Strona główna

Wykład 6 zastosowania pochodnych


Pobieranie 93.96 Kb.
Data20.06.2016
Rozmiar93.96 Kb.

PJWSTK

Analiza Matematyczna 1

WYKŁAD 6

ZASTOSOWANIA POCHODNYCH

BADANIE FUNKCJI


  1. Analiza funkcji: znajdowanie dziedziny funkcji, granic na końcach dziedziny i asymptot, określanie cech charakterystycznych (parzystość, nieparzystość, okresowość).




  1. Analiza pierwszej pochodnej: znajdowanie punktów stacjonarnych, ekstremów oraz przedziałów na których funkcja jest rosnąca czy malejąca.




  1. Analiza drugiej pochodnej: znajdowanie punktów przegięcia, przedziałów wypukłości czy wklęsłości.




  1. Sporządzanie tabeli zmienności funkcji.


5. Sporządzanie wykresu funkcji.


  • Ekstremum funkcji


Definicja

Mówimy, że funkcja f ma w punkcie x0 maksimum (minimum) lokalne, jeżeli istnieje taka liczba dodatnia , że dla każdego x S(x0; ) spełniona jest odpowiednio nierówność


f(x) f(x0) ( f(x) f(x0)).
Ekstremum lokalne to minimum lub maksimum lokalne

Ekstremum absolutne, gdy odpowiednia nierówność spełniona jest dla wszystkich x.
y y=f(x)





0 x






Twierdzenie (Fermata)

Jeżeli funkcja f ma w punkcie x0 ekstremum lokalne

i ma w tym punkcie pierwszą pochodną, to f '(x0) = 0.
Dowód: Jeżeli funkcja f ma w punkcie x0 maksimum lokalne, to istnieje taka liczba > 0, że

dla x0
0, wtedy - < h <0

dla x>x0

0, wtedy 0 < h < 
Ponieważ istnieje pochodna f '(x) więc
f '-(x0) = f '(x0) = f'+(x0).

Interpretacja geometryczna
y y



f(x max y=f(x)
y=f(x) min







0 x 0 x

Wniosek:

Warunek f '(x0)=0 jest warunkiem koniecznym na to, aby funkcja f , różniczkowalna w punkcie x0, miała w tym punkcie ekstremum lokalne.


Przykład 1.

Funkcja

f(x) = x2 +5x + 1
ma pochodną w każdym punkcie x
f  (x)= 2x + 5
dla x=-, f  (x0)= 0
Ponieważ:

x2 + 5x + 1 = (x + )2 -
więc dla , funkcja f(x) = x2 +5x + 1 ma minimum absolutne, które wynosi



Uwaga

Warunek nie jest warunkiem wystarczającym na to by funkcja miała ekstremum

w punkcie .

Przykład

Funkcja , dla .




Pierwszy warunek wystarczający ekstremum

Jeżeli funkcja f :



  • jest ciągła w punkcie x0,

  • posiada pochodną f ' na pewnym sąsiedztwie S(x0; ), przy czym



to funkcja ta ma w punkcie x0 minimum właściwe;
jeżeli natomiast spełniony jest warunek

to funkcja f ma w punkcie x0 maksimum właściwe.
y y=f(x) max

f’<0

f’<0 f’>0 f’>0

min







0 x 0 x



Dowód. (przypadek minimum)

Z twierdzenia o przyrostach dla x  S(x0; )


f(x) - f(x0) = f '(c)(x-x0)
Iloczyn f '(c)(x-x0)  0  f(x) - f(x0)  0

Wniosek

Jeżeli f '(x0) = 0, a ponadto




to funkcja f ma w punkcie x0 minimum właściwe.
y y=f(x) y max

f’<0

f’<0 f’>0 f’>0

min





0 x 0 x



f’(x f’(x
Twierdzenie

(drugi warunek wystarczający ekstremum)

Dla funkcji f: (a, b)(c, d) oraz x0 (a, b):




  1. f'(x) istnieje na (a, b),

  2. f'(x0)=0

  3. f''(x0) istnieje i f''(x0)>0.

Wtedy: f ma w x0 lokalne minimum.

Jeśli zamiast (iii) przyjmiemy, że f''(x0) istnieje i
f''(x0)< 0

to f ma w x0 lokalne maksimum.




  • Wypukłość i wklęsłość wykresu funkcji

  • Punkt przegięcia.

Funkcja f ma pochodną w punkcie x0 .

Równanie stycznej (s) w punkcie P0(x0, f(x0)) ma postać
y = f(x0) + f '(x0)(x - x0)
A – punkt na krzywej y=f(x) o odciętej x,

B – punkt o tej samej odciętej na stycznej (s)
Wtedy
yA = f(x), yB = f(x0) + f '(x0)(x - x0)
yA - yB = f(x) - f(x0) - f '(x0)(x - x0)


Y A (s)



B


x X

0


Definicja

Mówimy, że krzywa y = f(x) jest


wypukła (wklęsła) w punkcie x0
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba r1 > 0,

że różnica yA - yB jest dodatnia (ujemna ) dla każdego



x S(x0; ).
Krzywa y = f(x) jest wypukła (wklęsła) w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy pewna jej część, odpowiadająca dostatecznie małemu otoczeniu punktu x0, znajduje nad (pod) styczną do tej krzywej w tym punkcie

Krzywa wypukła w punkcie
Y

(s)






0 X

Funkcja wklęsła w punkcie




Y

(s)







0 X


  • Warunki wystarczające wypukłości i wklęsłości


Twierdzenie

Jeżeli istnieje r1 > 0 takie, że



  • dla każdego t (x0 - r1; x0)

  • dla każdego u (x0; x0 +r1) zachodzi nierówność


f '(t) < f '(x0) < f '(u)
to krzywa y = f(x) jest wypukła w punkcie x0.
Twierdzenie

Jeżeli istnieje r1 > 0 takie, że



  • dla każdego t (x0 - r1; x0)

  • dla każdego u (x0; x0 - r1) zachodzi nierówność


f '(t) > f '(x0) > f '(u)
to krzywa y = f(x) jest wklęsła w punkcie x0.

Przykład

Wykazać, że funkcja
,

jest wypukła w punkcie 0.

Ponieważ

t < 0 < 2u
dla każdego t(-; 0) i dla każdego u(0; )

funkcja jest wypukła w punkcie

Twierdzenie

Funkcja f ma pierwszą pochodną na otoczeniu S(x0; r).

Jeśli f ''(x0) 0 istnieje i f ''(x0) 0, to krzywa y = f(x) jest wypukła w punkcie x0.
Jeśli f ''(x0) 0 istnieje i f ''(x0) 0, to krzywa y = f(x) jest wklęsła w punkcie x0.
Definicja

Krzywa y = f(x) jest wypukła (wklęsła) na przedziale otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy jest wypukła (albo odpowiednio wklęsła) w każdym punkcie tego przedziału.


Wniosek

Jeżeli funkcja f ' jest rosnąca (malejąca) na przedziale (a, b), to krzywa y = f(x) jest wypukła (wklęsła) na tym przedziale.


Wniosek

Jeżeli f ''(x) > 0 na przedziale (a; b), to krzywa



y = f(x) jest wypukła na (a; b).

Przykład.

Funkcja f(x) = ln x jest wklęsła na swej dziedzinie.




Y

y=ln x

1

0

X

f ''(x) = dla (0; )
funkcja f(x) = lnx jest wklęsła na swej dziedzinie.
Definicja.

Punkt (x0, f(x0)) nazywamy punktem przegięcia krzywej y = f(x) wtedy i tylko wtedy, gdy:



  • istnieje styczna do krzywej y = f(x) w punkcie P0.

  • krzywa y = f(x) jest wypukła na pewnym lewostronnym otoczeniu punktu x0 i jest wklęsła na pewnym prawostronnym otoczeniu tego punktu, albo na odwrót.


Przykład

  • Punkt (0, 0) jest punktem przegięcia krzywej y = xx.

  • Punkt (0,0) jest punktem przegięcia funkcji y = x.



Twierdzenie

Jeżeli:


  • funkcja f ma drugą pochodną na otoczeniu S(x0; r),

  • funkcja f '' jest ciągła w punkcie x0

  • punkt (x0, f(x0)) jest punktem przegięcia krzywej

y = f(x),
to f ''(x0) = 0.

Asymptoty pionowe
Niech dziedzina funkcji f zawiera pewne sąsiedztwo prawostronne lub lewostronne otoczenie punktu c.
Definicja

Prostą o równaniu x = c nazywamy asymptotą pionową wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica niewłaściwa


lub




y=f(x)

x=-2 y

x=4





-2 0 4 x

Przykład

Wykres funkcji ma asymptotę pionową lewostronną o równaniu x=0, ponieważ:


y

asymptota pionowa

lewostronna





x

Prosta x=2 jest asymptotą pionową prawostronną wykresu funkcji f(x)=ln(x-2), ponieważ:


asymptota pionowa prawostronna

y


0 2 3 x
y=ln(x-2)

Prosta x=1 jest asymptota pionowa obustronną wykresu funkcji


ponieważ:


asymptota pionowa obustronna




y




x

0 1
-1


Asymptoty pochyłe i poziome
Niech f będzie funkcją, której dziedzina zawiera przedział (-; b) lub przedział (a; ).
Definicja

Prostą y = mx + k nazywamy asymptotą ukośną

(albo poziomą, gdy m = 0) krzywej y = f(x) wtedy

i tylko wtedy, gdy


[f(x) - mx – k] = 0

lub


[f(x) - mx – k] = 0
Twierdzenie

Jeżeli krzywa o równaniu y = f(x) ma asymptotę pochyłą (poziomą) o równaniu y = mx +k, to



  • m = ,

  • k =


Wniosek.

Jeżeli dla x - którakolwiek z granic nie istnieje (albo jest niewłaściwa), to nie istnieje asymptota lewostronna (prawostronna).



Twierdzenie

Jeżeli obie granice istnieją i są właściwe, to krzywa



y = f(x) ma asymptotę pochyłą
y = mx + k, gdy m 0
natomiast asymptotę poziomą
y = k, gdy m = 0
(lewostronną, gdy granice są obliczane dla x - , a prawostronną, gdy dla x +).




y
y=f(x)

y=mx+k



0 x




y y=3




3

y=f(x)



0 x
y=-3

-3

Przykład


Zbadać przebieg zmienności funkcji




  1. Dziedzina funkcji: X=

,
,
2. Asymptoty:

x=1


  • Asymptoty pochyłe i poziome:




Wykres funkcji posiada asymptotę pochyłą

obustronną o równaniu:


3. Analiza pierwszej pochodnej





  • w punkcie nie ma ekstremum, bo f  (x) >0

w otoczeniu

  • w punkcie jest minimum lokalne, bo








funkcja rosnąca


  • funkcja malejąca

4. Analiza drugiej pochodnej



Funkcja jest:


Punkt (0,0) jest punktem przegięcia.

Przebieg zmienności funkcji



x



y’



y”



y

0 +

p.p. min.



Y min y= -3 -2 -1 1 2 3 x=1

punkt przegięcia





©snauka.pl 2016
wyślij wiadomość