Strona główna

Wykład 9 wektory I przestrzenie wektorowe


Pobieranie 100.7 Kb.
Data18.06.2016
Rozmiar100.7 Kb.

Algebra Liniowa z Geometrią


WYKŁAD 9

WEKTORY I PRZESTRZENIE WEKTOROWE

  • PRZESTRZEŃ WEKTOROWA

Przestrzeń Euklidesowa - zbiór punktów

Współrzędne punktów w – trójka liczb

rzeczywistych


Kartezjański układ współrzędnych w


  • Początek układu, np. punkt .

  • Trzy wzajemnie prostopadłe proste poprowadzone przez punkt - osie x, y, z układu.

  • Jednostki długości określone na każdej osi.

  • Współrzędne punktu p – rzuty punktu p kolejno na osie x, y, z.




y
P(a,b,c)

x

(0, 0, 0)

z

Układy współrzędnych: krzywoliniowe, cylindryczne, walcowe, sferyczne.

Uwaga

Działania na zbiorach i punktach przestrzeni są równoważne działaniom na układach liczb rzeczywistych i ich zbiorach


Uogólnienie na przestrzeń n – wymiarową

Przestrzeń Euklidesowa n – wymiarowa,

Współrzędne punktów w - układ n liczb,



Przykład

- zbiór punktów postaci (a), prosta liczbowa

- zbiór punktów postaci (a,b), płaszczyzna

E - czasoprzestrzeń

Analiza obiektów geometrycznych w terminach przedstawionej reprezentacji – geometria analityczna.

Definicja


Wektorem nazywamy uporządkowaną parę punktów

(A, B), czyli odcinek skierowany o początku w punkcie A i o końcu w punkcie B.

B



A

Definicja

Wektorem o długości n nazwiemy układ liczb rzeczywistych postaci [a1 ,a2 ,...,an]; gdzie oznacza różnicę odpowiednich współrzędnych punktów A i B.

liczby a1 ,a2 ,...,anwspółrzędnymi wektora.

Oznaczenia wektora: a, a,

Przestrzeń wektorowa n – wymiarowa -


  • Działania na wektorach

Definicja


Długością lub modułem wektora , oznaczanym przez lub AB, nazywamy długość odcinka .

Wielkości określające wektor:

  • Kierunek wektora

Jeżeli koniec B wektora nie pokrywa się z jego początkiem A to mówimy o kierunku wektora, utożsamiając ten kierunek z kierunkiem prostej wyznaczonej przez punkty A i B.

Przypominamy: kierunek prostej jest to ta jej własność, którą mają wszystkie proste do niej równoległe i tylko te proste.



  • Zwrot wektora

Prostą AB można wtedy skierować nadając jej zwrot w wyniku przyjęcia umowy dotyczącej następstwa punktów uznanego za dodatnie. W ten sposób nadajemy wektorowi zwrot zgodny ze zwrotem skierowanej prostej AB, na której A poprzedza B.

  • Długość wektora

Dwa punkty P1(x1 ,y1 ,z1) i P2(x2 ,y2 ,z2) wyznaczają odcinek , którego długość P1P2 obliczamy ze wzoru:



Zastosowanie wektorów

  • fizyka: natężenie pola elektrycznego, prędkość, przyśpieszenie, natężenie pola magnetycznego, linie sił pola magnetycznego

  • grafika komputerowa: kwantyzacja wektorowa – metoda kompresji danych wykorzystująca analizę skupień zbioru danych wielowymiarowych

  • analiza danych


Definicja

Kątami kierunkowymi wektora a w kartezjańskim układzie współrzędnych nazywamy kąty ;

jakie ten wektor tworzy z kolejnymi osiami układu współrzędnych.



Współrzędne wektora a wyznaczone przez kosinusy kierunkowe

a = []
= a cos, = a cos, = a cos

y



a





x

z
Definicja

Wersorem (lub wektorem jednostkowym) nazywamy każdy wektor o długości jeden.

Wynika, że współrzędne wersora są równe jego kolejnym kosinusom kierunkowym




Definicja


Wersorem niezerowego wektora a=[ax ,ay, az], oznaczanym przez nazywamy wersor zgodnie równoległy z tym wektorem, przy czym

, gdy

Mówimy także, że wektor jest wektorem unormowanym; operację prowadzącą od wektora niezerowego do jego wersora nazywamy normowaniem wektora.


Definicja


Wersorem osi liczbowej s, oznaczanym przez , nazywamy wersor zgodnie równoległy z tą osią.

Jeżeli więc kątami kierunkowymi osi s są odpowiednio kąty co zapisujemy s(), to



Wersory osi układu kartezjańskiego OXYZ, nazywane także wersorami układu kartezjańskiego, oznaczamy odpowiednio przez i, j oraz k, przy czym



i = [1;0;0], j = [0;1;0], k = [0;0;1]




y



j i

k

(0, 0, 0) x


z


Definicja


Kątem niezerowych wektorów a i b, oznaczanym przez (a, b) lub krótko (a, b), nazywamy kąt, jaki tworzy jeden z tych wektorów z osią zgodnie równoległą do drugiego z wektorów.

Z definicji tej wynika, że


kąt (a, b) = kąt (b, a)
Uwaga

  • Gdy dwa niezerowe wektory są zgodnie równoległe, co oznaczamy przez ab, to ich kąt jest równy zeru;

  • Gdy dwa niezerowe wektory są przeciwnie równoległe, co oznaczamy przez ab, to ich kąt wynosi ;

  • W przypadku nierównoległości wektorów ich kąt spełnia nierówności: 0< kąt (a, b)<






a


b




a

b






b

a

  • Suma wektorów

Definicja

Sumą wektorów a i b, oznaczoną przez a + b, nazywamy wektor o początku w początku wektora a i końcu w końcu b, gdy początek wektora b pokrywa się z końcem wektora a.

b



a a +b a


b


Z definicji sumy wynika natychmiast, że a + b jest przekątną równoległoboku zbudowanego na wektorach a i b.
Twierdzenie

a + b = b + a

  • Dodawanie wektorów jest łączne

(a+b)+c=a+(b+c)

  • Elementem neutralnym dodawania wektorów jest wektor 0

a + 0 = 0 +a = a

  • Dla każdego wektora a istnieje jedyny wektor przeciwny do niego, oznaczony przez – a.

Własności wektora – a:

1.

2. zwrot wektora – a jest przeciwny niż zwrot wektora a

3. kierunek wektora – a jest taki sam jak kierunek wektora a


a
-a


  • Odejmowanie wektorów

Korzystając z oczywistej własności dodawania:



(a = b) (a + c = b + c)
Definicja

Różnica wektorów a i b (odejmowanie wektora b od wektora a) dodawanie do wektora a wektora przeciwnego do b

a + (-b) = a - b

  • Iloczyn wektora i liczby
Definicja

Iloczynem różnej od zera liczby i niezerowego wektora a nazywamy wektor o długości a zgodnie równoległy z wektorem a gdy , a przeciwnie równoległy gdy ; w przypadku gdy a = 0 lub iloczyn a = 0.

Z powyższej definicji wynika, że jeżeli jest wersorem niezerowego wektora a o długości a, to



a = a

oraz, że


, - dowolne liczby

Iloczyn wektora i liczby jest rozdzielny względem dodawania liczb oraz względem dodawania wektorów



a =a + a

(a + b) = a + b

Twierdzenie

Rzut na osi iloczynu wektora przez liczbę jest równy rzutowi tego wektora na tę oś pomnożonemu przez tę liczbę





Dowód

Twierdzenie jest oczywiste gdy λ = 0 lub a = 0.

W przypadku przeciwnym dowód przeprowadzamy powołując się na twierdzenie Talesa.
a





a


rzut a



rzut (a)

Twierdzenie


Współrzędna iloczynu liczby i wektora na osi jest równa iloczynowi tej liczby i współrzędnej tego wektora na tej osi

(a) = wspa

tzn. a = [a1,..., ak ] to:



c · [a1,..., ak ]=[ca1,...,cak]

  • Iloczyn skalarny
Definicja

Iloczyn skalarny funkcja określona na parze wektorów o wartościach ze zbioru liczb rzeczywistych


Dla dwóch wektorów:


a = []

b = []

Iloczyn skalarny wektorów:


a, b> =
Twierdzenie

Własności iloczynu skalarnego

  1. <a, a> = 0 a = 0

  2. <a, b> = <b, a> (przemienność)

  3. <a, b + c> = <a, b> + <a, c> (rozdzielność względem dodawania)

  4. <a, a>0

  5. <a, b> = <a, b>
Dowód

(i) () <a, a> = 0 a = 0

() a = 0 dla każdego i =0

(ii) <a, b> ===<b, a>



(iii) <a, b + c> = =+=

= <a, b> + <a, c>

  1. <a, a> 0

(v) <a, b> === <a, b>

Przykład

Obliczyć iloczyn skalarny wektorów

a = [1, 2, 3]

b = [0, -1, 5]

<a, b> = = 13
Definicja

Długością wektora a nazywamy liczbę rzeczywistą

a
Przykład
Obliczyć długość wektora a = [2, 6, 0, 3]
a =
Twierdzenie

<a, b> ab
Dowód

Rozważmy funkcję kwadratową


Mamy



Ponieważ dla każdej wartości t zachodzi:



więc wyróżnik , a zatem




stąd

zatem


<a, b> ab

Definicja

Odległością wektorów a i b nazywamy długość wektora

a - b

Wektory a, b, ab możemy przedstawić jako boki trójkąta.



b

a - b



a

Z twierdzenia cosinusów otrzymujemy



a - b= a + b - 2a bcos(a, b)

Stąd


a - b= <a - b, a - b> = =

= + - 2= a + b- 2 <a, b>

A zatem


cos(a, b) =

Twierdzenie

Dwa niezerowe wektory a i b są prostopadłe wtedy i tylko wtedy gdy ich iloczyn skalarny jest równy 0.



Dowód

Jeżeli a jest prostopadły do wektora b, to kąt(a, b)=

więc <a, b> = ab cos(a, b) = 0, cnd

()

Jeżeli <a, b> =0, to ab cos(a, b)=0, cos(a, b)=0

wektor a jest prostopadły do wektora b.


  • LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ WEKTORÓW

Definicja

Kombinacją liniową wektorów , i = 1, 2, ...,n nazywamy wektor postaci


v

gdzie , i =1, 2, ... , n są liczbami rzeczywistymi.


Przykład

Kombinacje liniowe wektorów


a, a + b, a +b

Przykład


[4, 5, -8] = [0, 1, 0] + 2[2, 2, -4]

4[1, 2, 3] + 5[-3, 4, 2] – 4[1, 0, 1] =[-15, 28, 18]

Przykład


Rozkład wektora a na współrzędne kartezjańskie

Jeżeli wektor a = , to rzutami wektora a

na osie układu kartezjańskiego są wektory

, ,

Wektor a możemy zapisać w postaci

a =

y

a





x

z

Każdy wektor możemy przedstawić w postaci iloczynu długości tego wektora i jego wersora



i, j, k

gdzie i, j, k są wesorami osi odpowiednio OX, OY, OZ

A zatem a =i +j + k

Wniosek


Każdy wektor możemy przedstawić w postaci kombinacji liniowej wersorów układu kartezjańskiego.

Przykład

[5, 3, 2] = 5[1, 0, 0] + 3[0, 1, 0] + 2[0, 0, 1]




Definicja


Wektory liniowo niezależne wtedy

i tylko wtedy gdy dla każdego układu liczb

rzeczywistych, jeżeli

to

Jeżeli wektory nie są liniowo niezależne, to mówimy, że są one liniowo zależne.

Przykład


Jeżeli wektory są liniowo zależne, to istnieją liczby ; gdzie , takie, że

Jeśli np. to wtedy


Definicja


Dwa wektory są równoległe jeżeli jeden z nich jest pewną kombinacją liniową drugiego.

Jeżeli wektory są liniowo zależne, to istnieją

takie, że lub lub oraz


Jeżeli np. to

a zatem wektor jest liniową kombinacją pozostałych.



Twierdzenie

Układ wektorów jest liniowo zależny

wtedy i tylko wtedy, gdy pewien spośród wektorów

jest liniową kombinacją pozostałych.

Przykład

Wektory [1, 2, 3], [-3, 4, 2], [1, 0, 1] , [-15, 28, 18] są liniowo zależne



4[1, 2, 3] + 5[-3, 4, 2] – 4[1, 0, 1] = [-15, 28, 18]

  • Kryterium liniowej niezależności wektorów

Układ wektorów o długości n jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy układ równań:

= 0

gdzie A jest macierzą o kolumnach ,


tzn.

A = [] i c =



ma dokładnie jedno rozwiązanie postaci:



z twierdzenia Kroneckera – Capelliego, wynika, że wtedy rząd A = k
Twierdzenie
Dla układu wektorów rozważmy macierz A o kolumnach .
Układ wektorów jest liniowo niezależny jeżeli rząd A = k.



Twierdzenie


Żaden układ wektorów długości n nie jest liniowo niezależny.
Dowód
Macierz [] ma wymiar (n+1)n, a zatem nie może mieć rzędu równego n+1.

Twierdzenie


Układ wektorów o długości n jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy gdy

det A()

Przykład

Sprawdzić, czy wektory


[1, 2, 3], [2, 3, 4], [3, 4, 5]
są liniowo niezależne

A =

Det A = 0 wektory są liniowo zależne.





©snauka.pl 2016
wyślij wiadomość