Strona główna

Zdanie logiczne


Pobieranie 63.73 Kb.
Data19.06.2016
Rozmiar63.73 Kb.
LOGIKA
ZDANIE LOGICZNE


  • Za zdanie (zdanie logiczne) uważamy każde stwierdzenie, któremu można przypisać dokładnie jedną z dwóch ocen: prawdę lub fałsz. Oceny te nazywamy wartościami logicznymi zdania.

  • Jeśli zdanie jest prawdziwe, to jego wartość logiczną oznaczamy cyfrą 1.

Jeśli zdanie jest fałszywe, to jego wartość logiczną oznaczamy cyfrą 0.

  • Zdania oznaczamy małymi literami alfabetu łacińskiego: p, q, r itp. Lub greckiego: α, β,  itp.



FUNKCJA ZDANIOWA



Definicja.

Niech dany będzie niepusty zbiór X. Wyrażenie φ(x) nazywamy funkcją zdaniową (formą zdaniową) zmiennej x, jeżeli staje się ono zdaniem, gdy w miejsce x podstawimy dowolny element zbioru X.




  • Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji zdaniowej φ(x).




  • Mówimy, że element a Є X spełnia funkcje zdaniową φ(x), jeżeli zdanie φ(a) jest prawdziwe.




  • Oprócz funkcji zdaniowych jednej zmiennej rozważa się również funkcje zdaniowe dwóch i większej liczby zmiennych, które oznacza się φ(x, y), ø(x, y, z) itp.


Uwaga.

Każde równanie i każda nierówność (z jedną lub większą liczbą niewiadomych) jest funkcja zdaniową.




SPÓJNIK ZDANIOWY



Definicja.

Spójnik zdaniowy (spójnik logiczny, funktor zdaniotwórczy) to zwrot lub symbol, za pomocą którego z danych zdań lub funkcji zdaniowych można tworzyć nowe zdania (zdania złożone) lub nowe funkcje zdaniowe (funkcje zdaniowe złożone).



Podstawowe spójniki zdaniowe








Zwrot

Symbol







„nieprawda, że”

~







„lub”

ν























Zwrot

Symbol

wtedy i tylko wtedy, gdy”



„albo”




Zwrot

Symbol

„i”



„jeżeli...to”




PODSTAWOWE ZDANIA ZŁOŻONE





Zdanie

Czytamy

Nazwa utworzonego zdania

~ p

nieprawda, że p

zaprzeczenie (negacja) zdania p

p  q

p lub q

alternatywa zdań p, q

p  q

p i q

koniunkcja zdań p, q

p  q

jeżeli p, to q

implikacja zdań p, q

p  q

p wtedy i tylko wtedy, gdy q

równoważność zdań p, q

p ⊻ q

p albo q

alternatywa wykluczająca zdań p, q




  • W zdaniu złożonym p  q zdanie p nazywamy poprzednikiem implikacji, a zdanie q następnikiem implikacji.




  • Jeśli równoważność p  q jest prawdziwa, to zdania p oraz q nazywamy równoważnymi.

TABELE WARTOŚCI LOGICZNYCH PODSTAWOWYCH ZDAŃ ZŁOŻONYCH



Alternatywa


p

q

p  q

1

1

1

1

0

1

0

1

1

0

0

0

Koniunkcja


p

q

p  q

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0


Negacja


p

~ p

1

0

0

1







Implikacja


p

q

p  q

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

Równoważność


p

q

p  q

1

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

1

Alternatywa wykluczająca

P

q

p ⊻ q

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

0

0


Z powyższych tabel wynika, że:





  • koniunkcja p q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy zdania p, q są prawdziwe;







  • równoważność p q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba zdania mają tę samą wartość logiczną.


PRAWO RACHUNKU ZDAŃ

Przy użyciu symboli zdań (p, q, r itd.), spójników zdaniowych (~, ,  itd.) oraz nawiasów można tworzyć tzw. Schematy zdań złożonych (np. p  q, p  (q  r), (p  ~ p)  q). Mając dany schemat zdania złożonego, możemy podstawić w miejsce symboli zdaniowych dowolne zdania logiczne, otrzymując w ten sposób zdania złożone. Przykłady zdań otrzymanych ze schematu

(p  q )  p:





  • (2=1  1=1)2=1 – zdanie fałszywe


Definicja.

Jeżeli niezależnie od wartości logicznych zdań, podstawianych do schematu zdania złożonego w miejsce symboli zdaniowych, otrzymujemy zawsze zdanie prawdziwe, to taki schemat nazywamy prawem rachunku zdań lub tautologią.



NIEKTÓRE PRAWA RACHUNKU ZDAŃ





  • p  ~q prawo wyłączonego środka




  • ~ (~p)  p prawo podwójnego przeczenia




  • ~ (p  q)  (~ p  ~q) prawo zaprzeczenia alternatywy (prawo de Morgana)




  • ~ (p  q)  (~p  ~q) prawo zaprzeczenia koniunkcji (prawo de Morgana)







  • (p  q)  (~q  ~p) prawo kontrapozycji




  • [(p  q)  (q  r)]  (p  r) prawo przechodniości implikacji


©snauka.pl 2016
wyślij wiadomość