Strona główna

Cyfrowe przetwarzanie sygnałÓw elektrycznych instrukcja dodatkowa


Pobieranie 303.16 Kb.
Strona1/3
Data20.06.2016
Rozmiar303.16 Kb.
  1   2   3


CYFROWE PRZETWARZANIE SYGNAŁÓW ELEKTRYCZNYCH

Instrukcja dodatkowa
Ćwiczenie należy wykonywać zgodnie z niniejszą instrukcją. Po włączeniu komputera automatycznie otwierają się dwa programy: wirtualny analizator harmonicznych oraz konspekt sprawozdania z ćwiczenia. Z konspektu należy korzystać w trybie „Tylko do odczytu”. Wyniki pomiarów można przenosić bezpośrednio z analizatora do konspektu za pomocą klawiszy Ctrl-CCtrl-V. Po zakończeniu pomiarów zapisujemy konspekt na dyskietce pod dowolną nazwą. Podczas wykonywania sprawozdania należy dopisać do konspektu cel ćwiczenia, wzory, wyniki obliczeń i wnioski.

Na pulpicie znajduje się ikona niniejszej instrukcji AH_CPSE_inst. Instrukcję tę należy także skopiować na dyskietkę, gdyż jest pomocna przy wykonywaniu sprawozdania. Materiały do ćwi­czenia są umieszczone również na stronie www.metrol.p.lodz.pl/dydaktyka_dzienne_MEiE.htm. Znajduje się tam także program instalacyjny analizatora, który można – po zapisaniu i rozpakowaniu – zainstalować na własnym komputerze, klikając na plik Setup.exe.

W celu zamknięcia programu  po wykonaniu pomiarów  należy kliknąć na znaku X w pra­wym, górnym rogu. Następnie z menu „Start” na dolnym pasku należy wybrać polecenie „Zamknij system…” i potwierdzić je klikając na przycisku „Tak”. Komputer można wyłączyć dopiero po pojawieniu się na ekranie komunikatu „Można teraz bezpiecznie wyłączyć komputer”.
Opis użytych przyrządów i programów


  • komputer PC: procesor Pentium MMX, częstotliwość zegara 166 MHz, pamięć RAM 32 MB, system operacyjny Windows XP

  • program AH_CPSE opracowany w Zakładzie Metrologii Elektrycznej PŁ

19.3.1. Pomiary harmonicznych sygnału okresowego



  1. Pomiary w przypadku, gdy znana jest wartość częstotliwości podstawowej harmonicznej


Zapoznanie się z działaniem programu komputerowego
Poznamy działanie wirtualnego analizatora harmonicznych badając jednocześnie wpływ liczby próbek i częstotliwości próbkowania na parametry widma sygnału sinusoidalnego. W tej części ćwiczenia obserwujemy przebiegi pojawiające się na ekranie i porównujemy ich parametry z wartościami obliczonymi ze wzorów. Wyniki pomiarów zaczniemy notować dopiero po dojściu do tabeli 3a.

Po urucho­mieniu programu widzimy na górnym monitorze przebieg sinusoidalny o amplitudzie A1 = 10 V, częstotliwości f1 = 50 Hz i składowej stałej A0 = 1 V. Kształt przebiegu wynika z zaznaczenia w oknie „Wybór sygnału” sygnału poliharmonicznego, czyli sygnału zawierającego wiele harmonicznych o częstotliwościach od f1 do fmax = nmax.f1; w tym przypadku nmax = 1. Liczba próbek została ustawiona na M = 8, a częstotliwość próbkowania na fS = 800 Hz. Okres próbkowania TS (S od sampling – próbkowanie) wynosi



(1)

a długość okna pomiarowego TW (W od window – okno)



(2)

co odpowiada połowie okresu badanego sygnału T1 = 20 ms (próbka dla t = 10 ms nie występuje, gdyż ta wartość czasu nie należy już do okna). Z menu „Wybór wykresów” wybieramy „Widmo sygnału”. Widzimy, że prążki w widmie częstotliwościowym są rozmieszczone co 100 Hz. Jest to zgodne ze wzorem na rozdzielczość widma fW, która zależy tylko od wybranej przez nas długości okna



(3)

Również wartość pulsacji = 2fW, występującej w poszukiwanym szeregu Fouriera (19.1), nie wynika z wykona­nych obliczeń FFT, ale jest narzucona a priori przez wybór długości okna TW.

Wynik analizy jest jednak błędny, gdyż ani częstotliwość f1 = 50 Hz, ani składowa stała A0 = 1 V nie zostały prawidłowo obliczone. W celu uzyskania zgodności częstotliwości prążków widma z częstotliwościami składowych harmonicznych badanego sygnału musimy wydłużyć okno pomiarowe tak, aby zawierało jeden lub kilka okresów badanego sygnału. Możemy to uzyskać przez zwiększenie liczby próbek M lub zwiększenie okresu próbkowania TS.
Badanie wpływu liczby próbek na parametry widma sygnału

Najpierw podwajamy liczbę próbek – w oknie M zaznaczamy myszą liczbę 8, wpisujemy 16 i naciskamy klawisz Enter. Widzimy prawidłowy kształt widma. Amplitudy i częstotliwości poszczególnych składowych widma (prążków) możemy odczytywać ze wskaźników cyfrowych An i fn podczas powolnego przesuwania suwaka w oknie „Kursor n”. Do sterowania kursorem (czerwonym kwadratem na wykresie widma) możemy również użyć klawiszy ze strzałkami „” i „”, należy jednak najpierw kliknąć myszą na polu okna „Kursor n”.


Uwaga! Jeżeli naciśniemy strzałkę przed kliknięciem na wybranym oknie, to zmianie ulegnie ostatnio nasta­wio­na wartość lub poprzednio wybrany wykres  należy wówczas nacisnąć klawisz ze strzałką o przeciw­nym zwrocie.
Gdy suwak znajduje się na pozycji numer 1, to częstotliwość fn równa się rozdzielczości widma fW. Górna pozycja suwaka ma numer ostatniej składowej widma N, a odpowiadająca jej częstotliwość jest równa szerokości widma fg. W obserwowanym przypadku wartość rozdzielczości fW = 50 Hz, czyli równa się połowie poprzedniej wartości, co potwierdza odwrotnie proporcjonalną zależność między fW a M, opisaną wzorem

(4)

Liczba składowych widma N = 7 (składowej zerowej nie liczymy) jest zgodna ze wzorem

(5)

Szerokość widma fg = 350 Hz i również jest zgodna z teoretycznym wzorem

(6)

Z powyższych zależności wynika wniosek, że podwojenie liczby próbek M wpływa korzystnie na parametry widma, gdyż powoduje



  1. podwojenie gęstości prążków w widmie (fW maleje 2 razy),

  1. ponad 2-krotny wzrost liczby prążków N (z 3 do 7),

  1. wzrost szerokości widma fg (z 300 do 350 Hz).

Wpływ liczby próbek na szerokość widma jest niewielki, zwłaszcza dla dużych wartości M. Wynika to ze wzoru

(7)

Zależności fW , fg ­ i N od M są przedstawione na wykresach na stronach 11 i 12.



Maksymalna liczba próbek Mmax jest teoretycznie nieograniczona, w praktyce jest ograniczona dopuszczalnym czasem obliczeń FFT. Możemy sprawdzić, czy zauważalne jest wydłużenie czasu obliczeń wskutek zwiększenia liczby próbek do M = 2048 i czy szerokość widma rzeczywiście zbliża się wtedy do połowy częstotliwości próbkowania.

Minimalna liczba próbek Mmin jest określona przez minimalną liczbę składowych widma Nmin, która wynika z liczby interesujących nas harmonicznych w sygnale (oraz subharmonicznych, jeżeli występują). W badanym przypadku Nmin = nmax = 1. Przekształcając wzór (5) otrzymujemy

(8)

Zastosowanie małej liczby próbek wymaga wydłużenia okresu próbkowania do takiej wartości, aby długość okna TW = M .TS była jednocześnie równa p .T1, gdzie p – liczba całkowita, określająca liczbę okresów badanego sygnału objętych przez okno pomiarowe (p od periods – okresy). Z powyższych zależności wynika wzór na częstotliwość próbkowania fS



(9)
Badanie wpływu częstotliwości próbkowania na parametry widma sygnału
Teraz zbadamy wpływ, jaki na parametry widma ma zwiększenie długości okresu próbkowania TS, czyli zmniejszenie częstotliwości próbkowania fS. Nastawiamy liczbę próbe­k na początkową wartość M = 8 i częstotliwość próbkowania zmniejszamy dwukrotnie do wartości fS = 400 Hz. Odczytujemy parametry widma: fW = 50 Hz, N = 3, fg = 150 Hz. Zmniejszamy częstotliwość próbkowania do 200 Hz i ponownie odczytujemy parametry widma: fW = 25 Hz, = 3, fg = 75 Hz. Widzimy, że 2-krotne zmniejszenie fS powoduje

  1. 2-krotne zmniejszenie fW, co jest korzystne (gęstość widma rośnie),

  1. 2-krotne zmniejszenie fg, co jest niekorzystne, oraz

  1. nie wpływa na N.

Powyższe wnioski wynikają także ze wzorów (4), (7) i (5), których graficzna interpretacja znajduje się na stronach 11 i 12.

Ponownie 2-krotnie zmniejszamy częstotliwość próbkowania do 100 Hz. W widmie nie występuje teraz składowa 50 Hz, gdyż FFT nie transformuje harmonicznych o częstotliwościach równych wielokrotności połowy częstotliwości próbkowania.

Nastawiamy częstotliwość próbkowania 80 Hz. W widmie pojawia się składowa o częstotliwości 30 Hz, będąca odbiciem składowej o częstotliwości 50 Hz od „bariery” ustawionej na częstotliwości fS/2 = 80/2 = 40 Hz: 40 – (50 – 40) = 30.

Wyniki otrzymane w dwóch ostatnich pomiarach są błędne, gdyż twierdzenie Shannona-Kotielnikowa nie zostało spełnione - częstotliwość próbkowania nie była większa od podwojonej częstotliwości najwyższej harmonicznej badanego sygnału, czyli w tym wypadku 2f1 = 2.50 = = 100 Hz.

Z ostatnich obserwacji wynika, że wartość częstotliwości próbkowania jest ograniczona zarówno od góry, jak i od dołu. Maksymalną częstotliwość próbkowania możemy obliczyć ze wzoru (9), podstawiając minimalną wartość p, czyli 1

(10)

W celu wyznaczenia minimalnej częstotliwości próbkowania obliczamy najpierw maksymalną wartość p z warunku fS > 2nmaxf1



(11)

gdzie Entier oznacza część całkowitą liczby. Dla M = 8 i nmax = 1 otrzymujemy pmax = 3 oraz minimalną częstotliwość próbkowania



(12)

Nastawiamy tę wartość częstotliwości próbkowania (z kropką jako znakiem dziesiętnym) i oglądamy widmo. Ostatni prążek jest niewidoczny, ale kursor wskazuje jego obecność na częstotliwości 50 Hz.

Po wybraniu odpowiednich wykresów obserwujemy kolejno:


  1. próbki na tle pierwszego okresu badanego sygnału utworzonego wirtualnie,

  1. próbki zawarte w oknie pomiarowym,

  1. częstotliwościowe widmo amplitudy,

  1. sygnał odtworzony z próbek metodą aproksymacji liniowej (czarny),

  1. sygnał badany (niebieski) i nałożony na niego sygnał obliczony z trygonometrycznego szeregu Fouriera (różowy),

  1. sygnał odtworzony z próbek (czarny) i nałożony na niego sygnał uzyskany za pomocą odwrot­nej transformaty Fouriera IFFT (zielony) - widać, że IFFT odtwarza tylko wartości próbek, natomiast szereg Fouriera pozwala obliczyć przebieg sygnału z dowolną rozdzielczością w czasie.

Jeżeli kolory niektórych przebiegów są niewidoczne, to oznacza, że drugi przebieg dokładnie pokrywa pierwszy.
Na zakończenie tego punktu ćwiczenia należy sformułować dwa wnioski:

  1. Jeżeli chcemy podwoić gęstość widma (zmniejszyć fW 2-krotnie) bez zmniejszenia szerokości widma, to musimy   krotnie zmniejszyć/zwiększyć/pozostawić bez zmian* M i   kro­tnie zmniejszyć/zwiększyć/pozostawić bez zmian* fS.

  2. Jeżeli chcemy podwoić szerokość widma bez zmniejszenia gęstości, to musimy   krotnie zmniejszyć/zwiększyć/pozostawić bez zmian* fS i   krotnie zmniejszyć/zwiększyć/po­zo­sta­wić bez zmian* M.

* - nieprawidłowe sformułowania skreślić, a w miejsce kropek wpisać odpowiednie liczby (odnosi się również do dalszych gwiazdek w instrukcji).

W celu sprawdzenia poprawności wniosków można skorzystać z wyników obliczeń, zawartych w tabelach na stronie 11 tej instrukcji.


Badanie wpływu niedokładnego nastawienia częstotliwości próbkowania na wyniki analizy harmonicznych
Pomiary wykonujemy dla sygnału poliharmonicznego o częstotliwości f1 = 50 Hz, amplitudzie A1 = 10 V i numerze najwyższej harmoni­cz­nej nmax = 7…11. Generowany wirtualnie sygnał zawiera wyższe harmoniczne o amplitudach zmniejszających się liniowo w przedziale od A1 do Anmax (Anmax – amplituda najwyższej harmonicznej, wskazywana w oknie AMPL. Anmax).
Przykładowe postępowanie dla nmax = 9 (parametry próbkowania dla różnych wartości nmax można znaleźć w tabeli pomocniczej na stronie 6).

Liczba składowych widma powinna wynosić co najmniej



Obliczamy minimalną liczbę próbek w oknie pomia­rowym



W celu zastosowania FFT wybieramy liczbę próbek



gdzie c - najmniejsza liczba całkowita spełniająca powyższą nierówność. Ze wzoru (11) obliczamy maksymalną liczbę okresów pmax



Widzimy, że dla minimalnej liczby próbek zachodzi równość pmax = pmin = 1, istnieje więc tylko jedna możliwa częstotliwość próbkowania fS = fSmin = fSmax = Mf1 = 32.50 = 1600 Hz.


Uwaga! Wygodnie jest używać kalkulatora do obliczeń (dostępny na dolnym pasku) i przenosić wynik za pomocą klawiszy Ctrl - C i Ctrl - V w miejsce zaznaczone myszą, a następnie naciskać klawisz Enter. Wynik pomiaru z wyświetlacza cyfrowego analizatora widma należy również przenosić do wybranego pola w tabeli konspektu za pomocą wyżej wymienionych klawiszy.
Wykonujemy pomiar dla obliczonych parametrów próbkowania. Z wykresu “Częstotli­wościo­we widmo amplitudy” odczytujemy amplitudy i częstotliwości składowych widma i porównujemy z parametrami harmonicznych badanego sygnału. Wyniki pomiaru notujemy w tabeli 3a (indeks “p” oznacza pomiar).

Wartość skuteczna sumy wszystkich harmonicz­nych Up jest wy­świe­tla­na w polu odczytowym oznaczonym “U”. Zmierzoną wartość Up należy porównać z war­tością teoretyczną, wynikającą ze znanych wartości A0, ..., Anmax i obliczoną ze wzoru

(13)

Następnie sprawdzamy, jakie błędy w wynikach powoduje zwiększenie częstotliwości próbkowania o 1%, czyli do wartości 1616 Hz. Nowe wyniki notujemy również w tabeli 3a.

Na koniec sprawdzamy, jakie błędy pomiaru wystąpią wskutek 1-procentowej odchyłki częstotliwości próbkowania, jeżeli liczba próbek jest znacznie większa, np. M’ = 1024, czyli gdy większa jest gęstość widma. Obliczamy nową wartość pmax = 56 i nową minimalną częstotliwość próbkowania

Powiększamy tę wartość o 1%, czyli otrzymujemy 1,01fSmin = 923.4286 Hz, i dla tej częstotliwości próbkowania mierzymy składowe widma o wyróżniających się, największych amplitudach.

Na podstawie wyników pomiarów obliczamy względne błędy pomiarów amplitud i częstotliwości harmonicznych (względem wartości prawidłowych zawartych w pierwszym wierszu). Zapisujemy je w tabeli 3b.

Wyniki pomiarów Tabela 3a

Sygnał – fala poliharmoniczna: nmax = 9, A0 = 1 V, A1 = 10 V, f1 = 50 Hz, Anmax = 2 V, fnmax = 450 Hz



Lp.

M

fS

A1p

f1p

A2p

f2p

A5p

f5p

Anmaxp

fnmaxp

Up






Hz

V

Hz

V

Hz

V

Hz

V

Hz

V

1.

32

1600

10

50

9

100

6

250

2

450

13.892

2.

32

1616

10.207

50.5






















3.

1024

923.4286

7.0284

49.5982





















Wyniki obliczeń błędów względnych pomiarów Tabela 3b




Lp.

A1p

f1p

A2p

f2p

A5p

f5p

Anmaxp

fnmaxp

Up




%

%

%

%

%V

%

%

%

%

2.




























3.





























Uwaga! Podane w tabelach dane dotyczą tylko rozpatrywanego przykładu, czyli nmax = 9.
Przykłady obliczeń





Wnioski wynikające z powyższych pomiarów:



  1. W celu wykonania dokładnej analizy harmonicznych musimy znać częstotliwość zerowej/ /pierwszej/drugiej* harmonicznej i numer najniższej/najwyższej/środkowej* harmonicznej badanego sygnału.

  2. Przy minimalnej liczbie próbek 1-procentowa odchyłka częstotliwości próbkowania od wartości prawidłowej powoduje taki sam (tzn. ok. 1-procentowy)/mniejszy/większy* błąd względny pomiaru amplitud harmonicznych.

  3. Przy minimalnej liczbie próbek 1-procentowa odchyłka częstotliwości próbkowania od wartości prawidłowej powoduje taki sam/mniejszy/większy* błąd względny pomiaru częstotliwości harmonicznych.

  4. Zwiększenie liczby próbek wpływa korzystnie/niekorzystnie/nie ma jednoznacznego wpływu na pomiar amplitud harmonicznych.

  5. Zwiększenie liczby próbek wpływa korzystnie/niekorzystnie/nie ma jednoznacznego wpływu na pomiar częstotliwości harmonicznych.

  6. Ze wzrostem liczby próbek dokładność pomiaru wartości skutecznej sygnału maleje/­wzra­sta/nie zmienia się*.

Parametry próbkowania dla wybranych wartości max Tabela pomocnicza




nmax

M

fS

U

1,01 fS

M’

pmax

1,01 fSmin





Hz

V

Hz





Hz

7

16

800

13.657

808

2048

146

708.3836

8

32

1600

13.820

1616

2048

127

814.3622

9

32

1600

13.892

1616

1024

56

923.4286

10

32

1600

13.910

1616

1024

51

1013.9608

11

32

1600

18.003

1616

1024

46

1124.1739


Badanie wpływu niestabilności częstotliwości sygnału f1 na wyniki analizy harmonicznych
Przy zachowaniu prawidłowej częstotliwości próbkowania fS, tzn. takiej, jak w pierwszym punkcie poprzedniego pomiaru, zmniejszamy czę­sto­tliwość f1 o 1 %.

Wyniki pomiarów Tabela 4a

Sygnał – fala poliharmoniczna: nmax = 9, A0 = 1 V, A1 = 10 V, Anmax = 2 V, M = 32, fS  = 1600 Hz



Lp.

f1

A1p

f1p

A2p

f2p

A5p

f5p

Anmaxp

fnmaxp

Up




Hz

V

Hz

V

Hz

V

Hz

V

Hz

V

1.

49.5

10.209

50



















13.959

Obliczamy błędy względne pomiarów amplitud, częstotliwości i wartości skutecznej sygnału. Należy pamiętać, że prawidłowe wartości częstotliwości wszystkich harmonicznych badanego sygnału uległy zmianie, np. f2­­­ ­­­­­­= 99 Hz. Wyniki obliczeń zapisujemy w tabeli 4b i porównujemy je z błędami zapisanymi w pierwszym wierszu tabeli 3b.



Wyniki obliczeń błędów względnych pomiarów Tabela 4b


Lp.

A1p

f1p

A2p

f2p

A5p

f5p

Anmaxp

fnmaxp

Up




%

%

%

%

%

%

%

%

%

1.



























Wniosek wynikający z pomiaru:

Odchyłka 1-procentowa częstotliwości badanego sygnału powoduje mniejsze/większe/prawie takie sa­me* błędy w pomiarze harmonicznych, co 1-procentowa odchyłka częstotliwości próbkowania.
Badanie skutków niespełnienia przez liczbę próbek warunku M = 2c
Powracamy do poprzedniej częstotliwości badanego sygnału f1 = 50 Hz i nastawiamy liczbę próbek M = 96. Algorytm obliczania FFT, stosowany w programie Testpoint, automatycznie uzu­pełnia zbiór próbek zerami  symetrycznie na początku i na końcu  tak, aby liczba próbek była równa 2c. W naszym przypadku rzeczywista liczba próbek będzie równa Mrz = 128. Obliczamy częstotliwość próbkowania dla liczby okre­sów w oknie pomiarowym p = 1


  1   2   3


©snauka.pl 2016
wyślij wiadomość