1. Zmienne losowe



Pobieranie 42.66 Kb.
Data19.06.2016
Rozmiar42.66 Kb.

1.Zmienne losowe


Wstęp. Zmienne losowe dyskretne (losowanie 6 z 49, rzut kostką, inne), zmienne losowe ciągłe (pomiar T, R, U, inne).
    1. Rozkład zmiennej losowej


Przypomnimy wybrane pojęcia i definicje.

Zdefiniujmy: zmienna losowa to x, jej realizacja, liczba rzeczywista to x.


Dystrybuanta oznacza prawdopodobieństwo, że zmienna losowa x jest mniejsza od pewnej liczby rzeczywistej x.


Dla zmiennych losowych dyskretnych dystrybuanta jest zmienną skokową:

Rys.1. Dystrybuanta dla rzutów idealnie symetryczną kostką. Dystrybuanta zmiennej losowej dyskretnej. W szczególności, .
Bardzo ważne są dystrybuanty ciągłe posiadające pierwszą pochodną, gdyż z nich wywodzi się pojęcie gęstości prawdopodobieństwa :

Z powyższego wynikają znane zależności:



Wiąże się z tym pojęcie przedziału ufności i poziomu ufności. W oparciu o znajomość funkcji gęstości rozkładu można obliczyć prawdopodobieństwo znalezienia się wyniki w dowolnym przedziale:



Przedział nazywamy przedziałem ufności, a odpowiadające mu prawdopodobieństwo  to poziom ufności. Najczęściej przedział ufności rozmieszcza się symetrycznie wokół wartości średniej:



.

gdzie to współczynnik o wartości zależnej od poziomu ufności .


    1. Funkcje jednej zmiennej losowej. Wartość oczekiwana, wariancja, momenty


Najczęściej wielkość badana ( np. moc) jest wyrażona przez inną, mierzalną wielkość (np. napięcie). Mamy zatem do czynienia z badaniem funkcji zmiennej losowej x, która to funkcja jest także zmienną losową. Przypomnijmy definicje:


Zmienna losowa

Wartość średnia dla zmiennych

dyskretnych



Wartość średnia dla zmiennych

ciągłych


x










Weźmy pod uwagę pewną specjalną, często występującą zależność zmiennej losowej y od zmiennej losowej x:



W ogólności rozważa się momenty zerowego, pierwszego, drugiego itd. rzędu. Są one następujące:



Bardzo ważną wielkością jest moment drugiego rzędu - wariancja:



Jest ona miarą szerokości rozkładu funkcji gęstości prawdopodobieństwa wokół wartości średniej . Wielkość:



nosi nazwę odchylenia standardowego lub dyspersji. Wiąże się z tym pojęcie przedziałów , oraz wokół wartości średniej. Dla poszczególnych przedziałów zachodzi:



Oznacza to, że w przedziale znajdzie się 68.3%, w przedziale znajduje się 95.4% a w przedziale aż 99.8% ze wszystkich możliwych wyników pomiaru danej wielkości. Tak więc dowolny wynik pomiaru znajdzie się (prawie) na pewno w przedziale . Na 1000 wyników zaledwie 2 (statystycznie) mogą znaleźć się poza przedziałem . Inaczej:



  • przedział ufności wiąże się z poziomem ufności =0.998,

  • przedział ufności wiąże się z poziomem ufności =0.954,

  • przedział ufności wiąże się z poziomem ufności =0.683.

Rys.2. Rozkład normalny (Gaussa) dla zmiennej losowej o wartości średniej i wariancji wynoszącej 400 i 100.


Wielkość  (odchylenie standardowe) jest miarą rozrzutu wyników pomiaru wokół wartości średniej. Oto kilka ważnych właściwości średniej i wariancji:





średnia

wariancja







,to tzw. zmienna

standaryzowana





=1



    1. Przypadek 2 zmiennych losowych. Dystrybuanta, gęstość prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo warunkowe, wartość oczekiwana, wariancja


Jakie jest prawdopodobieństwo, że wartości 2 zmiennych losowych x i y spełniają warunek:

xyMówi o tym dystrybuanta 2 zmiennych: F(x,y)=P(xy

Wiąże się z tym łączna gęstość prawdopodobieństwa f(x,y):

, która pozwala na wyznaczenie prawdopodobieństwa:

gdzie to brzegowe gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej x i y.

Gdy zmienne losowe są niezależne, wtedy: , czyli:

łączna gęstość prawdopodobieństwa zmiennych losowych niezależnych jest równa iloczynowi brzegowych gęstości prawdopodobieństwa.


Definiuje się ponadto gęstość prawdopodobieństwa warunkowego:


Wartość średnia i wariancja

Z definicji:




Rozważmy, jak poprzednio, pewną często stosowaną funkcję i jej momenty rzędu rs tzn. :

Dla powyższej funkcji 2 zmiennych losowych zachodzi:



Weźmy inną, często stosowaną funkcję 2 zmiennych losowych:



,

i jeszcze inną funkcję 2 zmiennych losowych:

Aby obliczyć wartość średnią i wariancję, dla tej ostatniej funkcji, założymy niezależność zmiennych losowych x,y:



, a zatem:


Stosuje się także współczynnik korelacji zmiennych losowych:

Jest on różny od zera tylko dla zmiennych losowych zależnych. Dla zmiennych losowych niezależnych (jak założyliśmy dla ) zachodzi: .

Zapamiętamy: kowariancja i współczynnik korelacji są miarą współzależności zmiennych losowych.

    1. Wiele (n) zmiennych losowych. Dystrybuanta, gęstość prawdopodobieństwa, wartość oczekiwana, wariancja


Dla n zmiennych losowych definiujemy:


  • Dystrybuanta: .

  • Łączna gęstość prawdopodobieństwa: ,

  • Łączna gęstość prawdopodobieństwa dla zmiennych losowych niezależnych: .

  • Wartość średnia, wariancja i kowariancja:

Przyjęło się przedstawiać zbiór n zmiennych losowych w postaci wektora kolumnowego, a wariancje i kowariancje w postaci macierzy wariancji-kowariancji C:




i dla takich oznaczeń zachodzi:


Przypomnijmy, że w wyniku mnożenia (wiersz*kolumna) otrzymujemy skalar:

,

podczas gdy z mnożenia (kolumna*wiersz) otrzymujemy macierz:



.
    1. Zamiana zmiennych


Pamiętamy, że funkcja zmiennej losowej x jest także zmienną losową.

Pytanie: jaka jest gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej , skoro wiadomo, że gęstość prawdopodobieństwa zmiennej losowej x jest równa ?

Odpowiedź: rozkłady gęstości prawdopodobieństwa i związane są zależnością:


Dla ogólnego przypadku n-wymiarowych zmiennych losowych x i y (czyli wektorowych zmiennych losowych), ich gęstości prawdopodobieństwa i wiążą się ze sobą poprzez jakobian transformacji J :




    1. Propagacja błędów


Założymy, że chcemy wyznaczyć wektorową zmienną losową y i że zależy ona od innej zmiennej losowej wektorowej x w następujący sposób:

Powyższy przypadek to transformacja liniowa zmiennej. Zakładamy, że macierz T oraz wektor a są deterministyczne (nie są zmiennymi losowymi).


Załóżmy, że chcemy wyznaczyć macierz kowariancji zmiennej losowej y, a znana jest nam macierz kowariancji zmiennej losowej x. Jest to typowa sytuacja pomiarowa, gdy np. na podstawie wyników pomiaru prądu i napięcia poszukujemy np. rezystancji i mocy .

Zapiszmy tymczasem interesujące nas zależność w postaci ogólnej:




Powyższy wzór końcowy jest bardzo ważny - wywodzi się z niego prawo propagacji błędów. Poniżej przedstawiony jest problem i szkic jego rozwiązania poniżej.

  • Zakładamy, że znane są (tzn. wartości średnie o których wiadomo, że są estymatami wartości rzeczywistych, prawdziwych) oraz że, znana jest macierz składająca się odpowiednio z wariancji oraz kowariancji: .

  • Pytamy: jakie są błędy wektorowej zmiennej losowej ?

  • Rozwiązanie. Zakładamy, że wartości zmiennych losowych x są bardzo bliskie ich wartościom średnim i rozwiniemy funkcję w szereg Taylora w otoczeniu :


+ (w każdym wierszu) wyrazy wyższych rzędów tzn. pochodne wyższego rzędu i odchyłki w wyższych potęgach.


Zastosujemy przybliżenie do liniowej części rozwinięcia w szereg, tzn. ograniczymy się do odchyłek w pierwszej potędze i pierwszych pochodnych. Zatem:

Wielkość można także przedstawić, wykorzystując pojęcie transformacji liniowej, tzn. odejmując oraz , a mianowicie:

Z porównania 2 sposobów przedstawienia otrzymujemy wzór na macierz T:


Podsumowanie

Wyznaczyć błędy dla wielkości y(x) to znaczy wyznaczyć macierz kowariancji tej wielkości:



Do tego potrzebna jest znajomość błędów wielkości x, tzn. znajomość macierzy kowariancji (a to założono), oraz znajomość macierzy T transformacji błędów wielkości x na błędy y:




Zauważmy, że zależy od całej macierzy , a nie tylko od jej elementów z głównej przekątnej, tzn. zależy nie tylko od wariancji , ale zależy także od pozostałych elementów tej macierzy, elementów pozadiagonalnych, czyli kowariancji . Jedynym wyjątkiem jest sytuacja, gdy zmienne to zmienne losowe niezależne. Wówczas wszystkie i macierz ma niezerowe elementy tylko głównej przekątnej: są to . Elementy z głównej przekątnej macierzy , czyli , mają wtedy postać:

.

Błąd wyznaczenia wielkości (odchylenie standardowe) obliczamy z zależności:


Zadanie 1. Na podstawie pomiaru wielkości (dokonanych z dokładnością oraz , taką że , i wzajemnie niezależnych, ) będą wyznaczone 2 wielkości od nich zależne: oraz .

Oblicz dla :.

Rozwiązanie.

Polecenie sprowadza się do obliczenia macierzy kowariancji dla . Wymaga to znajomości macierzy kowariancji i macierzy transformacji T. Obliczamy:





Poszukiwane wariancje to, odpowiednio 1-szy i 2-gi, wyraz z głównej przekątnej macierzy :





a kowariancje, to elementy poza przekątną:



Ostatecznie otrzymujemy:



Załóżmy, że mierzone są z taką samą dokładnością względną , np. może to oznaczać dokładność 1% czy też 5%. Takie założenie bardzo często (prawie zawsze) może być poczynione. Otrzymamy wówczas:



Oznacza to, że poszukiwane będą znane z dokładnością razy gorszą niż dokładność pomiaru wielkości . Ponadto, są one skorelowane, w stopniu określonym przez współczynnik korelacji 0.95 .




2016-06-19





©snauka.pl 2019
wyślij wiadomość

    Strona główna
Komunikat prasowy
przedmiotu zamówienia
najkorzystniejszej oferty
Informacja prasowa
wyborze najkorzystniejszej
warunków zamówienia
istotnych warunków
sprawie powołania
Regulamin konkursu
udzielenie zamówienia
przetargu nieograniczonego
zamówienia publicznego
Nazwa przedmiotu
Specyfikacja istotnych
modułu kształcenia
Rozporządzenie komisji
studia stacjonarne
wyborze oferty
Zapytanie ofertowe
Szkolny zestaw
Ochrony rodowiska
ramach projektu
prasowy posiedzenie
trybie przetargu
obwodowych komisji
zagospodarowania przestrzennego
komisji wyborczych
komisji wyborczej
Program konferencji
Wymagania edukacyjne
Lista kandydatów
szkoły podstawowej
która odbyła
Województwa ląskiego
Decyzja komisji
przedmiotu modułu
poszczególne oceny
Sylabus przedmiotu
szkół podstawowych
semestr letni
Postanowienia ogólne
przedsi biorców
produktu leczniczego
Karta przedmiotu
Scenariusz lekcji
Lista uczestników
Program nauczania
Projekt współfinansowany
Informacje ogólne
biblioteka wojewódzka
semestr zimowy