Strona główna

Wykład ósmy


Pobieranie 327.14 Kb.
Strona1/4
Data17.06.2016
Rozmiar327.14 Kb.
  1   2   3   4




Wykład ósmy

Temat IX.1

Klasyczny

rachunek zdań

Klasyczny rachunek zdań
1. Terminologia

Język rachunku zdań - formuły

Język klasycznego rachunku zdań jest formalnym językiem schematów zdaniowych. Jego alfabet składa się ze zmiennych zdaniowych, nawiasów i spójników. Przyjmiemy, że zmiennych zdaniowych jest nieskończenie wiele: w razie potrzeby można, dla rozróżnienia większej ilości zmiennych, stosować indeksy np. p1, p2, p3, , pn . Poprawnie zbudowane wyrażenia rachunku zdań nazywać będziemy formułami.

Zbiór wszystkich formuł (For) określony jest następująco:



  1. zmienne zdaniowe są formułami; p, q, r, ...  For,

  2. jeśli α For, to  α For,

jeśli α, βFor, to αβFor, αβFor, αβFor, αβFor,

(iii) każda formuła KRZ zbudowana jest ze zmiennych zdaniowych, spójników i nawiasów według zasad określonych w punktach (i) oraz (ii).

G. Malinowski Logika ogólna, s. 52

-----------------------------------------
Wyrażenia (terminy) kategorematyczne i synkategorematyczne
Wyrażenia (terminy) kategorematyczne(gr. kategorema) to takie, które mają pełne znaczenie semantyczne. Mogą one występować, w zależności od kontekstu, jako nazwa lub jako funktor. Wyrażeniami kategorematycznymi są np. Paweł, S, P, niebieski.

Wyrażenia (terminy) synkategorematyczne to takie wyrażenia, które nie mają pełnego znaczenia semantyczne. Ich znaczenie pochodzi z ich związku z terminami kategorematycznymi, są one syn-kategorematyczne (gr. syn- współ); nie zmieniają swojego znaczenia bez względu na kontekst. Wyrażeniami synkategorematycznymi są spójniki i modulanty, np. i, albo, każdy.

W klasycznym rachunku zdań zmienne zdaniowe są wyrażeniami kategorematycznymi, natomiast funktory - wyrażeniami synkategorematycznymi.
Wyrażenie zdaniowe klasycznego rachunku zdań to zmienne zdaniowe oraz każde wyrażenie złożone zbudowane ze zmiennych zdaniowych i funktorów rachunku zdań według zasad teorii kategorii syntaktycznych.
Spójniki ekstensjonalne i intensjonalne

Jeśli spójnik zdaniowy jest niewrażliwy na treści łączonych zdań, w tym sensie, że wartość logiczna zdania złożonego jest funkcją wartości logicznych zdań złożonych i nie zależy od ich treści , to mówimy, że jest on spójnikiem prawdziwościowym albo ekstensjonalnym ( ze względu naprawdę i fałsz).

W KRZ badane są wyłącznie spójniki prawdziwościowe. Spójniki zdaniowe nieposiadające tej własności nazywane są intensjonalnymi. Logika wyróżnia i formalizuje wiele spójników intensjonalnych ze względu na ich znaczenie filozoficzne i praktyczne. Najbardziej reprezentatywnymi spójnikami tego rodzaju są spójniki modalne: aletyczne - „możliwe, że”, „konieczne, że”, deontyczne - „jest dozwolo­ne”, jest obowiązkowe” oraz epistemiczne - „wierzę, że”, „wiem, że”.

G. Malinowski Logika ogólna, ss. 53 - 54



----------------------------------------
Podział funktorów (spójników):

1) prawdziwościowe (ekstensjonalne), np. i, lub

2) modalne (intensjonalne) np. ponieważ; jest możliwe, że
Definiowanie funktorów przy pomocy matryc (tabelek)
Schemat definicji:




symbole argumentów funktora

symbol samego funktora


wartości logiczne argumentów funktora w następującym porządku: wartości logiczne f-tora

1. prymat poprzedniego argumentu nad następnym,

2. prymat prawdy nad fałszem poprzedniego argumentu nad następnym


Funktor n-argumentowy ma 2n wierszy;

Ilość wszystkich funktorów n-argumentowych: 2 do potęgi 2n


Funktor 1-argumentowy ma 21 = 2 wiersze

Ilość wszystkich funktorów 1-argumentowych: 4.

Funktor 2-argumentowy ma 22 = 4 wiersze

Ilość wszystkich funktorów 2-argumentowych: 16

Funktor 3-argumentowy ma 23 do potęgi 3 wierszy = 8 wierszy

Ilość wszystkich funktorów 3-argumentowych: 32


Funktory jednoargumentowe (indeks: z ∕z)
1) Funktor negacji : nie; nieprawda, że; nie jest tak, że



p

 p

1

0

0

1

Podwójna negacja : nieprawda, że nie. Zachodzi:  p  p



p

 p

1

1

0

0

2) Funktor asercji as: jest tak, że; zaiste


p

as(p)

1

1

0

0

Funktor asercji jest równoważny funktorowi podwójnej negacji: as(p)   p


3) Funktor verum (vr): jest prawdą, że („uprawdziwiacz”)


p

vr(p)

1

1

0

1

Funktor verum tworzy zdanie zawsze prawdziwe (tautologiczne); vr(p)  p  p


4) Funktor falsum (fl)­: jest nieprawdą, że („falsyfikator”)



p

fl(p)

1

0

0

0

Funktor falsum tworzy zdanie zawsze fałszywe (kontrtautologiczne); fl(p)   (p  p).

Zachodzi: fl(p)   vr(p); vr(p)   fl(p)
Zestawienie funktorów jednoargumentowych


p

s(p)

 p

vr (p

fl(p)

1


1


0

1


0


0

0

1

1

0


Funktory dwuargumentowe (indeks: z ∕z z)
1) Funktor koniunkcji; - i, oraz, a, ale, lecz



p

q

p  q


1

1


1


1

0

0

0

1

0

0

0

0

Koniunkcja jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej argumenty są prawdziwe. Koniunkcja jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z jej argumentów jest fałszywy.


Funktor koniunkcji o n-argumentach: p1  p2 … pn

Koniunkcja o n-argumentach jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej argumenty są prawdziwe; jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z jej argumentów jest fałszywy.


2) Funktory alternatywy
2a) Funktor alternatywy zwykłej (nierozłącznej); (łac. vel - albo) - lub, albo, bądź; tu: co najmniej jedno z dwojga



p

q

p  q


1

1


1


1

0

1

0

1

1

0

0

0

Alternatywa zwykła (nierozłączna) jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z jej argumentów jest prawdziwy. Alternatywa zwykła (nierozłączna) jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej argumenty są fałszywe.


Funktor alternatywy o n-argumentach: p1 p2 pn

Alternatywa zwykła (nierozłączna) n-argumentach jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z jej argumentów jest prawdziwy. Alternatywa zwykła (nierozłączna) n-argumentach jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej argumenty są fałszywe.


2b) Funktor alternatywy rozłącznej (wykluczającej) ); - albo …albo, bądź … bądź (spójniki podkreślające rozłączność); tu: dokładnie jedno z dwojga, jedno wyklucza drugie




p

q

p q


1

1


0


1

0

1

0

1

1

0

0

0

Alternatywa rozłączna (wykluczająca)jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy jeden i tylko jeden z jej argumentów jest prawdziwy; jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy oba jej argumenty są prawdziwe lub oba są fałszywe.

Przykład:

Samochód w ruchu drogowym albo jedzie, albo stoi.

Lekarstwo należy przyjmować rano lub wieczorem (tylko raz dziennie).

Alternatywa rozłączna jest równoważna negacji równoważności: p q   (p  q)

3) Funktor dysjunkcji (funktor Sheffera); - co najwyżej jedno z dwojga; nieprawda, że to i to; nie równocześnie to i to



p

q

pq


1

1


0


1

0

1

0

1

1

0

0

1

Dysjunkcja jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z jej argumentów jest fałszywy; jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy oba jej argumenty są prawdziwe.

Przykład:

Jan nie studiuje równocześnie matematyki i socjologii.

Zachodzą następujące równoważności: (1) pq   (p  q); (2) pq  p  q; (3) pq  p   q; (4) pq  q  p; (5) pq  qp; (6) pq  q  p; (7) pq   (q  p)


3) Funktor implikacji; - jeżeli …, to; jeśli …, to; gdy …, to; skoro …, to; ponieważ …, to; p - poprzednik implikacji, q - następnik implikacji



p

q

p  q


1

1


1


1

0

0

0

1

1

0

0

1

Implikacja jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy prawdziwy jest jej następnik lub fałszywy jest jej poprzednik. Implikacja jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy jej poprzednik jest prawdziwy, a następnik jest fałszywy.

Zachodzą następujące (definicyjne)równoważności: (1) p  q  p  q;(2) p  q  (p  q)
4) Funktor równoważności; jedno dokładnie wtedy, gdy drugie; p wtedy i tylko wtedy, gdy q, zawsze i tylko jeżeli p, to q



p

q

p  q


1

1


1


1

0

0

0

1

0

0

0

1

Równoważność jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba jej argumenty mają taką samą wartość logiczną; jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy oba jej argumenty mają różną wartość logiczną.

Równoważność p i q może zachodzić bez związku treściowego lub zależności między p i q. Ergo: z tego, że dwa zdania p i q są względem siebie równoważne, nie wynika, że są one równoznaczne.

Równoważność to tyle, co wzajemna (obustronna) implikacja: p  q  (p  q)  (q   p)


5) Funktor binegacji; - jednoczesne zaprzeczenie; ani jedno, ani drugie


p

q

pq


1

1


0


1

0

0

0

1

0

0

0

1

Binegacja jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba jej argumenty są fałszywe; jest fałszywa wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden z jej argumentów jest prawdziwy.

Przykład:

Madhjamaka (kierunek filozofii buddyjskiej) nie głosi ani tezy o istnieniu, ani tezy o nieistnieniu.

Binegacja jest równoważna negacji alternatywy: pq  (p  q)



Omówienie funktorów dwuargumentowych
Różne znaczenia okresu warunkowego jeżeli p, to q:
1) z tego, że p, wynika to, że q - inferencyjne

2) to, że (zachodzi) p, jest przyczyną tego, że q - kauzalne

3) nie jest możliwe, że p i nie q - modalne

4) nieprawda, że p i nie q - aletyczne

W prawach i schematach klasycznego rachunku zdań prawomocne jest tylko znaczenie (4).
Osobliwości implikacji:


p

q

p  q


1

1


1


1

0

0

0

1

1 !

0

0

1 !

Implikacja zachodzi między dwoma zdaniami - poprzedni­kiem A i następnikiem B - dokładnie wtedy, gdy A jest fał­szywe i B jest prawdziwe, albo gdy A i B są jednocześnie fałszywe, bądź prawdziwe. Z definicji tej wynika, że implikacja nie zachodzi tylko w jednym wypadku, mianowicie wtedy, gdy poprzednik A jest prawdziwy, a następnik B fałszywy; we wszystkich innych wypadkach, czymkolwiek mogłyby być A i B, implikacja ma miejsce. W szczególności zdanie fałszywe impli­kuje każde zdanie, a zdanie prawdziwe jest implikowane przez każde zdanie. Przykładami (gdy zechcemy „jeżeli – to” nadać taki właśnie sens) mogą być: „Jeżeli 2+2=5, to każdy pies jest rybą”; „Jeżeli 2+2=5, to każdy zdrowy pies ma 4 łapy; Jeżeli 2 +2=4, to 1=1”.

Jest to, jak łatwo można zauważyć, bardzo dziwna interpreta­cja zwykle używanego „jeżeli - to” i, co gorsza, prowadzi ona do trudności metodologicznych. Już megarejczycy (Diodor Kro-nos), i potem scholastycy próbowali uniknąć tych trudności w ten sposób, że implikację definiowali za pomocą (modalnego) funktora możliwości: „Jeżeli A, to B” miało zgodnie z tym zna­czyć tyle co „Nie jest możliwe, że A i nie B”. Taką samą defi­nicję sformułował ponownie w 1918 roku C. I. Lewis. Definicja ta nie usunęła jednak trudności, gdyż w wypadku zastosowania tej (nazwanej „ścisłą”) definicji Diodora względnie Lewisa, nie powstaje wprawdzie twierdzenie, że implikacja zachodzi między każdym fałszywym i dowolnym prawdziwym zdaniem, ale za to powstaje analogiczne twierdzenie, że zachodzi ona między każdym niemożliwym a każdym dowolnym innym zdaniem.

J. M. Bocheński Współczesne metody myślenia, ss. 90 – 92

  1   2   3   4


©snauka.pl 2016
wyślij wiadomość