Strona główna

Czy w matematyce istnieją prawdy oczywiste?


Pobieranie 9.27 Kb.
Data17.06.2016
Rozmiar9.27 Kb.
CZY W MATEMATYCE ISTNIEJĄ PRAWDY OCZYWISTE?
Jeśli zastanowimy się przez chwilę nad strukturą gmachu matematyki, to dojdziemy do wniosku, iż w tej gęstwinie teorii, twierdzeń, tematów i przykładów istnieje pewna wyraźna prawidłowość. Prawidłowość tę nietrudno dostrzec, jeśli prześledzi się sposób, w jaki owe twierdzenia i tematy powstają. Mianowicie – wyprowadza się je drogą rozumowania (a więc korzystając z praw czysto logicznych) z innych twierdzeń, te zaś jeszcze z innych, i tak dalej, aż do końca.

Mówi się czasem, że aksjomat – to „prawda oczywista, nie wymagająca dowodu”. Ma się przy tym na myśli to, że Przyroda ma z góry pewne ustalone prawa, zaś nasz zdrowy rozsądek i ewentualne doświadczenie pozwalają nam te prawa dostrzec i przyjąć w charakterze pewników. Z tych to pewników wysnuwamy wnioski już mniej oczywiste, i te wnioski nazywamy twierdzeniami.

Co tkwi u podstaw przedstawionego wyżej sądu? Nie ulega żadnej wątpliwości, iż jest to przekonanie, że matematyka jest w gruncie rzeczy nauką o przyrodzie. I istotnie, w pewnym sensie tak jest: matematyka – jak wiemy – rzeczywiście doskonale nadaje się do opisu zjawisk fizycznych, a poza tym bez wątpienia wyrosła z doświadczenia. Tak jak nasz praprzodek najprawdopodobniej liczył przy pomocy palców – i stąd wziął się nasz system liczenia dziesiątkami, tak również zapewne zauważył, że kawałek sznura napięty między dwoma punktami wyznacza odcinek prostej – i stąd się wziął pewnik „przez dwa punkty można przeprowadzić dokładnie jedną prostą”. Słowem, matematyka powstała drogą uogólnienia zjawisk przyrody i jakkolwiek jest dziś abstrakcyjną, korzenie jej tkwią głęboko w realnej rzeczywistości.

Wszystko to, co napisałam wyżej, jest absolutnie słuszne. Niestety jednak, sprawy aksjomatów nie załatwia w najmniejszym stopniu.

Po pierwsze – co dla jednego oczywiste, dla drugiego takim być wcale nie musi. Jeden na przykład stwierdzi, że dla niego jest oczywiste, iż suma kątów w trójkącie wynosi 180, drugi będzie tego dowodzić – i nie ma podstaw, aby którekolwiek z tych stanowisk uznać za słuszniejsze od drugiego. Po drugie , pojęcie „prawdy” jest wysoce niejasne: na przykład, tak „prawdziwy” związek jak 1 + 1 = 2 przestaje być słuszny, gdy dodajemy szybkości bliskie prędkości światła – jak zapewne wiecie, jeśli ze statku kosmicznego poruszającego się z szybkością c= 300 000 km/s (gdyby udało nam się taki wehikuł zbudować) wypuścimy w kierunku jego lotu impuls świetlny, to szybkości te nie dadzą w sumie dwóch prędkości światła, ta bowiem jest zawsze (w próżni) stała… I w ogóle, powoływanie się w nauce na „zdrowy rozsądek” jest zbyt niebezpieczne i zawodne.

Tak więc, aksjomaty matematyczne nie są bynajmniej „prawdami”, a tym bardziej „oczywistymi”. Cóż więc decyduje o przyjęciu takiego, a nie innego zdania jako podstawy do wysnuwania zeń dalszych wniosków?

Może to kogoś lekko zaszokować, ale odpowiedź brzmi: w zasadzie nic. Matematyk postępuje na ogół tak: wprowadza pewne pojęcia, które nazywa „pierwotnymi”, następnie przyjmuje pewien prawie dowolny zespół zadań, orzekających coś o tych pojęciach. Od zadań tych wymaga się w matematyce na ogół tylko tyle, by nie przeczyły sobie wzajemnie. Teraz uruchamia się aparat logicznego wnioskowania – i tak powstaje teoria. Matematyka przy tym może zupełnie nie interesować, czy taka teoria ma jakiś związek z realną rzeczywistością: on jest od budowania teorii, a o jej wykorzystanie dla badania świata fizycznego niech się martwi kto inny.

Na przykładzie geometrii Euklides przyjął, szereg aksjomatów, które orzekały o przedmiotach nazwanych przez niego „punktami”, „prostymi” i „płaszczyznami”. To właśnie były pojęcia pierwotne geometrii euklidesowej. Między innymi aksjomatami znalazł się słynny „piąty postulat”, głoszący, że przez punkt poza daną prostą można poprowadzić tylko jedną równoległą do niej. I oto okazało się, że odrzucenie tego aksjomatu (jakkolwiek wydaje się on właśnie „oczywisty”) nie tylko nie prowadzi do katastrofy teorii, ale dając zamiast niego np. stwierdzenie, iż takich równoległych nie ma wcale – dostaje się nową geometrię. Wcale nie mniej prawdziwą, nawet w sensie fizycznym – istnieją zjawiska, do których opisu jest ona wręcz idealna.

Istnieje cała grupa matematyków, którzy uważają, że nauka ta jest po prostu rodzajem gry. Przyjmuje się pewne reguły – jakie tylko nam się wymarzą – i do zabawy!

Na ogół jednak postępuje się nieco inaczej. Gdy powstaje jakaś teoria matematyczna (tak było np. z rachunkiem prawdopodobieństwa), nikt z początku nie myśli o aksjomatach. Teoria rozwija się niejako „intuicyjnie” – i dopiero gdy już jest dość zaawansowana znajduje się ktoś, kto odpowiednio dobiera aksjomaty aby do niej „pasowały”. W tym więc sensie nie są one tak zupełnie dowolne; ale jedynie w tym.

Tak więc, ze starego określenia aksjomatów pozostało jedynie to, iż się ich nie dowodzi…

Opracowała:



Zofia Tryzubiak


©snauka.pl 2016
wyślij wiadomość