Strona główna

Geometria róŻniczkowa


Pobieranie 7.9 Kb.
Data18.06.2016
Rozmiar7.9 Kb.
Program przedmiotu:

GEOMETRIA RÓŻNICZKOWA


30 godz. wykładu + 30 godz. ćwiczeń
Cel przedmiotu: Poznanie podstawowych metod i pojęć geometrii różniczkowej.

Uwypuklenie związków z algebrą, topologią, analizą matematyczną i równaniami różniczkowymi. Podkreślenie, że geometria różniczkowa dostarcza podstawowych modeli



i metod dla wielu zagadnień w naukach fizycznych i technicznych. Zwrócenie uwagi na algebraiczne podstawy geometrii różniczkowej. Wyrobienie u studentów zdolności dostrzegania schematów, niezbędnych przy korzystaniu z literatury specjalistycznej z wielu działów matematyki i matematyki stosowanej.


  1. Przypomnienie podstawowych wiadomości dotyczących grup i innych struktur algebraicznych. Działanie grupy na zbiór.




  1. Pojęcie grupy topologicznej wraz z podstawowymi własnościami. Grupy i algebry macierzy (ortogonalne, hermitowskie, symplektyczne, specjalne). Definicja i własności odwzorowania wykładniczego.




  1. Geometria jako teoria niezmienników grup przekształceń. Rola odwzorowania wykładniczego.




  1. Elementy algebry wieloliniowej. Iloczyn tensorowy i potęga zewnętrzna.




  1. Pojęcie rozmaitości różniczkowej, atlasu, mapy i struktury różniczkowej. Przestrzeń styczna (dwie definicje) .




  1. Odwzorowanie styczne (różniczka). Podrozmaitości. Wiązki styczne i kostyczne oraz wiązki wektorowe. Pola wektorowe.




  1. Pola wektorowe (kont.), przepływy, krzywe całkowe. Algebra Liego pól wektorowych. Formy różniczkowe. Różniczka zewnętrzna, iloczyny zewnętrzny i wewnętrzny, pochodna Liego.




  1. Powierzchnie gładkie w przestrzeni euklidesowej. Całkowanie form różniczkowych, twierdzenie Stokesa.




  1. Całkowanie form różniczkowych (kont.). Potencjał, pole potencjalne, warunki konieczne i wystarczające dla potencjalności pola .




  1. Koneksja afiniczna, przeniesienie równoległe, pochodna kowariantna.

Symbole Christoffla.


  1. Krzywizna, skręcenie, równania strukturalne. Geodezyjne i ich własności.




  1. Tensor metryczny, rozmaitość riemannowska. Koneksja riemannowska, jej charakteryzacja i własności.




  1. Zupełność i twierdzenie Hopfa - Rinova. Krzywizna sekcyjna. Lemat Schura.




  1. Grupy Liego i ich algebry Liego. Odwzorowanie wykładnicze. Homomorfizmy grup i algebr Liego.



Bibliografia:

  1. J. Gancarzewicz, Geometria różniczkowa, BM, PWN 1985.

  2. S. Helgason, Differential Geometry and Symmetric Spaces, Academic Press 1962.

  3. W. Wojtyński, Grupy i Algebry Liego, BM, PWN 1986.


©snauka.pl 2016
wyślij wiadomość