na n) są hermitowskie. Wykazać, że wtedy macierz i(AB–BA) jest hermitowska (i - jednostka urojona).

41. Niech A będzie macierzą hermitowską. Czy A–1, o ile istnieje, musi być hermitowska?

42. Operator liniowy F w n-wymiarowej przestrzeni V z iloczynem skalarnym posiada n rzeczywistych wartości własnych (licząc krotności) oraz istnieje baza ortonormalna przestrzeni V, złożona z wektorów własnych operatora F. Wykazać, że F jest hermitowski.

Operator liniowy F w n-wymiarowej przestrzeni V z iloczynem skalarnym posiada wszystkie wartości własne o module równym 1, oraz istnieje baza ortonormalna przestrzeni V, złożona z wektorów własnych operatora F. Wykazać, że F jest unitarny.

43. Obliczyć (wsk.: znaleźć postać diagonalną macierzy, podnieść do potęgi i wrócić do pierwotnej bazy).

44. Operator hermitowski F w n-wymiarowej przestrzeni V z iloczynem skalarnym nazywamy nieujemnym, jeżeli  0 dla dowolnego wektora uV. Wykazać, że jeżeli F jest nieujemny, to wszystkie jego wartości własne są nieujemne. Następnie korzystając z twierdzenia spektralnego dla operatorów hermitowskich w skończenie wymiarowej przestrzeni unitarnej, wykazać twierdzenie odwrotne. Na przykładzie operatora o macierzy pokazać, że bez założenia o hermitowskości operatora takie twierdzenie nie byłoby prawdziwe.

45. Niech . Znaleźć macierz hermitowską B taką, że B2=A i B ma nieujemne wartości własne. (Wskazówka: Dla operatora o macierzy A w pewnej bazie ortonormalnej (np. - standardowej bazie ortonormalnej w R2, znaleźć bazę - najlepiej ortonormalną , w której jego macierz ma postać diagonalną; w tej bazie problem staje się trywialny - rozwiązać go i wrócić do początkowej bazy).

46. Znaleźć bazę ortonormalną przestrzeni, złożoną z wektorów własnych operatora o macierzy a) b) .

47. Niech U - operator unitarny H - hermitowski, F=UH. Sprawdzić, że tak otrzymany operator F jest normalny wtedy i tylko wtedy, gdy UH=HU.

48. Niech A będzie macierzą hermitowską nn.

a) Pokazać, że wtedy istnieje macierz (A–iI)–1 (i - jednostka urojona).

b) Pokazać, że macierze (A–iI) oraz (A+iI)–1 są przemienne.

c) Pokazać, że macierz U=(A–iI)(A+iI)–1 jest macierzą unitarną, nie posiadającą wartości własnej –1.

d) Pokazać że i na odwrót, dla dowolnej macierzy unitarnej U nie posiadającej wartości własnej –1 istnieje dokładnie jedna macierz hermitowska A taka, że U=(A–iI)(A+iI)–1.

49. a) Dla cząsteczki benzenu napisać macierz strukturalną, obliczyć jej wartości własne i wektory własne, i w konsekwencji poziomy energetyczne benzenu i ortonormalny układ orbitali molekularnych.

b) Korzystając z tego, że benzen jest alternujący, znaleźć to samo metodą wymagającą mniej rachunków.

50. Znaleźć poziomy energetyczne i ortonormalne układy orbitali molekularnych dla następujących cząsteczek alternujących (podana jest cząsteczka i obok – macierz strukturalna). W charakterze częściowej odpowiedzi są podane wartości własne.
---o 0 1

2---1 1 0

Wartości własne: 1, –1

*---o---* 0 1 1

2 1 3 1 0 0

1 0 0


Wartości własne: 0, 2, –2
*---o---*---o 0 0 1 0

4 2 3 1 0 0 1 1

1 1 0 0

0 1 0 0


Wartości własne: (15)/2 (cztery kombinacje znaków)

1 3 0 0 1 1

o * 0 0 1 1

| | 1 1 0 0

* o 1 1 0 0

4 2


Wartości własne: 0, 0, 2
*5 0 0 1 1 1

| 0 0 1 1 0

| 1 1 0 0 0

1 o--* 4 1 1 0 0 0

| | 1 0 0 0 0

3 * o 2


Wartości własne: 0, ((517)/2) (cztery możliwe kombinacje znaków)
1o 0 0 1 1 1

/|\ 0 0 1 1 1

3* * *5 1 1 0 0 0

\|/ 1 1 0 0 0

2o 1 1 0 0 0

Wartości własne: 0, 0, 0, 6


J.w., ale cztery atomy * na środkowym poziomie

Wartości własne: 0, 0, 0, 0, 22; liczy się b. ładnie


6*

|

1o 0 0 1 1 1 1



/|\ 0 0 1 1 1 0

3* * *5 1 1 0 0 0 0

\|/ 1 1 0 0 0 0

2o 1 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0

Wartości własne: 0, 0, ((737)/2)


1o o2

\ /


6*

|

3o



/ \

5* *6
Wartości własne: 0, 0, 1, 2

1o--*6

| |


5*--o2

| |


3o--4*
Wartości własne: 1, (21). Liczy się dość ładnie.
J.w., plus połączenie atomu 1 z 4

Wartości własne: 0, 0, (31)


J.w., plus połączenie atomu 3 z 6

Wartości własne: 0, 0, 0, 0, 3





Str. z




©snauka.pl 2016
wyślij wiadomość