Strona główna

Obiekty pomiarów i przetworniki nieelektryczne


Pobieranie 47.85 Kb.
Data19.06.2016
Rozmiar47.85 Kb.

Komputerowa analiza systemów pomiarowych



WYKŁAD V
Obiekty pomiarów
i przetworniki nieelektryczne




  • Co nam daje model obiektu pomiarów w projektowaniu ?

  • Przykłady z przetwarzania sygnałów i identyfikacji obiektów

  • Przykład modelowania obiektu o parametrach rozłożonych

  • Przykłady modelowania przetworników nieelektrycznych

  • Optymalizacja przetworników nieelektrycznych

Co nam daje model obiektu pomiarów w projektowaniu systemu pomiarowego ?


Pomiar polega na przetwarzaniu analogowym i cyfrowym sygnałów dostępnych na obiekcie pomiarów na wynik pomiaru i oszacowanie jego dokładności. Czy wiedza o obiekcie pomiarów (naturze dostępnych pomiarowo sygnałów) dostępna przed wykonaniem pomiarów (a priori) może nam pomóc w zaprojektowaniu lepszego systemu pomiarowego ? Mówiąc prosto:
Czy wiedząc co będziemy mierzyć, możemy to zmierzyć lepiej ?
Oczywiste działania projektowe potwierdzające taką możliwość to:

  • dobór zakresu przetwarzania przyrządów do zakresu zmian sygnałów,

  • dobór pasma przenoszenia przyrządów do zawartości harmonicznej sygnałów,

  • dobór zasady działania przyrządu do warunków pomiarowych (np. przetwarzanie całkujące przy silnych zakłóceniach sieciowych),

  • dobór postaci (rzędu) identyfikowanego modelu na podstawie analizy fizykalnej zjawisk występujących w obiekcie identyfikacji lub na podstawie oglądu zarejestrowanych sygnałów pomiarowych,

  • dobór estymatora parametrów modelu do charakteru zakłóceń (np. zakłócone pomiarowo wyjście lub wejście i wyjście, zakłócenia nieskorelowane/skorelowane pomiędzy poszczególnymi próbkami wyjścia).

Mniej oczywiste przykłady projektowe dalej.


Przykład: Szacowanie na podstawie pomiarów wpływu zakłócenia sinusoidalnego na wynik przetwarzania A/C.

Mierzoną wielkością jest miara rozrzutu N wyników przetwarzania A/C z podwójnym całkowaniem spowodowana oddziaływaniem zakłócenia sinusoidalnego nałożonego na sygnał pomiarowy. Odchyłka pojedynczego pomiaru spowodowana zakłóceniem od wartości bez zakłócenia obserwowana jest w losowym momencie.

Pierwszą proponowaną miarą rozrzutu jest błąd średni skuteczny o definicji:

Jest to jak widać miara zbieżna z estymatorem odchylenia standardowego wartości losowych i z definicją wartości skutecznej sygnału dyskretnego. Ale w przypadku przetwarzania z całkowaniem zakłócenie widoczne po stronie cyfrowej też ma kształt sinusoidalny. Dla sygnału sinusoidalnego jego wartość maksymalna i skuteczna związane są zależnością to może lepiej będzie się zachowywała miara rozrzutu:

C
N=30; % ilosc probek w serii

L=10000; % ilosc serii

for j=1:L

u=sin(rand(N,1)*2*pi);

Emax(j) = max(abs(u))/sqrt(2);

Estd(j) = sqrt(sum(u.^2)/N);

end

subplot(2,1,1);



hist(Estd,30);

axis([.55 .85 0 2000]);

subplot(2,1,2);

hist(Emax,30);

axis([.55 .85 0 8000]);

echą każdej miary jest jej wiarygodność określona w tym przypadku szerokością przedziału niepewności oszacowania rozrzutu. Sprawdźmy symulacyjnie (teoretycznie pod koniec semestru) własności statystyczne obu miar (patrz obok).

Wniosek: rzeczywiście miara jest znacznie bardziej wiarygodna (daje mniejszą niepewność). Ma przy tym (niestety) skłonność do zaniżania rozrzutu (jednostronny histogram). W opisywanym zastosowaniu sprawdza się znakomicie. A co będzie jeśli nałożą się też zakłócenia losowe ?

Przykłady z dziedziny identyfikacji parametrycznej


Identyfikacja parametryczna to bardzo wdzięczne pole do pokazania współzależności między obiektem pomiarów a systemem pomiarowym. Rozpatrzmy problem doboru sygnału pobudzającego w zależności od charakteru obiektu identyfikacji. Zajmowaliśmy się wcześniej problemem doboru faz składowych sinusoidalnych sygnału multisine dla uzyskania maksymalnej mocy dostarczanej do układu przy zadanych ograniczeniach amplitudowych. Teraz zajmiemy się optymalizacją widma sygnału przy nałożonych ograniczeniach na moc sygnału (ograniczone tempo rozpraszania energii w badanym układzie, np. ciepła w rezystancji lub w tłumiku z tarciem). W optymalizacji widma dąży się do maksymalizacji ilości informacji o parametrach obiektu niesionej w sygnale wyjściowym obiektu. Innymi słowy, wyjście obiektu powinno być jak najbardziej wrażliwe (zmienne w reakcji na) na zmiany parametrów, bo wtedy łatwo odróżnimy w sygnale zmianę parametru od przypadkowego zakłócenia.

Przykład: Przy jakiej częstotliwości odpowiedź częstotliwościowa obiektu niesie najwięcej informacji o parametrze ? W podejściu teoretycznym trzeba by policzyć (wrażliwość na zmianę parametru) i poszukać maksymalnej wartości modułu (lub kwadratu) tej pochodnej. My użyjemy numerycznego przybliżenia pochodnej dla wybranych wartości tłumienia:

W=0:0.01:3; G=inline('1./(-ones(size(ksi))*W.^2+2*j*ksi*W+1)','W','ksi');

GG=G(W,[.7*[.95; 1.05]; .3*[.95; 1.05]]); plot(W,abs(GG([2,4],:)-GG([1,3],:))/0.1, W, abs(GG),'--');

Optymalny punkt częstotliwościowy jest funkcją aktualnej wartości (położenie maksimum na rysunku) – występuje zależność optymalnego projektu od wartości parametrów obiektu, które mają być dopiero wyznaczone.

Widzimy z poprzedniego przykładu, że żeby zaprojektować system pomiarowy identyfikacji optymalnie zbierający informację pomiarową, musimy dużo wiedzieć o samym obiekcie pomiarów. W granicznym przypadku musielibyśmy znać wartości parametrów, które dopiero mamy wyznaczyć. W praktyce wykorzystujemy wstępną wiedzę o parametrach albo postępujemy iteracyjnie projektując coraz lepszy system dla coraz dokładniej znanych parametrów wyznaczonych w systemie z poprzedniej iteracji.

Przykład: optymalizacja widma sygnału pobudzającego do identyfikacji parametrycznej inercji

J
sym w; sym T;

m='w^2/((1+(w*T)^2)^2)';

dm=diff(m); wopt=solve(dm)


eśli nie bardzo mamy pojęcie jaka może być wartość parametru T ani nawet nie jesteśmy pewni czy identyfikowany obiekt dobrze opisuje inercja, to stosujemy jakiś sygnał szerokopasmowy, np. 100 sinusoid powiązanych harmonicznie (sygnał multisine) pokrywający szerokie pasmo. Analizujemy odpowiedź częstotliwościową obiektu. Na podstawie kształtu upewniamy się, że jest to inercja. Następnie wykonujemy dopasowanie stałej czasowej modelu do pomiarów i dostajemy pierwsze oszacowanie poszukiwanego parametru. Zgodnie z wcześniejszym postulatem zależności optymalnego systemu pomiarowego od wartości identyfikowanego modelu projektujemy lepszy monoharmoniczny sygnał pobudzający o pulsacji.

, ,

Czyli dająca najwięcej informacji o stałej czasowej częstotliwość pobudzenia to pulsacja graniczna.



Pytania: Jak sprawdzić czy moc pobudzenia skoncentrowana w newralgicznym punkcie da lepsze (o mniejszym rozrzucie) estymaty T ? Dlaczego wybraliśmy sygnał monoharmoniczny, a nie złożony z kilku prążków ?

(szczegóły: zobacz Schoukens, Pintelon „System Identification”, funkcja opt_excit w Frequency Domain Identification Toolbox)

Żeby odpowiedzieć na pierwsze pytanie, tj. sprawdzić czy pobudzenie skoncentrowane częstotliwościowo daje lepszą dokładność niż rozproszone, możemy postąpić na dwa sposoby. Pierwszy z nich to pracochłonna i przybliżona metoda modelowania i symulacji (analiza Monte Carlo wpływu czynników losowych), drugi to metoda analityczna szacowania dokładności estymacji parametrów na bazie macierzy informacyjnej Fishera.

Szczegóły zadania:

Identyfikowany obiekt to inercja o stałej czasowej

Sygnał pierwszy to 100 sinoid, każda o amplitudzie ak=A/10 (mocy A2/200),

Sygnał drugi to 1 sinusoida o amplitudzie A (mocy A2/2), częstotliwości

Zakłócenia pomiarowe i.i.d. (independent identically distributed) o wariancji

Metoda pierwsza (tu tylko wskazówki do realizacji)


Dla obydwu sygnałów:

  1. Wygenerować sygnał częstotliwościowy

  2. Zasymulować przejście przez inercję i zakłócić

  3. Estymować T przez dopasowanie odpowiedzi modelu do zakłóconych próbek (zakłócenie przeniesie się na estymatę)

  4. Powtórzyć 1,2,3,4 wielokrotnie – uzyskujemy zbiór estymat T

  5. Oszacować odch. stand. estymat T na podstawie zbioru

Porównanie rozrzutów daje odpowiedź na nasze pytanie

Metoda druga


Macierz informacyjna Fishera (w tym przypadku):



Nierówność Rao-Cramera:

Dla 1 prążka(K=1, a1=1):

Dla 100 prążków (K=100, ak=1/10):


Do problemu (z teorią) powrócimy pod koniec semestru przy temacie projektowania systemów identyfikacji

Obiekty o parametrach rozłożonych


Do tej pory mówiliśmy o opisie sygnałowym i transmitancyjnym obiektów pomiarowych. Jednak częstym przypadkiem w pomiarach przemysłowych jest obiekt rozległy, w którym sygnały dynamiczne zależą nie tylko od czasu ale i od położenia przestrzennego. Są to obiekty o parametrach rozłożonych z dynamiką opisywaną równaniami różniczkowymi cząstkowymi. Przykłady takich obiektów to:

  • Elektrolizer z procesem dyfuzji cząstek,

  • Element nagrzewany (wymiennik ciepła) z procesem dyfuzji ciepła,

  • Linia telekomunikacyjna (ścieżka na płytce przy dużych częstotliwościach),

  • Instalacja nadmuchu powietrza w piecu przemysłowym.

Również przetworniki pomiarowe nieelektryczne to w większości obiekty rozłożone, z których sygnał wyjściowy jest pobierany z wybranej lokalizacji przestrzennej lub uśredniany z obszaru. Na przykład:

  • Belka tensometryczna (pamiętamy zabieg projektowy z uniezależnianiem odkształcenia od położenia)

  • Membrana tensometryczna do pomiaru ciśnień (o tym dalej)

  • Przetwornik transformatorowy z ruchomym rdzeniem

Opisujące (modelujące) te obiekty równania różniczkowe cząstkowe są dzielone na klasy wg postaci równania:

  • Równania eliptyczne (np. równanie statycznego pola potencjału, temperatury: )

  • Równania paraboliczne (np. równanie dyfuzji ciepła, masy: )

  • Równania hiperboliczne (np. równanie falowe elektryki, mechaniki, akustyki: )

Równanie + warunki brzegowe i początkowe zmiennej u determinują rozwiązanie .

Przykład: Modelowanie i obliczenia dla obiektu o parametrach rozłożonych – proces dyfuzji ciepła

Celem działania systemu pomiarowego pokazanego na rysunku jest wyznaczenie wartości parametru materiałowego (dyfuzyjności cieplnej D), przez przetwarzanie sygnałów temperatury nagrzewanego pręta.


Proces jest opisany równaniem dyfuzji:

gdzie: To – temperatura otoczenia, D – współczynnik dyfuzyjności cieplnej, h – współczynnik strat cieplnych.

Rozwiązanie tego równania dla przypadku próbki jednowymiarowej półnieskończonej, z wymuszeniem termicznym w początku próbki (warunek brzegowy dla x=0) opisanym funkcją czasu F(t) i z warunkiem początkowym T(t=0,x)=To=0 [C], jest opisane równaniem splotu sygnału wymuszającego i funkcji Greena w wybranym punkcie x (zob. Carslaw, Jaeger, Conduction of Heat in Solids).



Przykład (c.d.): weryfikacja modelu splotowego zjawiska dyfuzji ciepła

W celu weryfikacji modelu porównamy go z rzeczywistymi pomiarami na takim obiekcie. Za sygnał pobudzenia F(t) przyjmujemy ten mierzony w punkcie na badanej próbce przyjętym jako początkowy (z pierwszej termopary). Pozostałe punkty pomiarowe są rozmieszczone z wzajemną odległością 10 [mm] wzdłuż obiektu identyfikacji. Po zgrubnym dobraniu parametrów D i h przez dopasowanie dla próbek sygnałów z wszystkich czujników (łącznie 3000 punktów dopasowania, D=0.9610-4 [m2/s], h=2.1110-4 [s-1]) uzyskano potwierdzenie poprawności modelu.







Pomiary temperatury w funkcji czasu [s]. Czerwony kolor linii oznacza czujnik położony najbliżej źródła ciepła, a niebieski najdalej.

Porównanie odpowiedzi modelu (linie ciągłe) do pomiarów (symbole) z czujników w odległości 20, 80 i 140 [mm] od źródła ciepła

Można zauważyć niewielkie różnice w odpowiedziach modelu i obiektu, co świadczy o niepełnym modelowaniu obiektu. Jednak model z uzmiennieniem parametrów (D zależy od temperatury) i modele przepływu ciepła więcej niż jednowymiarowe wymagają większej ilości obliczeń.



Przykład (c.d.): Projektowanie procesu próbkowania sygnałów na podstawie modelu

Problem optymalizacyjny polega na zaprojektowaniu momentów próbkowania (analogicznie można zaprojektować położenie czujników temperatury) temperatury pręta dla uzyskania największej dokładności estymacji parametru D. Identyfikacja jest wykonywana na podstawie zbioru N wyników Tpij pomiaru temperatury Tij w chwilach czasu tj, j=1, ..., LT, z czujników zlokalizowanych na próbce w położeniach xi, i=1, ..., LC, N=LC*LT. Kryterium optymalności projektowania ma postać wariancji estymat parametru D. Do projektowania przyjęto parametry obiektu identyfikacji D=10-4 [m2/s], h=10-2 [s-1]. Przyjmujemy trzy czujniki temperatury (LC=3) umieszczone w położeniach x1=5 [mm], x2=20 [mm] i x3=35 [mm] od punktu wymuszenia cieplnego, z równą odległością między czujnikami wynoszącą 15 [mm]. Warunki prowadzenia eksperymentu będące przedmiotem optymalizacji są opisane dwoma parametrami, czasem rozpoczęcia próbkowania sygnałów z czujników T1, oraz okresem próbkowania dT. Obydwa parametry w sposób jednoznaczny definiują kolejne momenty próbkowania tj (LT=30). Ilość danych identyfikacyjnych jest równa iloczynowi liczby czujników i liczby danych z każdego z czujników, tj. N=LC*LT=90. Zakłócenia pomiarów temperatury mają charakter szumu białego o odchyleniu standardowym =1 [C].

Macierz informacyjna jest w tym przypadku opisana wzorem:

Czyli obliczanie macierzy informacyjnej M polega na analitycznym różniczkowaniu odpowiedzi impulsowej modelu (funkcji Greena) względem wektora estymowanych parametrów (D i h) i na numerycznym wyznaczeniu splotu rezultatu różniczkowania z funkcją wymuszenia cieplnego F(t) w punkcie xi, tj. Dla przyśpieszenia obliczeń uproszczono postać pobudzenia cieplnego z nagrzewania-stygnięcia do nagrzewania-chłodzenia.



Przykład (c.d.): Projektowanie procesu próbkowania sygnałów na podstawie modelu - wyniki obliczeń


Rys. 1 Zmiany temperatury wymuszającej F(t) [C] w funkcji czasu [s] względem temperatury otoczenia To.




Rys. 2 Względna wariancja (skala logarytmiczna) estymat parametru D w funkcji parametrów T1 [s] i dT [s] (minimum dla T1=1.24, dT=1.8).




Rys. 3 Względna wariancja estymat parametru D w funkcji parametru dT [s], dla T1=1.24 [s]. Przekrój powierzchni z rys.2.




Rys. 4 Oszacowania względnej wariancji estymat parametru D wyznaczonych metodą Monte Carlo (porównaj z rys. 3).





Obiekt o parametrach rozłożonych a model skupiony


W przypadku niektórych obiektów pomiarów i przetworników pomiarowych, mimo ich rozłożonego charakteru, interesuje nas sygnał wyjściowy tylko w pojedynczym punkcie. Tak jest np. w przypadku linii telekomunikacyjnej, dla której opis zjawisk występujących wzdłuż długości nie jest celem modelowania (zbyt dużo informacji jak na nasze potrzeby). Istotne jest oddziaływanie tych zjawisk na sygnał pojawiający się na końcu linii, po stronie odbiornika. Czy wynikowy opis zredukuje się do pojedynczej transmitancji wejście-wyjście w postaci ilorazu wielomianów z niskim rzędem licznika i mianownika ? Sprawdźmy na przykładzie.

Przykład: Model skupiony wejście-wyjście dla obiektu o parametrach rozłożonych - linii telekomunikacyjnej
Model przyrostowy linii o jednostkowej długości z parametrami kabla R,L,C,G.

Dla , : ,

Wprowadzając możemy równania przekształcić do układu:

Dla linii o długości d obciążonej impedancją ZL rozwiązanie to (zobacz np. Cioffi Understanding DSL Technology):



, . Transmitancja:

Nie dostajemy wielomianowej postaci transmitancji. Ponadto parametry R,L,C,G są funkcjami częstotliwości, linia ma dodatkowo sprzężenia transformatorowe i górnoprzepustowe oraz odczepy (odbicia fali).


Przetwornik nielektryczny przestrzenny z modelem o parametrach rozłożonych


Poprzednie rozwiązania problemu obliczenia wyjścia obiektu rozłożonego przestrzennie były oparte o prosty model (odpowiedź impulsowa, model wejście wyjście). Jednak w przypadku modeli przetworników nieelektrycznych takich jak membrana tensometryczna do pomiaru ciśnień (problem mechaniki) czy zwężka do pomiaru natężenia przepływu (problem mechaniki płynów) problem jest bardziej złożony. Elementy takie mają złożoną geometrię kształtowaną dla osiągnięcia np. liniowości charakterystyki statycznej lub uniewrażliwienia na położenie czujnika. Zaawansowana matematyka opisu i uśrednione oddziaływanie przetwornika na czujnik powodują, że rzadko analizuje się w literaturze dynamikę czujników o parametrach rozłożonych. Najczęściej stwierdza się, że do opisu dynamiki można zastosować model określonego rzędu (co wywnioskowano z eksperymentów). Ze statyką jest znacznie lepiej, co zobaczymy na następnej stronie.
Nie jesteśmy jednak bezradni. Przebiegi czasowe w funkcji położenia możemy odtworzyć metodami numerycznymi dyskretyzującymi opis różniczkowy i rozwiązującymi wynikowe układy równań. Nie jest to tak dobre rozwiązanie jak wynik analityczny, różniczkowalny np. po parametrach dla uzyskania największej czułości, jednak daje możliwość analizy i projektowania (optymalizacji) na danych numerycznych. Przykłady takich metod to:

  • metoda siatek zaimplementowana w Matlabie w funkcji pdepe,

  • metoda elementów skończonych zaimplementowana łącznie z interfejsem użytkownika w toolboxie PDE (Partial Differential Equations)

Dla osoby jeszcze bez projektu proponuję obliczenia np. dla czujnika temperatury lub membrany tensometrycznej z elementami optymalizacji (np. kształt przekroju membrany).

Przetworniki nieelektryczne – przykład modelowania statyki i dynamiki


Modelowanym elementem jest dynamometr tensometryczny czujnik siły nacisku (z „Miernictwo wielkości nieelektrycznych” Czajkowskiego, Wołka). Podobną konstrukcję mają również membranowe czujniki ciśnień.

Modele statyczne dla innych przetworników są powszechnie dostępne (np. Turkowski M. Przemysłowe sensory i przetworniki pomiarowe).

Typowe konstrukcje dynamometrów przedstawiają rysunki:

Przetwornik pałąkowy sił ściskających Membranowy czujnik siły
O paśmie takiego przetwornika decydują w tym przypadku własności jego części mechanicznej. Modelowanie możemy przeprowadzić na poziomie mechanicznym z użyciem parametrów geometrycznych i materiałowych lub drogą identyfikacji z eksperymentów.
Analiza statyki membrany płaskiej z równomiernym naciskiem (Styburski Przetworniki tensometryczne)

Odkształcenie membrany kołowo-symetrycznej utwierdzonej na obwodzie i obciążonej równomiernie:





Przy wykorzystaniu czterech tensometrów czynnych w osiach odkształceń promieniowych i stycznych (specjalne tensometry foliowe membranowe) i przy dodatkowych warunkach:





p – nacisk na jednostkę powierzchni [N/m2],

R – promień membrany,

h – grubość membrany,

E – moduł Younga.
Analiza dynamiki membrany płaskiej z równomiernym naciskiem w Dobrucki A. „Podstawy akustyki”, gdzie dochodzi się do zależności na parametr modelu drugiego rzędu – częstotliwość rezonansową f0, w funkcji parametrów materiałowych i konstrukcyjnych.

Modelowanie na poziomie mechaniki byłoby odpowiednie w przypadku projektowania samego przetwornika. W dokumentacji firmowej zazwyczaj brakuje danych pozwalających na modelowanie na poziomie zjawisk zachodzących w przetworniku. Modelowanie można przeprowadzić także na poziomie sygnałowym traktując ten element pomiarowy jako przetwornik drugiego rzędu. Parametrami takiego modelu są: wzmocnienie statyczne, pulsacja drgań własnych i tłumienie.


Dokumentacja przykładowego czujnika podaje parametry (dostępne są sygnały elektryczne, nie znamy konstrukcji):

Siła nominalna:

Czułość nominalna:

Napięcie zasilania:

Częstotliwość naturalna:

Nie podano tłumienia, więc przyjmujemy , wartość korzystną dla pasma przetwornika.

W efekcie dostajemy model transmitancyjny przetwornika w postaci:

Po zamodelowaniu należy zweryfikować model przez porównanie z danymi pomiarowymi z elementu, np. ze zmierzoną charakterystyką amplitudowo-częstotliwościową lub z odpowiedzią skokową. W razie niezgodności dopasowujemy nasz arbitralnie przyjęty parametr .




Katedra Metrologii AGH Kraków 2004


©snauka.pl 2016
wyślij wiadomość