Strona główna

Laboratorium fizyki I


Pobieranie 165.71 Kb.
Data20.06.2016
Rozmiar165.71 Kb.




POLITECHNIKA WARSZAWSKA


WYDZIAŁ FIZYKI
LABORATORIUM FIZYKI I


Jan Pluta

KINEMATYKA

CZĄSTEK ELEMENTARNYCH

WARSZAWA

2000r.

________________________________________________________



sPIS tREŚCI



1. PODSTAWY FIZYCZNE 3

1.1 Świat cząstek elementarnych 3

1.2 Kilka pojęć kinematyki relatywistycznej 4

Dane liczbowe zaczerpnięte z ref.[1] 6

1.3 Obserwacja śladów cząstek 6

2. OPIS ĆWICZENIA 8

2.1. Identyfikacja nieznanej cząstki 9

2.2. Rekonstrukcja kinematyki rozpadu: 11

a) układ laboratoryjny 11

b) układ spoczynkowy cząstki 11

c) wartości graniczne i elipsa pędów 12

3. WYKONANIE ĆWICZENIA 15

4. OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARÓW 16

5. PYTANIA KONTROLNE 16

6. LITERATURA 17

7. Kinematyka cząstek elementarnych - przez Internet 17




1. PODSTAWY FIZYCZNE

1.1 Świat cząstek elementarnych

Co to są "cząstki elementarne"? Jaka jest ich liczba? Gdzie i jak możemy je zaobserwować? Jakie są ich własności?... Podobnych pytań można postawić wiele.

Od czasów Demokryta wiemy o istnieniu atomów, traktowanych przez wieki jako „niepodzielne”. Maria Skłodowska Curie obserwując sto lat temu nieznany rodzaj promieniowania sugerowała jednak jego wewnątrzatomowe pochodzenie. Istnienie jądra atomowego stwierdził Rutherford w swym słynnym doświadczeniu. Badania przemian jądrowych otworzyły drogę do poznania struktury jądra atomowego oraz jego składników, neutronów i protonów, zwanych wspólnie nukleonami. Wewnętrzna struktura nukleonów uwidoczniła się w ich zderzeniach zachodzących przy bardzo wysokich energiach. Pojęcie „elementarności” zmienia się i wcale nie jesteśmy pewni, czy powiedziane jest już ostatnie słowo.

Trzymając się określenia Demokryta, za naprawdę elementarne uważa się te cząstki, które nie posiadają struktury wewnętrznej. Poznanie ich własności i wzajemnych oddziaływań prowadzi do zrozumienia mechanizmów tworzenia się struktur bardziej złożonych, a w dalszej konsekwencji - do poznania praw przyrody. Aktualnie, za prawdziwie elementarne uważa sie: leptony, kwarki oraz nośniki oddziaływań: fotony, gluony, bozony pośredniczace oraz hipotetyczny grawiton. W szerszym znaczeniu, za elementarne uważa sie wszystkie cząstki subjądrowe, których odkryto już kilkaset. Niezwykły świat cząstek: „kolorowy” i „pachnący”, „powabny” ale i „dziwny”, pełen jest zarówno zaskakujących prawidłowości jak i paradoksów, których zrozumienie stanowi fascynację fizyków. Nasze ćwiczenie stanowi zaledwie „dotknięcie” tej niezwykle interesującej dziedziny wiedzy o cząstkach i to jedynie od strony kinematyki ich wzjemnych oddziaływań.

Tabela 1. zawiera listę cząstek traktowanych obecnie jako „prawdziwie elementarne”.

Tabela ta nie jest jednak tylko zwykłym spisem, ale wprowadza szereg pojęć z zakresu fizyki cząstek, klasyfikuje je i ukazuje istniejące pomiędzy nimi związki.

W szczególności, dowiadujemy się, że w przyrodzie istnieją cztery rodzaje oddziaływań (patrz - kolumna Oddziaływanie), których zasięgi i natężenia różnią się o całe rzędy wielkości i których nośnikami są różne typy bozonów pośredniczących o odpowiadających typowi oddziaływania masach i ładunkach. Cząstki zwane leptonami dzielą się na trzy klasy, w których każdemu naładowanemu leptonowi odpowiada inny typ neutrina. Wiąże się to z prawem zachowania liczby leptonowej odpowiadającej danemu typowi leptonów. Łatwo również zauważyć, że w przyrodzie istnieje sześć typów kwarków o ułamkowych ładunkach i ciekawych nazwach. Nazwy te nie są oczywiście przypadkowe, ale wiążą się z zasadami zachowania i symetrii obowiązującymi w świecie cząstek elementarnych. Dla przykładu, kwarki mogą istnieć w trzech, niemożliwych do zaobserwowania, "kolorowych" odmianach, natomiast tworzone z nich obserwowalne cząstki są zawsze koloru "białego". Nie chodzi to oczywiście o kolor w sensie dosłownym.

Silnie oddziałujące cząstki, tzw. hadrony, mają złożoną strukture. Jedne z nich - mezony, składają się z pary kwark-antykwark, drugie - bariony, do których należy proton i neutron, składają się z trójek kwarków. Listę najbardziej znanych hadronów zawiera Tabela 2. Tu również łatwo zauważyć szereg prawidłowości.

Wszystkie cząstki mają swoje antycząstki o tej samej masie i przeciwnym ładunku. Cząstka i antycząstka mogą ulec anihilacji, w wyniku której obie znikają, a na ich miejsce pojawiają sie inne czastki. Masy cząstek różnią się znacznie. Można jednak wyróżnić grupy hadronów o podobnych masach jak mezony i mezony K, nukleony oraz hiperony: , , , .

Czasy rozpadu cząstek różnią się o wiele rzędów wielkości. Wiąże sie to z rodzajem oddziaływań poprzez które zachodzi rozpad. Większość hadronów, ulega rozpadowi w bardzo krótkim czasie, rzędu 10-23 s, poprzez oddziaływania silne. Cząstki te, tzw. rezonanse, nie są ujęte w tabeli 2. Liczba ich ciągle rośnie, a ich aktualny spis publikowany jest periodycznie [1].

Nietrudno zauważyć, że w świecie cząstek elementarnych obowiązują prawa nie znane w świecie makroskopowym. Nie sposób przedstawić je tu szczegółowo, dlatego zachęca się Czytelnika, by sięgnąć do literatury, z której kilka pozycji zawiera spis podany w końcu instrukcji [2],[3],[4].

1.2 Kilka pojęć kinematyki relatywistycznej


Prędkości cząstek elementarnych są często bliskie prędkości światła. W ich oddziaływaniach mogą być produkowane nowe cząstki; zachodzą też procesy anihilacji. Niektóre z cząstek pozbawione są masy spoczynkowej. Te nieznane w mechanice klasycznej fakty i zjawiska wymagają stosowania pojęć z zakresu szczególnej teorii względności.

Cząstce o masie spoczynkowej mo poruszającej się z prędkością υ w danym układzie odniesienia przypisuje się w kinematyce relatywistycznej energię całkowitą, E i pęd, p równe:


E=mc2, p=mυ, (1)
gdzie: m=mo, =(1-2)-1/2 , = υ/c, zaś c jest prędkością światła w próżni. Przez energię całkowitą rozumiemy tu sumę energii kinetycznej, T i spoczynkowej, moc2; E=T+ moc2.

Z podanych wzorów wynika, że:


p=Eυ/c2, =pc/E, =E/ moc2 (2)
Przy przejściu do układu odniesienia poruszającego się w danym kierunku (np. wzdłuż osi Z ) względem układu nieruchomego, składowe pędu cząstki i jej energia transformują się zgodnie z tzw. transformacją Lorentza; prim (‘) służy tu do oznaczenia układu poruszającego się.
, , (3)

Przy takiej transformacji nie zmieniona pozostaje wartość wyrażenia:


, (4)
co łatwo sprawdzić podstawiając odpowiednie wielkości ze wzorów (1 - 3).

Wyrażenie (4) definiuje tzw. masę niezmienniczą (inwariantną), która dla pojedynczej cząstki odpowiada jej masie spoczynkowej, mo. Nazwa odzwierciedla fakt niezmienniczości tego wyrażenia względem transformacji Lorentza.

Zwróćmy uwagę, że jeśli masa cząstki wynosi zero, to związek pomiędzy jej energią i pędem staje się bardzo prosty,

E=pc. (5)
Cząstki o zerowej masie spoczynkowej poruszają się w każdym układzie odniesienia z prędkością światła, co widać natychmiast z zestawienia zależności (5) i (2) oraz definicji . Cząstkami takimi są fotony.


Tabela 1. CZĄSTKI "PRAWDZIWIE" ELEMENTARNE


Leptony

Kwarki



Nazwa



Sym-

bol


Masa

(MeV)

Średni

czas

życia

(s)

Ładu-

nek

elek-

try-

czny



Nazwa



Symbol



Masa

(MeV)

Ładu-nek elek-

try-

czny

neutrino

elektro-


nowe

e

<7.3.

x10-6



trwały

0

Up

(górny)


u

310

2/3

elektron


e

0.511

trwały

-1

Down

(dolny)


d

310

-1/3

neutrino

mionowe




<0.25

trwały

0

Charm

(powabny)



c

1500

2/3

mion



105.66

2.197

x10-6



-1

Strange

(dziwny)


s

505

-1/3

neutrino

tau




<70

trwały

0

Top

(wierzchu)



t

ok.

1.7x105

(hipote-

tyczny)


2/3

tau



1784.1

3.1 x

10-13



-1

Bottom

(dna)


b

5000

-1/3




Bozony pośredniczące w oddziaływaniach


Nośnik

oddziaływania


Oddziały-

wanie



Zasięg

Względne

natężenia

oddzia-

ływania


Masa

(GeV)

Ładu-

nek

elektry-

czny

Grawiton

(hipotetyczny)



grawita-cyjne

nieskoń-

czony


10-38

0

0

foton




elektrma-

gnetyczne



nieskoń-

czony


10-2

0

0

Bozony

W+

słabe

poniżej

10-18m



10-5

80.2

+1

pośred-

W-

"

"

"

80.2

-1

niczace

Zo

"

"

"

91.2

0

8 gluonów

(pośrednie dowody

istnienia)


silne

poniżej

10-15m



1




0



( Przedruk z 6-cio tomowej Encyklopedii PWN, Warszawa, 1994r

hasło: "Cząstki elementarne" )


Tabela 2.

Lista ważniejszych hadronów nie rozpadających się przez oddziaływania silne


Nazwa

cząstki

Cząstka


Anty-

cząstka

Masa

(MeV)

Czas życia

(s)

Schematy

rozpadu

Procent

%

MEZONY

















Pion  +

+

-

139.57

2,6x10-8

+ +

~100

Pion 0

0

0

134.98

0,8x10-16

 + 

e+ + e- + 

98.8

1.2


Kaon





493.68

1,2x10-8

+ +

+ +  0

+ + + + -


63.5

21.2


5.6


Kaon





497.67

0.9x10-10()

5.2x10-8 ()



+ + -

0 + 0

0 + 0+ 0

+ + -+ 0

 +  +

+ e +



68.6

31.4
21.1

12.6

27.2


38.8

Mezon 

0

0

547.30

2,4x10-19

 + 

0 + 0+ 0

+ + -+ 0

+ + -+ 



39.2

32.2


23.1

4.8


BARIONY


















Proton





938.27

trwały







Neutron





939.56

0,9x103

+ e- +

100

Hiperon





1115.68

2,6x10-10

+ -

+ 0

63.9

35.8


Hiperon





1189.37

0,8x10-10

+ 0

+ +

51.6

48.3


Hiperon 0





1192.64

7.4x10-20

 + 

~100

Hiperon





1197.45

1,5x10-10

+ -

~100

Hiperon





1314.9

2.9x10-10

+ 0

~100

Hiperon





1321.32

1,6x10-10

+ -

~100

Hiperon





1672.45

0.8x10-10

+ -

+ 0

+

23.6

8.6


67.8

Dane liczbowe zaczerpnięte z ref.[1]




1.3 Obserwacja śladów cząstek

Zasadniczym procesem umożliwiającym rejestrację cząstek jest jonizacja atomów ośrodka przez cząstki naładowane. Zjonizowane atomy i uwolnione elektrony powodują wielorakie procesy wtórne, które są podstawą działania róznych typów detektorów.

W tym ćwiczeniu poznamy komorę pęcherzykową - detektor umożliwiający wizualną rejestrację śladów cząstek. Wnętrze komory wypełnione jest cieczą, która na krótki czas wprowadzana jest w stan przegrzania. Warunki temperatury i ciśnienia odpowiadają wówczas jej stanowi gazowemu. W komorach pęcherzykowych stan ten uzyskuje się przez nagłe obniżenie ciśnienia przy zadanej temperaturze cieczy. Stan ten jest niestabilny i proces wrzenia rozpoczyna sie spontanicznie na wszelkiego rodzaju niejednorodnościach, do których należą także zjonizowane atomy ośrodka. Do komory wprowadza się cząstki naładowane przyspieszane z pomocą akceleratora. Cząstki te powodują jonizację atomów wzdłuz swoich trajektorii. Mogą też oddziaływać z jądrami atomów ośrodka, w wyniku czego emitowane są często wtórne cząstki naładowane wywołojące także proces jonizacji. W ten sposób ciąg pęcherzyków obrazuje kształt toru cząstki w komorze.





Rysunek 1. Uproszczony schemat komory pęcherzykowej [5]

Obniżenie ciśnienia, realizowane z pomocą układu rozprężania (UR), zsynchronizowane jest z wprowadzeniem cząstek z akceleratora. Powstające pęcherzyki oświetlane są błyskiem światła z układu oświetlania (O) i fotografowane są przez układ aparatów fotograficznych (F). Stereoskopowe zdjęcia wnętrza komory umożliwiają odtworzenie przestrzennej konfiguracji zarejestrowanych torów cząstek. Na rysunku zaznaczone są osie optyczne obiektywów oraz linie łączące punkt wewnątrz komory, p, z jego obrazami na kliszy (p’,p”).


Proces jonizacji pociąga za sobą straty energii cząstek przechodzących przez ośrodek materialny. Dla przykładu, energia potrzebna na wytworzenie jednej pary jonów wynosi dla ksenonu 21.4 eV [5]. Straty energii na jednostkę drogi w ośrodku, dE/dx, zależą silnie od masy i ładunku cząstki oraz od wartości samej energii, co jest zilustrowane na rysunku 2 [3]. Dla elektronów o energiach większych od około 0.2 MeV straty te są praktycznie stałe i można przyjąć, że stracona w ośrodku energia jest proporcjonalna do długości toru elektronu.

Cząstki nie posiadające ładunku elektrycznego nie jonizują ośrodka i nie pozostawiają śladów w komorze pęcherzykowej. Pomimo to istnieje możliwośc ich rejestracji poprzez obserwację naładowanych produktów ich rozpadu bądz oddziaływania z materią. Procesy te mają jednak inny charakter niż proces jonizacji. Prawdopodobieństwo ich zachodzenia zależy od typu i energii cząstki oraz od własności ośrodka.


Rysunek 2. Straty energii cząstek na jednostkę drogi w powietrzu [3]
Oddziaływanie promieniowania z materią stanowi ważny dział metod doświadczalnych fizyki jądrowej o wielorakich zastosowaniach w różnych dziedzinach nauki, techniki i medycyny, rolnictwa, ochrony środowiska itd.


2. OPIS ĆWICZENIA



Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z prawami zachowania i zjawiskami dotyczącymi oddziaływań cząstek elementarnych, a także pokazanie metod obserwacji i analizy tych zjawisk. Jako przykład wybrany został rozpad cząstki neutralnej na dwa fotony.

Zadaniem wykonujących ćwiczenie jest identyfikacja cząstki oraz rekonstrukcja relacji kinematycznych, tj. wyznaczenie pędów i kątów emisji fotonów względem kierunku lotu cząstki, w układzie laboratoryjnym i w układzie spoczynkowym cząstki. Relacje te należy zilustrować graficznie.

Przedmiotem analizy jest zdjęcie wnętrza komory pęcherzykowej o pojemności 180 litrów, wypełnionej ciekłym ksenonem i naświetlonej wiązką mezonów - o pędzie 3.5 GeV/c w Instytucie Fizyki Teoretycznej i Doświadczalnej w Moskwie. Obiektem naszego zainteresowania jest nieznana neutralna cząstka X wyprodukowana w oddziaływaniu mezonu - z jądrem ksenonu i rozpadająca się następnie na dwa fotony według schematu:
X  1 +2,.
Fotony nie posiadają ładunku elektrycznego, więc nie pozostawiają śladów w komorze.

Kiedy jednak energia ich jest większa od energii odpowiadającej sumie mas dwóch elektronów, 1.02 MeV, mogą ulec zamianie (konwersji) na parę, (e+e-) czyli elektron-pozyton. (Pozyton jest cząstką antymaterii odpowiadającą elektronowi, tzn. o masie równej masie elektronu ale o ładunku dodatnim.) Elektrony i pozytony tracą energię nie tylko poprzez jonizację atomów ośrodka, ale również przez emisję fotonów wtórnych, tzw. promieniowania hamowania. Fotony te mogą znów konwertować na pary (e+e-). W ten sposób tworzy się cykl w wyniku którego powstaje tzw. kaskada elektronowo-fotonowa, (e-).


Rysunek 3. Przykładowy fragment zdjęcia komory pęcherzykowej z zaznaczonymi elementami istotnymi dla analizy kinematycznej rozpadu cząstki neutralnej na dwa fotony




Tor cząstki padającej widoczny jest z lewej strony zdjęcia. Tory cząstek naładowanych wychodzących z punktu oddziaływania pozostawiają ślady w komorze tworząc trójramienną gwiazdę. Wyemitowana cząstka neutralna w bardzo krótkim czasie ulega rozpadowi na dwa fotony. Po przebiegnięciu pewnego odcinka drogi w komorze następuje konwersja obu fotonów na pary elektron-pozyton. Punkty konwersji stanowią początki kaskad elektronowo-fotonowych. Osie obu kaskad przechodzą przez punkt oddziaływania skąd wnioskujemy, że cząstka X przebiegła przed swym rozpadem bardzo mały (mniejszy niż 0.1 mm) odcinek drogi w komorze. Tory elektronów różnią się wyraźnie od torów cięższych cząstek. Ich nieregularny kształt, szczególnie w końcowej części, jest rezultatem wielokrotnych rozproszeń na elektronach atomów ksenonu. Widoczne na zdjęciu krzyże reperowe stanowią punkty odniesienia wykorzystywane przy rekonstrukcji geometrycznej zarejestrowanego obrazu oddziaływania.

2.1. Identyfikacja nieznanej cząstki


Analiza relacji kinematycznych pomiędzy pędem rozpadającej się cząstki X a pędami fotonów: i umożliwia identyfikację cząstki. Związki kinematyczne dla rozważanego przypadku przedstawia Rysunek 4.







Y

1



2 Z



Rysunek 4. Zależności kinematyczne w rozpadzie cząstki neutralnej na dwa fotony
Zapiszmy prawa zachowania energii i pędu dla naszego przypadku. Dla ułatwienia wybieramy układ współrzędnych tak, by oś Z pokrywała się z kierunkiem ruchu cząstki, a prostopadła do niej oś Y umieszczona była w płaszczyżnie wyznaczonej przez kierunki ruchu fotonów. Otrzymujemy układ trzech równań.
1. Prawo zachowania energii w postaci relatywistycznej (patrz wzór (4)):
(6)
2. Prawo zachowania pędu wzdłuż kierunku ruchu cząstki:
pX = p1 cos1 + p2 cos2 (7)
3. Prawo zachowania pędu w kierunku prostopadłym do kierunku ruchu cząstki:
0 = p1 sin1 - p2 sin2 (8)
W oparciu o wykonane pomiary możemy wyznaczyć energie fotonów, E1 i E2 oraz kąt pomiędzy kierunkami ich lotu, tzw kąt rozlotu: = 1 + 2. Chcemy znać masę nieznanej cząstki, moX i jej pęd, pX. Wielkości te wyznaczymy w oparciu o wypisane wyżej związki wynikające z praw zachowania. Pozwoli nam to zidentyfikować cząstkę oraz wyznaczyć jej prędkość w układzie laboratoryjnym. Z kolei, ze zwiazków geometrycznych pokazanych na rysunku 4 możemy znaleźć wartości kątów 1 i 2. W rezultacie otrzymamy rozwiązanie zagadnienia kinematyki rozpadu nieznanej cząstki na dwa fotony i możemy zidentyfikować cząstkę.
Wykonajmy proste przekształcenia. Z równań (6) i (7) wynika związek:
. (9)
Pamiętając, że dla fotonów E=pc możemy wzór (9) przepisać następująco:
. (10)
Równanie (8), po podniesieniu do kwadratu, możemy napisać w postaci:
. (11)
Z równań (10) i (11) oraz własności funkcji trygonometrycznych wynika, że:
(12)
Pamiętając wzór na cosinus sumy kątów możemy wzór (12) przepisać w postaci:




, lub (13)

Otrzymaliśmy niezwykle ważną zależnośc, która demonstruje równoważność masy i energii, wyrażaną słynnym wzorem Einsteina. Po lewej stronie mamy masę spoczynkową cząstki pomnożoną przez c2, czyli jej energię spoczynkową, zaś wyrażenie po prawej stronie zawiera pierwiastek z iloczynu energii fotonów, czyli obiektów pozbawionych masy. Wyrażenie to określa masę niezmienniczą (zwaną też masą efektywną) układu dwóch fotonów.

Wzór (13) pozwala na zidentyfikowanie nieznanej cząstki poprzez porównanie wyznaczonej energii spoczynkowej z wartościami energii spoczynkowych cząstek znanych. Należy tu zaznaczyć, że w tablicach cząstek pod słowem „masa” rozumie się właśnie energię spoczynkowa cząstki. Konwencja ta stosowana jest także w tablicach podanych w tej instrukcji. Szukając cząstki o energii spoczynkowej zbliżonej, z uwzględnieniem niepewności pomiarowych, do wyznaczonej przez nas, musimy pamiętać również o sprawdzeniu innych własności naszego kandydata: ładunek, czas życia, schemat rozpadu itd.

2.2. Rekonstrukcja kinematyki rozpadu:

a) układ laboratoryjny


Dla wyznaczenia pędu cząstki w laboratorium korzystamy z równań (13) i (6)
(14)
Znając pęd cząstki nietrudno wyznaczyć jej prędkośc, a dokładniej - stosunek prędkości do prędkości światła, , korzystając ze związków (2); X=pX c/EX. Pamiętamy, że energia cząstki to po prostu suma energii fotonów; E=E1+E2 .

Kąty 1 i 2 można wyznaczyć korzystając ze związków geometrycznych pomiędzy wektorami pędu cząstki X i pędów fotonów. Dla przykładu:


p1 / sin2 = p2 / sin1 = pX / sin skąd np. sin1= p2 sin / pX. (15)
W ten sposób mamy w pełni zrekonstruowaną kinematykę rozpadu cząstki na dwa fotony, rozpatrywaną w laboratoryjnym układzie odniesienia. Wyznaczone wartości pozwalają na wykonanie rysunku, analogicznego do rysunku 4, ilustrującego graficznie kinematyczne relacje dla rozpatrywanego przypadku rozpadu.

b) układ spoczynkowy cząstki


Wyznaczone energie fotonów i kąty ich emisji względem kierunku lotu cząstki X najczęściej nie są sobie równe. Co jest powodem, że jeden foton ma energię większą niż drugi? Czy energie ich mogą być jednakowe i kiedy tak się dzieje? Jaka jest maksymalna i minimalna energia fotonów dla danej energii cząstki? Czy kąt rozlotu może przyjmować dowolne wartości?... Podobne pytania można kontynuować. Widać, że prawa zachowanie energii i pędu pozostawiają tu pewną dowolność. Z czego dowolność ta wynika? Dla uzyskania odpowiedzi na te pytania rozpatrzymy teraz kinematykę rozpadu w układzie własnym rozpadającej się cząstki.

W układzie tym cząstka pozostaje w spoczynku zaś sam układ porusza się w laboratorium z prędkością wyrażoną przez X. Pęd i energia kinetyczna cząstki są w tym układzie z definicji równe zeru, a całkowita energia równa jest jej energii spoczynkowej. Po rozpadzie całkowity pęd musi być nadal równy zeru, a suma energii fotonów równa energii spoczynkowej cząstki. Zapiszemy to następująco (gwiazdka oznacza układ spoczynkowy cząstki):


, (16)
(17)
Konsekwencją podanych wyżej zależności jest to, że energia każdego z fotonów równa jest teraz połowie energii spoczynkowej rozpadającej się cząstki, zaś ich wektory pędów są równe co do wartości, leżą na jednaj prostej, ale skierowane są w przeciwne strony.
, (18)
Żaden kierunek nie jest w tym układzie z góry wyróżniony. Fotony mogą rozlatywać się w dowolnych, choć zawsze przeciwnych, kierunkach. Prawa zachowania energii i pędu nie ingerują w orientację wektora wyznaczającego kierunek lotu fotonów. Jedynie w celu powiązania tego układu z układem laboratoryjnym wyróżnimy kierunek osi Z wzdłuż kierunku ruchu cząstki w laboratorium.

Widzimy, że różnica energii fotonów w laboratorium pojawia się na skutek różnego ustawienia prostej wzdłuż ktorej fotony rozlatują się w układzie spoczynkowym cząstki X. Jakie więc były kierunki lotu rozpatrywanych przez nas fotonów w układzie spoczynkowym rozpadającej się cząstki? Dla znalezienia odpowiedzi na to pytanie wystarczy wykonać transformację Lorentza, równania (3), do układu poruszającego się wzdłuż osi Z z prędkością X.


Energia fotonu i, i=1,2 w układzie spoczynkowym cząstki X wynosi; patrz wzory (3):
(19)
Składowa pędu równoległa do kierunku ruchu cząstki, czyli wzdłuż osi Z:
(20)
Składowa pędu prostopadła do kierunku ruchu cząstki nie ulega zmianie:
lub (21)
Tangens kąta emisji fotonu w uładzie spoczynkowym cząstki można określić jako stosunek składowej prostopadłej do składowej równoległej.
(22)
Teraz posiadamy już wszystkie dane, by zrekonstruować kinematykę rozpadu naszej czastki w jej własnym układzie spoczynkowym i wykonać rysunek przedstawiający zależności kinematyczne w tym układzie odniesienia.

c) wartości graniczne i elipsa pędów



Ten punkt wykracza poza ramy obowiązkowego opracowania ćwiczenia, stanowi jednak niewątpliwie najciekawszy jego element. Dlatego zachęca się Czytelnika do zapoznania się z przedstawioną poniżej analizą kinematyczną i wykonanie elipsy pędów dla przypadku rozpatrywanego w ćwiczeniu.
Energia fotonu i, i=1,2 w układzie laboratoryjnym wyrażona w funkcji jego energii i pędu w układzie spoczynkowym cząstki X wynosi:

(22)
Transformacja ta różni się jedynie zmianą znaku w stosunku do wzorów (3). Składowa pędu równoległa do kierunku ruchu cząstki, czyli wzdłuż osi Z, jest równa:
(23)
Składowa pędu prostopadła do kierunku ruchu cząstki nie ulega zmianie. Najmniejsze i największe wartości energii i pędów fotonów w laboratorium bedą osiągane dla najmniejszych i największych wartości cosinusa kąta emisji fotonów w układzie spoczynkowym cząstki X:
(24)
(25)
Mnożąc przez siebie minimalną i maksymalną energię fotonow otrzymamy:
, lub (26)




(26a)
Uzyskaliśmy paradoksalny, ale zarazem niezwykle cenny rezultat. Pierwiastek z iloczynu maksymalnej i minimalnej energii fotonów, czyli średnia geometryczna wartośc energii fotonów, , nie zależy od samych energii i równa jest połowie energii spoczynkowej rozpadajęcej się czastki. Liczby tworzą postęp geometryczny[6]. Oznacza to, że najmniejsza energia fotonu jest zawsze mniejsza od połowy energii spoczynkowej cząstki, zaś energia maksymalna jest zawsze większa: . Co więcej, ile razy jest większa od , tyle razy jest od niej mniejsza. Czym większa jest energia rozpadającej się cząstki, tym mniejsze mogą być energie fotonów.

Rzeczywiście - brzmi to paradoksalnie. Energia minimalna będzie największa, a maksymalna najmniejsza i obie równe będą połowie energii spoczynkowej cząstki tylko wtedy, kiedy ona sama będzie spoczywać w rozpatrywanym przez nas układzie odniesienia. Wzór (25) pokazuje zaś, że nawet dla największych energii cząstki, fotony o najmniejszych energiach będą lecieć w kierunku przeciwnym do jej ruchu (minimalna wartość pędu będzie liczbą ujemną). Fotony te poruszać się będą oczywiście z prędkością światła, c, ale ze znacznie mniejszą energią. Odpowiadać im będzie mniejsza częstotliwość  zgodnie z wzorem na energię fotonu E=h, gdzie h jest stałą Plancka. Zależności pomiędzy oboma układami odniesienia dla naszego przypadku ilustruje Rysunek 5.







Rysunek 5. Elipsy pędów: kwadraty - układ spoczynkowy cząstki; romby - laboratoryjny
Rysunek ten pokazuje zależność pomiędzy składową pędu wzdłuż kierunku lotu cząstki oraz w kierunku poprzecznym . Dla skonstruowania elipsy pędów wystarczy wyznaczyć składowe pędu fotonów w układzie spoczynkowym cząstki: , dla wielu wartości kątów * z przedziału od zera do 2 oraz wykonać transformację składowej podłużnej (wzór 23) do układu laboratoryjnego.

Rysunek 5 został wykonany z pomocą programu Excel.


Warto zauważyć, że dla danej energii cząstki X, rozkład energii fotonów ma zawsze chrakter rozkładu równomiernego w granicach od Ei,min do Ei,max , co wynika z liniowej zależności energii fotonu od cosi*. Jedyna energia, którą mogą mieć fotony niezaleznie od energii cxząstki X, to połowa jej energii spoczynkowej. W rzeczywistych przypadkach energie rozpadających się cząstkek nie są jednakowe, ale mają określony rozkład. Wówczas rozkład energii fotonów posiada maksimum dla energii równych połowie energii spoczynkowej cząstki.




W ten właśnie sposób A.G. Carlson, J.E.Cooper i D.T.King w 1950 roku odkryli istnienie neutralnych mezonów  w promieniach kosmicznych wykonując pomiary rozkładu energii fotonów na wielkich wysokościach. [7]. Rysunek 6. Pokazuje otrzymany przez nich kształt rozkładu energii fotonów

Rysunek 6.

3. WYKONANIE ĆWICZENIA

Pomiary wykonuje się z pomocą programu komputerowego „Kaskada-2”. Program ten napisany zostal w 1997 roku przez p. Piotra Brycha - wówczas studenta III-go roku Wydziału Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Politechniki Warszawskiej, w ramach zajęć „Oprogramowanie Eksperymentu Fizycznego”. Opis i obsługa samego programu podana jest przy stanowisku pomiarowym. Poniżej przedstawione są etapy wykonywania pomiaru.



  1. Pomiar długości torów kaskad elektronowo-fotonowych. Pomiary wykonuje się prowadząc kursor wzdłuż torów tworzących daną kaskdę i wybierając punkty pomiarowe na prostych, w przybliżeniu, odcinkach torów. Całkowita długość jest sumą odcinków prostoliniowych. Dokładność tego pomiaru wynosi około 10%. Dlatego warto wykonać pomiary kilkakrotnie w celu zmniejszenia niepewności przypadkowych pomiaru.

  2. Kalibracyjny pomiar odległości pomiędzy krzyżami reperowymi. Długość torów podawana jest przez program w pikselach. Dla wyrażenia zmierzonych długości w bezwzględnej skali odległości w komorze wyrażonej w centymetrach należy wykonać pomiary kalibracyjne odległosci pomiedzy krzyżami reperowymi widocznymi na zdjęciach. Krzyże wyglądjące jak (+) zaznaczone były na górnej ściance komory, czyli na powierzchni szkła, przez które wykonywano fotografie. Odległość miedzy nimi wynosi 12.0 cm. Krzyże ukośne () naniesione były na dolnej ściance komory i odległość miedzy nimi wzdłuż toru lotu cząstki pierwotnej wynosi 11.4cm; odległość w kierunku poprzecznym równa jest 11.0cm. Kaskady położone są w przybliżeniu w środku pomiędzy szkłem i dnem komory. Współczynnik przeliczenia sumarycznego zasięgu z pikseli na centymetry otrzymuje się więc przez uśrednienie współczynników wyznaczonych dla obu ścianek komory.

  3. Wyznaczenie kąta pomiędzy kierunkami lotu fotonów. W tym celu należy zmierzyć długości boków trójkąta, którego wierzchołkami są: punkt oddziaływania i punkty konwersji fotonów. Jesli któryś z punktów konwersji jest bardzo blisko ponktu oddziaływania, co zwiększyłoby niepewnośc pomiaru, można wybrać wtórny punkt konwersji leżący na osi

kaskady, czyli na prostej wyznaczającej kierunek lotu fotonu. Uzyskane długości boków pozwalaja na wyznaczenie wartości kąta rozlotu korzystając ze zwiazków trygonometrycznych w otrzymanym trójkącie.

Końcowym wynikiem pomiaru są sumaryczne długości torów kaskad , wyrażone w centymetrach oraz wartość cosinusa kąta rozlotu =1+2. Energia fotonu, E, proporcjonalna jest do sumarycznej długości torów kaskady [5].


(2)
gdzie k, jest współczynnikiem proporcjonalności;

k=5.00.5 MeV/cm.
Zauważmy, że pominęliśmy tu energię potrzebną na wytworzenie par (e+e-) tworzących kaskadę. Celowośc tego uproszczenia i jego wpływ na wynik końcowy warto przedyskutować przy opracowywaniu wyników.

4. OPRACOWANIE WYNIKÓW POMIARÓW

Opracowanie składa się z kilku punktów wymienionych poniżej. Dla uzyskania pozytywnej oceny niezbędne jest opracowanie dwóch pierwszych. Realizacja zadań wymienionych w pozostałych punktach wymaga większej wiedzy i pracy, ale zapewnia lepsze zrozumienie badanego procesu i ... uzyskanie wyższej oceny.



  1. Wyznaczenie energii spoczynkowej oraz identyfikacja cząstki X przez porównanie jej własności z własnościami znanych cząstek zawartymi w tablicach, np. w Tablicy 2.

  2. Rekonstrukcja kinematyki rozpadu w układzie laboratoryjnym. Wyznaczenie pędu, energii całkowitej i prędkości cząstki oraz kątów pomiędzy kierunkami lotu cząstki i lotu fotonów. Wykonanie rysunku przedstawiającego schemat kinematyczny rozpadu badanej cząstki - analogicznego do rysunku 3,

  3. Oszacowanie czasu życia cząstki wiedząc, że jej przebieg w komorze był mniejszy od przestrzennej zdolności rozdzialcze komory, równej w przybliżeniu 0.1mm.

  4. Rekonstrukcja kinematyki rozpadu cząstki w jej układzie własnym. Transformacja energii i pędów fotonów do układu spoczynkowego cząstki. Wyznaczenie kierunków lotu fotonów w tym układzie. Wykonanie schematu kinematycznego, podobnie jak w punkcie 2.

  5. Wyznaczenie granicznych wartości i elipsy pędów fotonów w laboratorium i w układzie spoczynkowym badanej cząstki. Wykonanie rysunku analogicznego do rysunku 5.

Obliczenia można wykonać z pomocą programu Excel z pakietu MS-Office.

5. PYTANIA KONTROLNE


  1. Co oznacza pojęcie "cząstka elementarna"?

  2. Wiedząc, że nukleony składają się z trzech kwarków typu u i d podać skład kwarkowy protonu i neutronu.

  3. Analizując relatywistyczną postać wzoru na energię cząstki pokazać, że niemożliwe jest przekroczenie prędkości światła.

  4. Jakie warunki muszą być spełnione aby mogła nastąpić konwersja fotonu na parę (e+e-)?

  5. Czy wynik pomiaru czasu życia cząstki nietrwałej zależy od jej prędkości?

  6. Podać związek pomiędzy pędem i energią: a) dla fotonu, b) dla nukleonu.

  7. Jakie cząstki ulegają rozpadowi na dwa fotony?



6. LITERATURA


[1] C. Caso et al., Review of Particle Physics, The European Physical Journal C3 (1998),

Particle Physics Booklet (1998), http://pdg.lbl.gov/

[2] I.W. Sawieliew, Wykłady z fizyki, Tom 3, PWN (1994)

[3] E. Skrzypczak, Z. Szefliński, Wstępdo fizyki jądra atomowego i cząstek elementarnych,

PWN, Warszawa 1995.

[4] D.H.Perkins, Wstęp do Fizyki wysokich energii, PWN (1989)

[5] Z. Strugalski, Metody śladowe detekcji promieniowania jądrowego, PWN, (1981)

[6] G.I. Kopylov, Osnowy kinematiki rezonansow, Wyd.Nauka, Moskwa (1970)



[7] A.G.Carlson,J.E.Hooper, D.T. King, Phil.Mag. 41, 701 (1950)

7. Kinematyka cząstek elementarnych - przez Internet


Kod komputerowy programu "Kaskada" oraz przykładowe zdjęcia dostępne są przez Internet. Adres: http://www.if.pw.edu.pl/~pluta Wersja polska Kaskada.



©snauka.pl 2016
wyślij wiadomość