Strona główna

Wykłady profesorów wizytujących Uniwersytet Jagielloński w roku 2014/15


Pobieranie 21.94 Kb.
Data18.06.2016
Rozmiar21.94 Kb.

Wykłady profesorów wizytujących Uniwersytet Jagielloński w roku 2014/15

Wykłady profesorów wizytujących

Uniwersytet Jagielloński w roku 2014/15


Alexander S. Mishchenko, Index Theory for elliptic operators on manifolds
Alexander S. Mishchenko, Theory of the characteristic classes
[opis kursów znajduje się na kolejnych stronach tego pliku]
Tytuł (po angielsku): Index Theory for elliptic operators on manifolds

Koordynator: prof. Alexander S. Mishchenko (Moscow State University)

Język: angielski

Liczba godzin i forma zajęć: wykład 30 godz.

Planowany termin zajęć: 1 grudnia 2014 – 30 stycznia 2015.
Warunki zaliczenia kursu: egzamin (proszę skonsultować z drem hab. Robertem Wolakiem)

Wymagania wstępne: proszę skonsultować z drem hab. Robertem Wolakiem
Tematyka kursu (w skrócie):

Elements of the operator algebras and modules theory

Elements of $C^*$-algebras theory. The 1st and 2nd Gelfand-Neimark theorems. Basic classes and examples of $C^*$-algebras (the group $C^*$-algebras of locally compact groups, the Calkin algebra, the Cuntz algebra, the von Neumann algebras, factors, $C^*$-algebras of foliations, $C^*$-algebra of groupoid). The Hilbert modules and operators. The Kasparov theorem on stabilization. Fredholm operators on Hilbert $C^{*}$-modules, Noether operators.



Elliptic operators and the index theory

Jets, differential operators. The Sobolev Spaces, the inclusion theorems. Pseudodifferential operators. Analytic and topological index. Axiomatic approach. Examples: the Laplace, Hirzebruch, Dirac operators. The index theorem. $C^*$-theorem about the index. $K$-homology and the index theorem. Application to topology and geometry



Fundamental group and invariants of manifolds

Algebraic Poincare complexes. Higher signatures. Canonical bundle. The Novikov conjecture. Fredholm representations of fundamental groups. Theorem of topological invariance of rational Pontryagin characteristic classes. PDO on noncompact manifolds .


Literatura: Moduł ma charakter autorski, obowiązuje przede wszystkim materiał wyłożony, literatura ma charakter pomocniczy. Do odpowiednich zagadnień literatura podawana jest na bieżąco w trakcie wykładu.
[1] M. Atiyah, R. Bott, and V.K. Patodi. On the heat equation and the index theorem. Invent. Math., 19(4):279{330, 1973.

[2] M.F. Atiyah and G.B.. Segal. The index of elliptic operators, II. Annals of Mathematics, 87(3):531{545, 1968.

[3] M.F. Atiyah and I. Singer. The index of elliptic operators, I. Annals of Mathematics, 87(3):484{530, 1968.

[4] M.F. Atiyah and I. Singer. The index of elliptic operators, III. Annals of Mathematics, 87(3):546{604, 1968.

[5] M.F. Atiyah and I. Singer. The index of elliptic operators, IV. Annals of Mathematics, 93(1):119{138, 1971.

[6] M.F. Atiyah and I. Singer. The index of elliptic operators, V. Annals of Mathematics, 93(1):139{149, 1971.

[7] A. Connes. Noncommutative Geometry. Academic Press, 1994.

[8] Peter B. Gilkey. Invariance Theory, the Heat Equation, and the Atiyah{Singer Theorem. Publish or Perish Inc., USA, 1984.

[9] K.K. Jensen and K. Thomsen. Elements of KK-theory. Birkhauser, Boston, Mass., 1991.

[10] G. Luke and A. S. Mishchenko. Vector Bundles and Their Applications. Kluwer Academic Publishers, Dordrrecht, Boston, London, 1998.

[11] V.M. Manuilov and E.V. Troitsky. C_-Hilbert modules. AMS, Moscow, 2005.

[12] R Palais. Seminar on the atiyah{singer index theorem. In Ann. of Math. Stud., 57. Princeton Univ. Press, Princeton, N.J, 1965.

[13] Ju.P. Solovjov and E.V. Troitsky. C_-algebras and elliptic operators in differential topology. Amer. Math. Soc, Providence,
Uwagi: kurs adresowany do studentów specjalności teoretycznej i doktorantów.

Tytuł (po angielsku): Theory of the characteristic classes

Koordynator: prof. Alexander S. Mishchenko (Moscow State University)

Język: angielski

Liczba godzin i forma zajęć: wykład 30 godz.

Planowany termin zajęć: 1 grudnia 2014 – 30 stycznia 2015.
Warunki zaliczenia kursu: egzamin (proszę skonsultować z drem hab. Robertem Wolakiem)

Wymagania wstępne: proszę skonsultować z drem hab. Robertem Wolakiem
Tematyka kursu (w skrócie):

Locally trivial bundles

Definitions. The structure groups of the locally trivial bundles. Vector bundles. Linear transformations of the vector bundles. Manifolds and related vector bundles. Linear groups and related bundles.



Homotopy theory of vector bundles

The classification theorems. Exact homotopy sequence. Constructions of the classifying spaces. Characteristic classes. Geometric interpretation of some characteristic classes.



K-theory

Grothendieck groups for the vector bundles. Chern character. The difference construction. The Bott periodicity in $K$-theory. The Thom Isomorphism.



Calculus in K-theory

Spectral sequences. Operations in $K$--theory. Direct image. The Riemann--Roch theorem.

Linear representations and bundles. Equivariant bundles. Relations between complex, symplectic and real bundles.

Lie algebroids

Definitions Transitive Lie algebroids. Weil-Chern homomorphism (Legacy of professor J.Kubarski). Homotopy classifications of transitive Lie algebroids.


Literatura: Moduł ma charakter autorski, obowiązuje przede wszystkim materiał wyłożony, literatura ma charakter pomocniczy. Do odpowiednich zagadnień literatura podawana jest na bieżąco w trakcie wykładu.
[1] M. F. Atiyah. K-theory. Benjamin, Cambridge, 1965.

[2] A. Hatcher. Vector bundles and K-theory. http://www.math.cornell.edu/hatcher/#VBKT, 2009.

[3] D. Husemoller. Fiber Bundles. McGraw{Hill, N.Y., 1966.

[4] M. Karoubi. K{Theory, An Introduction. Springer{Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 1978.

[5] J. Kubarski. The Chern-Weil homomorphism of regular Lie algebroids. Publications du Department de Mathematiques, Universite Claude Bernard- Lyon-1, pages 4{63, 1991.

[6] G. Luke and A. S. Mishchenko. Vector Bundles and Their Applications. Kluwer Academic Publishers, Dordrrecht, Boston, London, 1998.

[7] V.M. Manuilov and E.V. Troitsky. C_-Hilbert modules. AMS, Moscow, 2005.

[8] Ju.P. Solovjov and E.V. Troitsky. C_-algebras and elliptic operators in differential topology. Amer. Math. Soc, Providence, 2000. (vol. 192 of Translations of Mathemetical Monographs).


Uwagi: kurs adresowany do studentów specjalności teoretycznej i doktorantów.


Aktualizacja: 28.09.2014 godz. 13:02


©snauka.pl 2016
wyślij wiadomość