Strona główna

Zad Czy struktura algebraiczna jest pierścieniem: Zestaw Z1 zwykłe dodawanie i mnożenie liczb. Zad


Pobieranie 37.18 Kb.
Data18.06.2016
Rozmiar37.18 Kb.
Zad 1. Czy struktura algebraiczna jest pierścieniem: Zestaw Z1

zwykłe dodawanie i mnożenie liczb.

Zad 2. Znaleźć elementy odwracalne i dzielniki zera w pierścieniu

Zad 3. Czy funkcja jest homomorfizmem pierścieni . Jeżeli tak to wyznaczyć .

a).

c).

Zad 4. Wyznaczyć wszystkie ideały pierścienia . Które z nich są maksymalne.

Zad 5. Które z zbiorów pierścienia są ideałami:

Które z nich są maksymalne i pierwsze a które nie.

Zad 6. Które z elementów pierścienia odwracalne, rozkładalne, nierozkładalnie



Zad 7. Czy wielomian jest rozkładalny w pierścieniu


Zad 8. Wyznaczyć wszystkie elementy pierścienia ilorazowego

Zad 9. Niech będą wielomianami nad . Znaleźć takie, że

Zad 10.Korzystając z twierdzenia o homomorfizmie pierścieni uzasadnić izomorfizm.



Zad 11. Czy element 3 jest elementem pierwszym w pierścieniu (wykorzystać )
Ad. zad 1. Czy struktura algebraiczna jest pierścieniem:

zwykłe dodawanie i mnożenie liczb.

Odp.

Zbiór jest pierścieniem z dwoma działaniami jeżeli są spełnione aksjomaty pierścienia pod warunkiem, że działania w zbiorze są dobrze określone. Zwykłe dodawanie i mnożenie liczb rzeczywistych aksjomaty pierścienia spełniają ale mnożenie w zbiorze jest źle określone. Np. dla . Gdyby . Wtedy , a więc . Mamy sprzeczność : liczba wymierna równa się niewymiernej co jest niemożliwe.


Ad. zad 2. Znaleźć elementy odwracalne i dzielniki zera w pierścieniu

Odp.

. Element jest odwracalny istnieje takie, że . A więc element jest odwracalny w i odwracalny w .

Możliwe kombinacje i to są wszystkie elementy odwracalne.

Element jest dzielnikiem zera istnieje takie, że . element jest dzielnikiem zera w lub dzielnikiem zera w lub i lub i .

Trywialny dowód tych własności wynikający z przedstawionej definicji w skrypcie wykładu twierdzenie 7.11 str. 61.

W pierścieniu nie ma dzielników zera a w pierścieniu dzielniki zera to .

A więc możliwe wszystkie kombinacje i i . Stąd istnieją elementy nieodwracalnie nie będącymi dzielnikami zera. Są to elementy .



Ad. zad 3. Czy funkcja jest homomorfizmem pierścieni . Jeżeli tak to wyznaczyć .

a).

b).
Odp.

a). Funkcja nie jest homomorfizmem pierścieni ponieważ:



. A więc .

b). Funkcja jest homomorfizmem pierścieni ponieważ:



.





Jeżeli to dla i z faktu, że wartość wielomianu o współczynnikach całkowitych dla argumentu całkowitego jest liczbą całkowitą mamy .


Zad 4. Wyznaczyć wszystkie ideały pierścienia . Które z nich są maksymalne.

Odp.

Twierdzenie. Jeżeli homomorfizm pierścieni jest epimorfizmem /”na”/ to obraz i przeciw obraz ideału jest ideałem.

Twierdzenie. Odwzorowanie - reszta z dzielenia przez jest homomorfizm pierścieni który jest epimorfizmem .

/Dowód na stronie 251 zad. 49 J. Rutkowski Algebra abstrakcyjna w zadaniach./

Z tych twierdzeń wynika, że wszystkie ideały w pierścieniu są ideałami głównymi.

Stąd wszystkie ideały pierścienia są postaci oraz dla

Element jest odwracalny istnieje taki, że .

Element jest odwracalny




W naszym przypadku ideałami są:


, dla dowolnego elementu odwracalnego ,

, .

Ideałami maksymalnymi są i .


Ad. zad 5. Które z zbiorów pierścienia są ideałami:

. Które z nich są maksymalne i pierwsze a które nie.

Odp.

nie jest ideałem ponieważ, np. dla i mamy a więc . Można uzasadnić również tym, że wielomian zerowy należy do każdego ideału a wartość tego wielomianu dla argumentu 2 przyjmuje wartość 0 a nie 2.

jest ideałem ponieważ: dla

a). a więc .

b). a więc . Analogicznie .

Ideał jest ideałem maksymalnym a stąd i pierwszym ponieważ:

Dla homomorfizmu , , , - ciało liczb rzeczywistych /uzasadnienie analogiczne jak w zad 3 b)./. Wtedy z podstawowego twierdzenia o homomorfizmie pierścieni - ciało ideał jest maksymalny.

Zad 6. Które z elementów pierścienia są odwracalne, rozkładalne, nierozkładalnie



Odp.

a). 10 nie jest elementem odwracalnym gdyż gdyby był odwracalny to co jest niemożliwe.

10 nie jest elementem rozkładalnym gdyż gdyby był rozkładalny to . Ze względu na symetrie załóżmy, że . Wtedy jest elementem odwracalnym. Stad 10 jest elementem nierozkładalnym.



b). nie jest elementem odwracalnym gdyż gdyby był odwracalny to .

nie jest elementem rozkładalnym gdyż gdyby był rozkładalny to . Ze względu na symetrie załóżmy, że . Wtedy jest elementem odwracalnym. Stąd jest elementem nierozkładalnym.

c). a więc jest elementem rozkładalnym i to jest na elementy nierozkładalne.
Zad 7. Czy wielomian jest rozkładalny w pierścieniu

Odp.

Wielomian nie jest rozkładalny nad tym pierścieniem ponieważ gdyby był rozkładalny to jeden z czynników rozkładu byłby wielomian stopnia 1 a więc wielomian miałby pierwiastek w ciele .

Ponieważ a więc nie zeruje się w ciele mamy sprzeczność.
Zad 8. Wyznaczyć wszystkie elementy pierścienia ilorazowego

Odp.

Ponieważ to dla mamy



reszty z dzielenia wielomianów są takie same. Możliwe reszty:

.



Zad 9. Niech będą wielomianami nad . Znaleźć takie, że

Odp.





Stąd





lub


Zad 10.Korzystając z twierdzenia o homomorfizmie pierścieni uzasadnić izomorfizm.



Odp.

Niech będzie homomorfizmem pierścieni.

/ uzasadnienie analogiczne jak w zadaniu 3 b). /

Dla . Ponieważ



Stąd dla w pierścieniu . /szczegółowe uzasadnienie w pliku „pierścienie całkowite i NWD”/



w pierścieniu . Stąd w pierścieniu .

A więc .

Również dla i mamy to

.

Z podstawowego twierdzenia o homomorfizmie pierścieni mamy .



Zad 11. Czy element 3 jest elementem pierwszym w pierścieniu (wykorzystać )

Odp.

Ponieważ to . Ponieważ 3 nie dzieli / / i 3 nie dzieli / / to 3 nie jest liczbą pierwszą.


©snauka.pl 2016
wyślij wiadomość